Tall og tallsystemer

På overflaten kan det se ut som om de ikke-skriftlige kulturene har hatt svært lavt utviklet matematikk. Sammenlignet med den avanserte matematikken som er utviklet i skriftspråkkulturene, særlig i de siste århundrene, er dette selvsagt riktig, men om man sammenligner med det den vanlige borger behersker av matematikk, er dette langt fra riktig. Riktignok er tallsystemene hos de ikke-skriftlige kulturene ofte svært enkle sammenlignet med vårt, men dette forteller ikke hele historien. La oss ta en liten titt på noen av de enkleste tallsystemene vi kjenner. Et godt eksempel kan være aboriginerne i Australia. Her er en liten oversikt over deres tallsystemer.


På tross av disse primitive tallsystemene vet vi at aboriginerne på langt nær er så hjelpeløse i bruk av praktisk matematikk som man kunne tro ved bare å se en slik oversikt. Dame Mary Gilford vokste opp i Australia med en far som hadde god kontakt med aboriginerne, noe som var svært uvanlig i første del av forrige århundre. Hun forteller at aboriginerne var svært flinke til å telle . De var blant annet meget nøyaktige og raske til å telle kveg. Øvelsen hadde de fått ved å telle stjerner, noe aboriginere flest var meget dyktige til. Barna fikk opplæring i dette fra de var små, og de var tidlig meget dyktige.

Barna brukte en slags gruppetelling, noe Gilford selv lærte som barn av en aboriginerkvinne. De omtalte mennene kunne angi nøyaktig antall kyr i en flokk på 4 – 500 på et lite øyeblikk. Under tellingen tok de i bruk hender, føtter og kroppsdeler . En annen høyt utviklet evne av matematisk natur, var deres fabelaktige evne til å orientere seg og finne fram i naturen, selv over lange avstander og tilsynelatende uten holdepunkter.

Gjennom tiden og i ulike kulturer har det eksistert et vell av ulike tallsystemer. Hos mange har man tatt i bruk et grunntall som større tall er bygd opp av. Hos oss er de store tallene bygd opp som potenser av 10, noe som har skjedd i flere kulturer, men også andre tall har vært brukt som grunntall, både 5, 12, 20 og 60 (babylonerne). I dataverdenen er 2 eller 16 brukt som grunntall. Det er dokumentert et vell av tallsystemer blant ikke-skriftlige kulturer. Et fellestrekk hos de fleste av dem er at de betegner tall over fire eller fem ved sammensetninger av de minste. Dette er etter all sannsynlighet en refleks av at vi har en medfødt evne til å oppfatte små mengder, mens større mengder fort blir uklare for oss. For tall over ti har det mange steder vært vanlig å benytte såkalt kroppstelling. Hvor langt man rakk med dette, har variert. Blant inuittene kalte man 20 for ”en mann”, mens 15 var ”første fot”. Andre steder telte man atskillig lengre.

Behovet for å angi større mengder på en mer systematisk måte oppsto først i jordbrukskulturene, og det er i disse kulturene de mer avanserte tallsystemene oppsto. Et viktig særtrekk ved dem er at man kan bygge opp store tall ved hjelp av potensering av et grunntall. I vårt hindu-arabiske tallsystem bruker vi 10 som grunntall, noe som også egypterne gjorde. Det har for øvrig eksistert et vell av tallsystemer med ulike grunntall, slik som 5 eller 20. Noen har også brukt 4 eller 8, ved at de ikke telte med tommelen når de telte på fingrene, og det eksisterer andre systemer.

Det faktum at vi har en del medfødte evner til å behandle tall, betyr ikke at vi kan redusere på innsatsen for å lære barn å regne. Det er ihvertfall tre grunnleggende årsaker til dette. Den første grunnen er at vi lever i et samfunn med stort behov for eksakte angivelser, og vårt medfødte talltalent er dessverre svært begrenset. Antall elementer i en mengde begynner å bli uklare for oss allerede ved og 5, og blir bare mer og mer uklart videre oppover. For det andre viser det seg at alle samfunn som baserer seg på produksjon av matvarer (i motsetning til samlere og jegere), har utviklet en matematisk kultur som krever omstendelig opplæring. For det tredje er vårt tallsystem et meget finurlig system som det har tatt lang tid å utvikle, slik at man ikke kan forvente at barn skal lære seg dette systemet uten grundig opplæring.



