Hvordan matematikk har blitt undervist i norsk skole, har endret seg mye i løpet av det siste halve sekelet, selv om det nok er et faktum at matematikklærerne har endret sine metoder langt mindre enn det som har skjedd i andre fag. Det internasjonale didaktiske forskningsmiljøet har i gjentatte studier konkludert med at matematikkundervisningen i skolen henger igjen i foreldede metoder. Likevel vil jeg hevde at undervisningsmetodene i faget her i Norge har blitt påvirket av brede endringer i skolens generelle pedagogikk. For å begrunne dette, er det nødvendig å se kort på de siste tiårenes skolehistorie.
I tidligere tider var skolen preget av stram disiplin. Læreren hadde stor makt over elevene og han kunne bruke sterke sanksjonsmidler. Læreren foreleste, elevene ble hørt i lekse, ny lekse ble gjennomgått og gitt til neste time. Øvinger og oppgaveregning i et fag som matematikk var individuelle. Klasserommet skulle være rolig, slik at alle kunne konsentrere seg. Dette førte til at samarbeid mellom elevene var strengt forbudt, og kontakt med medelever ble ansett som fusk. Lærernes dyktighet ble målt i evnen til å holde orden og ro i klasserommet.
Omkring 1970 kom det en reaksjon mot dette systemet. Den rådende skolekulturen ble betegnet som udemokratisk og disiplinen ble kalt kadaverdisiplin. Mønsterplanen av 1974 ble preget av nye ideer omsamarbeid og bedre sosiale forhold mellom lærere og elever, samtidig som vi fikk sammenholdte klasser også i ungdomsskolen. Trenden ble forsterket gjennom mønsterplanene av 1985 (forsøksplan) og 1987. Da kom samarbeidstanken for fullt inn i planene. Det ble sagt at evnen til samarbeid var en av de viktigste egenskapene man kunne ta med seg inn i voksenlivet, både som arbeidstaker og samfunnsborger. Under den samme perioden vokste troen på tverrfaglighet fram. Dette førte til at man i barneskolen slo sammen naturfag og samfunnsfag til et nytt orienteringsfag. I ungdomsskolen ble fenomener som tverrfaglige emner og prosjekter introdusert. En tredje trend som slo gjennom på samme tid, var begrepet ”ansvar for egen læring”. Begrunnelsen var delvis praktisk og delvis filosofisk. Det praktiske grunnet seg i at mange elever deltok påså mange fritidsaktiviteter at det var vanskelig for dem å gjøre lekser fra dag til dag. Vi fikk arbeidsplaner for ei eller to uker, slik at elevene kunne gjøre hjemmearbeidet når det passet dem, og i skoletida ble det innført arbeidsøkter, der elevene kunne arbeide med det de selv ønsket. Læreren som veileder var dermed introdusert i norsk skole.
Å finne undervisningsmetoder som kan tilpasses elevenes ulike evner, ønsker og behov, er og blir en utfordring i skolen, ikke minst i et fag som matematikk. Etter at kursplanene ble borte fra ungdomsskolen, ble det lagt stor vekt på såkalt differensiering. Da arbeidsplanene kom, løste mange dette ved å dele oppgavestoffet i ulike nivåer. Dette kunne gjøres på to måter. Enten brukte man en tempodifferensiering der alle startet med de enkle oppgavene, men at ikke alle behøvde å gjøre de vanskeligste oppgavene, eller man foretok en ren nivådifferensiering. Etter hvert fikk vi også lærebøker der oppgavestoffet var nivådifferensiert (noe vi fortsatt har). Med Læreplanen av 1997, ble de trendene som er nevnt over ytterligere forsterket. I barneskolen ble det lagt stor vekt på tverrfaglig undervisning, mens dette i ungdomsskolen ble til prosjektarbeid. Tanken om at elevene skulle ta ansvar for egen læring ble forsterket. Lek ble introdusert som en sentral læringskilde i barneskolen. I matematikk ble eksperimentering, utforskning og problemløsing trukket fram som sentrale aktiviteter. En viktig endring som kom med L97, var at ordet differensiering ble erstattet med begrepet tilpasset opplæring. Dette begrepet gir sterkere assosiasjoner til elevenes rettigheter enn det tidligere brukte differensiering gjør.
Omkring årtusenskiftet og noe senere fikk vi internasjonale målinger som avslørte at norske skolelever var dårlige både til lese og til å regne. Vi var i ferd med å rase ned på et ulandsnivå. Særlig ille var utviklingen fra 1997 til 2003. Dette førte til en motreaksjon, og i 2006 fik vi nok en ny læreplan, det såkalte Kunnskapsløftet. Naturfag og samfunnsfag ble på nytt egne fag i barneskolen, og det ble satt opp klart definerte mål for hva elevene skulle beherske av kunnskap og ferdigheter på ulike tidspunkter i skoleløpet. Vi fikk også en sterk offentlig debatt om skolen og dens metoder. Begrepet ”ansvar for egen læring” ble angrepet, mens begrepet ”tilpasset opplæring” syntes å styrke sin stilling.