Omtrentligheter

Vår evne til å oppfatte og holde orden på større antall enn tre er dårligere enn vi kanskje i første omgang vil være villige til å innrømme. Det er imidlertid gjort mye forskning som viser hvor sterk denne effekten er . Det viser seg for eksempel at hvis vi får spørsmål om hva som er størst av tallene 8 og 9, bruker vi lengre tid på å svare enn om spørsmålet er hva som er størst av 2 og 3. Denne effekten er så sterk at den smitter over på tallordene og på symbolene 2, 3, 8 eller 9. Vi behøver ikke få forelagt oss 8 eller 9 gjenstander, det er nok å høre tallordene eller se sifrene (tallsymbolene) for at nølingen blir større for store tall enn for små tall. Det er også lettere å skille tallene når de ligger et stykke fra hverandre enn når de ligger nær hverandre. Vi ser fortere forskjellen på 8 og 5 enn på 9 og 8, selv om vi bare bruker tallsymbolene.

Vår talloppfattelse synes å være omtrent som hvis vi skal anslå hvor mye vann det er i en beholder eller en sylinder. La oss tenke oss at vi først heller en viss mengde vann i sylinderen og sier at denne mengden representerer tallet 1. Hvis vi dobler denne mengden, ser vi lett at vi har omtrent 2, og om vi heller på en tredje enhet, kan vi fortsatt anslå ganske nøyaktig hvor mange enheter vann vi har i sylinderen. Oppgaven blir imidlertid fort verre når vi fyller på mer vann. Det er fortsatt mulig å se forskjell på 4 og 5, men forskjellen mellom 20 og 21, for ikke å snakke om mellom 1000 og 1001, blir langt vanskeligere å se. Vi er da heller ikke særlig flinke til å gjøre raske overslag over større mengder.

Figur 4 illustrerer noen av disse forholdene. Så lenge prikkene ikke er plassert på en systematisk måte, er det ikke lett å se hvor det er fem eller seks prikker i de to figurene øverst til høyre. Vi ser at det er langt vanskeligere å skille mellom to og tre enn det er å skille mellom fem og seks prikker. I den midterste figuren er det like mange svarte og hvite sirkler, noe de fleste personer har problemer med å se med en gang. Dette er bare ett av mange kjente eksempler på at øyet fort bedrar oss. Hvor mange prikker er det i de to nederste figurene? Er det like mange i begge to? Det er ikke på noen måte enkelt å svare på disse spørsmålene. Svaret er for øvrig at det et 37 prikker i hver figur.

I vår samfunnsform stilles det store krav til nøyaktighet og til å holde oversikt over kvantitative forhold. Alle vil derfor ha nytte av en viss fortrolighet med tall og beregninger med tall. Utviklingen mot mer avanserte tallsystemer kom i gang med jordbruket. Alle de store jordbrukssamfunnene tok etter hvert i bruk høyt utviklede tallsystemer, og de arbeidet med geometriske størrelser. Det var samfunnsutviklingen som førte til dette, da det oppsto behov for å holde orden på eiendom, produksjon og menneskelige ressurser.



Tre tallsystemer

Vi skal ikke bruke mye plass her på å beskrive tallsystemer gjennom historien, bare se kort på noen av de mest kjente og på de sentrale forskjeller mellom dem.

Egypterne brukte i oldtida et tallsystem som er ganske likt den type systemer som barn og ungdom naturlig lager selv, når de blir bedt om det. Typiske trekk ved slike systemer er følgende:

 De starter med et enkelt symbol for 1, gjerne en strek eller en prikk. Symbolet skrives to ganger for å markere tallet 2, tre ganger for å markere tallet 3 osv.

 Slike samlinger av like symboler blir fort uoversiktlige, og man lager seg et nytt symbol for 5 eller 10. Egypterne hadde streker for 1, som de brukte til og med 9, og et nytt symbol for 10, noe som ser ut som en bøyle. Det er ulike teorier om hvor dette symbolet opprinnelig er tatt fra. En teori er at det er hoven til en vannbøffel.

 Dersom man er systematisk, er det naturlig å lage nye symboler for potenser av dette nye tegnet. Verdien av det blir da et grunntall i systemet. Egypterne laget seg følgelig nye symboler for 100, 1000 osv., oppover til 1 000 000.

 Systemet er additivt, dvs. at man bare teller opp antallet av de ulike symbolene for å finne verdien av tallet. Det spiller egentlig ingen rolle hvilken rekkefølge symbolene står i. Man kan godt tenke seg at man lager fysiske symboler, slik som for eksempel en liten kloss for 1, en stav for 10 osv. Disse kan man godt riste sammen og kaste på bordet eller golvet. Uansett hvordan de faller ned, kan man telle opp hvor mange det er av hver type, og man har straks verdien av alle til sammen.