Som en konklusjon på dette, kan vi si at man i matematikkfaget har vi beveget oss fra en situasjon preget av kollektiv, lærerstyrt undervisning kombinert med individuelle øvinger, til en situasjon preget av individuelle opplegg, kombinert med utforskning og problemløsing, mens læreren som formidler har blitt erstattet av læreren som veileder. Samtidig har synet på hvordan de sosiale relasjonene i skolen bør være, endret seg kraftig. Satt på spissen kan vi si at synet på eleven beveget seg fra et syn der mennesket er grunnleggende uansvarlig og ondt og derfor må piskes og reguleres, til et syn der mennesket er grunnleggende ansvarlig og godt og derfor kan gis stor frihet og har evnen til å ta ansvar for seg selv. Sammen med et konstruktivistisk læringssyn (se under) har dette ført til at skolene har lagt stor vekt på å legge forholdene til rette for elevens egenlæring. Lærernes arbeidstid ble preget av nitid planlegging for å få til dette. Mange finurlige systemer ble utviklet, der timeplanene ble endret i takt med nye prosjekter, temaer eller opplegg, eller man laget opplegg for fleksibel skoletid med innlagte perioder for fritt frammøte.
Som en konsekvens av de dårlige resultatene i norsk skole, fikk vi imidlertid en motreaksjon etter årtusenskiftet. I de samme undersøkelsene hadde det også blitt påpekt at det var svært mye støy og uro i norsk skole. Begrepet ”ansvar for egen læring” ble angrepet, og på nytt ble det fra mange hold ropt på mer disiplin og ro i skolen. Fra fagpedagogisk hold fikk vi flere bøker som pekte på at tilpasset opplæring var noe mer enn individuelle opplegg. Å tilpasse undervisningen til kollektivet er like viktig.
Også matematikkfaget har vært påvirket av denne utviklingen, men likevel har undervisningen i dette faget forandret seg mindre enn i mange andre fag. Hvor stor den reelle endringen har vært, kan variere fra skole til skole og fra lærer til lærer. Forskning viser at undervisningen i matematikk i større grad styres av lærerens syn på selve faget enn på hans generelle syn på pedagogikk. Dette er sannsynligvis grunnen til at undervisningen i matematikk ikke har forandret seg så mye som i en del andre fag.
Fremveksten av et mer positivt menneskesyn i norsk skole har vært en gledelig utvikling. Det spørs likevel om ikke troen på utelukkende positive virkemidler har gått for langt. Barn er tross alt ikke modne og ansvarsbevisste mennesker, og alle er ikke like sterkt motiverte for å lære de tingene som skolen mener de skal lære. Det er ikke uten grunn at skoleopplæring både er en rettighet og en plikt.
Et vanlig syn blant mange lærere har vært at barn lærer bare de trives. Sosiale ferdigheter, en hyggelig atmosfære og erfaringsinnhenting i naturlige omgivelser, har blitt betraktet som tilstrekkelige betingelser for læring. Man glemte til en viss grad at læring er avhengig av hardt arbeid, ikke minst i et fag som matematikk. På bakgrunn av dette, føler jeg behov for å foreta et forsøk på å rydde litt opp i denne materien, og gi til kjenne noen personlige synspunkter på hva som skal til for å skape gode læringsforhold.
Påstand nr. 1
Sosiale ferdigheter er en nødvendig betingelse for læring i en skole preget av samarbeid og dialog. Det er imidlertid ikke en tilstrekkelig betingelse. I skolen bør sosiale ferdigheter betraktes mer som et middel enn et som mål.