 Det er enkelt å addere og subtrahere med disse tallene, men vanskelig å multiplisere og dividere .

 Systemene har ikke noe symbol for null. Det er jo unødvendig.


I Kina kan vi finne røtter til både det posisjonssystemet vi bruker i dag og skriftlige varianter av vårt muntlige system. Det siste kalles et multiplikativt system, fordi vi sier hvilken dekadisk enhet hvert siffer er knyttet til eller multiplisert med. Vi sier for eksempel ”fire tusen to hundre og femti åtte”, som på utviklet form kan skrives som 4 • 1000 + 2 • 100 + 5 • 10 + 8 = 4•103 + 2•102 + 5•10 + 8. Dersom ikke den gamle størrelsen ”myriade” hadde forsvunnet, kunne vi uttalt tallet 18 200 som en myriad åtte tusen to hundre. I det japanske språket brukes fortsatt betegnelsen ”mann” for ti tusen, mens en million heter ”hundre menn”.

Det kinesiske posisjonssystemet har meget gamle røtter. Kineserne brukte trepinner som de la ut kolonner ved siden av hverandre. Bakerste kolonne, den lengst til høyre, representerte enere, kolonnen foran tiere og så videre. For enkelt å kunne skille kolonnene eller posisjonene fra hverandre la de gjerne pinnene annenhver gang loddrett og vannrett. Vi ser ellers av fig. 6 at systemet også inneholder en variant av et femtallsystem, da pinner på tvers av de andre pinnene betyr 5. Denne måten å framstille tall på finner man for øvrig igjen i de asiatiske formene av abakusen (kuleramma). Abakusen er egentlig en videreføring av pinnesystemet.

Det multiplikative systemet finner vi i de tradisjonelle kinesiske skrifttegnene. I dag har kineserne i hovedsak gått over til å bruke de samme talltegnene som oss i den vestlige verden, men også de tradisjonelle er fortsatt i bruk, omtrent slik vi bruker tallord. Strukturen ser ut som i tabellen under.


Inderne videreutviklet posisjonssystemet og innførte null som et selvstendig begrep. Det var imidlertid flere andre som tok i bruk null som plassholder, dvs. for å vise at en posisjon i systemet var tom. Både babylonerne og mayaene gjorde det. Begge disse tok nemlig også i bruk posisjonssystemer, men ikke med ti som grunntall. Babylonerne brukte seksti som grunntall, mayaene tjue (men av en eller annen grunn atten i 2. posisjon). Våre tall kommer fra India via araberne. Derfor kalles vårt tallsystem og sifre for hindu-arabiske tall. I virkeligheten er våre sifre tatt fra den vest-arabiske, mauriske kulturen i Spania. Araberne selv har lenge brukt såkalte øst-arabiske sifre, som ser annerledes ut enn våre.

Det genetiske prinsipp

Hovedpoenget med den ovenstående utredningen er å vise at det historisk sett ligger en lang prosess bak utviklingen av det tallsystemet vi bruker til daglig. Det finnes en teori som går ut på at det er naturlig for barn å lære ting i samme rekkefølge som den historiske utviklingen. Teorien er omdiskutert, men det er mye som tyder på at den inneholder en viss sannhet, om ikke nødvendigvis den hele og fulle sannhet. Anvendt på tall vil det bety at det naturlige for barn ville være å starte med additive tallsystemer, for så senere å gå over til et posisjonssystem, slik som vårt system er. Vi ser da også at omtrent alle som blir bedt om å finne på et tallsystem selv, lager additive systemer. Jeg har forsøkt å få folk til å lage egne tallsymboler mange ganger, både i ungdomsskolen og i lærerutdanningen, og har aldri opplevd noe annet enn at de har foreslått additive systemer. Det som ellers er et faktum, er at vårt muntlige språk er et multiplikativt system, mens det skriftlige er et rent posisjonssystem. Denne forskjellen skaper problemer for en del barn, noe man må være oppmerksom på i opplæringen. En annen ting er at strukturene i det muntlige systemet er den strukturen vi som oftest benytter oss av når vi regner i hodet, og det er den strukturen som også har størst overføringsverdi til algebra. Dette er en av grunnene til at det er klokt å legge stor vekt på hoderegning i grunnopplæringa.

Trening i å få kunnskap om tallene begynner tidlig. Noe kommer av seg selv – det ligger på en måte i kulturen – men mye må læres inn på en systematisk måte.