Min oppfatning er at skolen først og fremst er en arena for faglig læring. Å skape gode sosiale ferdigheter hos barna er et viktig mål i ethvert samfunn, og har alltid vært det. Dette gjelder også i samfunn uten skriftspråk eller der flertallet av befolkningen er analfabeter. Samfunnets oppdrag til skolen er derfor noe mer. Der skal man lære å lese, skrive og regne, og etter hvert tilegne seg faglig innsikt i en masse ulike fag. Etter hvert har imidlertid skolen tatt over stadig mer av oppdragerfunksjonen i samfunnet (slik det for øvrig var allerede i Platons akademi). Litt enkelt kan vi si at skolen har to hovedmål; det ene er fagformidling, det andre er oppdragelse. Ansvaret for den faglig formidlingen er samfunnets spesielle og særegne oppdrag til skolen. Det oppdragende aspektet har likevel alltid fulgt skolen som en sentral del av dens virksomhet. Det er dette tosidige perspektivet som utgjør det vi kan si er skolens danningsfunksjon, dens mål om å gi fra seg ikke bare utdannede, men også dannede, elever. I arbeidet med å nærme seg disse målene må skolen benytte seg av en del virkemidler. Sentralt står motivasjon for læring, men ikke bare dette. I vår del av verden er selvstendig tenkning, ansvarlighet og evne til deltakelse i et demokratisk samfunn sentrale mål i skolens oppdragende funksjon. Danningsaspektet krever derfor at oppøvelse i sosiale ferdigheter er et sentralt virkemiddel i skolen. Det samme kan man si om samarbeid mellom skole og hjem. Like fullt er det fagformidlingen som gir skolen dens særpreg og som utgjør kjernen i samfunnets oppdrag til skolen.
Det som skaper en god skole, er først og fremst et klima der man klarer å kombinere gode sosiale relasjoner, samarbeidsklima og fokus på faglig læring. Samarbeidsklimaet må gjenspeile seg i alle ledd i skolen, dvs. innad i personalet, mellom elever og lærere, innad i elevflokken og mellom ledelsen og ansatte og elever. Sannsynligvis er faglig fokus en forutsetning for å kunne skape en slik kultur, for det er jo læring som er skolens hovedmål. Hvis skolen mister sitt viktigste mål av syne, skaper den misnøye, både innad og i den befolkningen den skal tjene.
Påstand nr. 2
Trivsel er verken en nødvendig eller en tilstrekkelig betingelse for læring. Trivsel kan virke motiverende, men kan også være sløvende. På den annen side har trivsel en høy egenverdi i en obligatorisk skole.
Å skape trivsel for elevene har i mange år vært et viktig anliggende i norsk skole. Om det er egenverdien av trivsel, eller om trivsel har vært ansett som betingelse for læring, er jeg usikker på. Motivene kan sikkert ha variert. Jeg tror imidlertid mange lærere har ment at hvis man får elvene til å trives, så vil de også lære mye. Man har ment at den optimale læringssituasjonen automatisk oppstår når trivselen er høyest mulig.
Det er nok dette synet på trivsel som klarest viser forskjellen mellom den gamle autoritære skolen og den mer demokratiske tankegangen som grodde fram på slutten av nittenhundretallet. Synet har stått meget sterkt i norsk skole. I 2007 sa jeg til en gruppe lærerstudenter at skolens viktigste mål var faglig læring. Det var som å tenne på ei kruttønne. Enkelte av studentene ble så sinte at de skrek til meg. De fortalte meg i utvetydige vendinger at det var å skape trivsel for elevene som var det viktigste; de faglige målene var langt mindre viktig. Reaksjonen var på ingen måte uventet. Det var nettopp fordi jeg forventet en slik reaksjon, og at jeg ønsket den som utgangspunkt for en diskusjon, at jeg sa det jeg gjorde. Men jeg må innrømme at reaksjonen var sterkere enn jeg trodde den skulle bli.
Det er nettopp det å skape en god balanse mellom trivsel og krav om faglig innsats, som utgjør mye av selve grunnlaget for en god skole. Obligatorisk skolegang er en rettighet, men vi kan ikke vri oss unna det faktum at det også er et tvangstiltak. Mange elever trives i skolen, men det er også mange som blir lite motivert av skolen slik den fungerer, og som derfor opplever den som en tvangstrøye. Dette skaper en rekke dilemmaer, ikke minst fordi skolegangen stadig har økt i varighet og omfang. Den beste måten å skape trivsel på, er å få til en undervisning der elevene føler mestring. Men det er lett å falle i en felle her og tro at man bør unngå å stille krav til elevene, særlig til de med lave prestasjoner. Mestringsfølelsen er høyest når man får til noe man har arbeidet hardt med. Derfor er det riktig å stille krav til innsats. På lang sikt er det viktig at elevene får med seg mest mulig kunnskap i tidlig skolegang, da dette virker forebyggende på senere frafall og mangel på mestring. Samtidig skal man unngå å bevege seg over en grense der oppgavene blir umulige å mestre. De beste skolene er de som er flinkest til å finne en god balanse mellom trivsel og faglig standard. Den optimale situasjonen har man når kombinasjonen av faglig mestring og gode sosial relasjoner blir hovedkilden til trivsel.
Selv om trivsel i skolen har en egenverdi, er det etter min vurdering feil å fokusere på trivsel som et hovedmål. Det viktige er at elevene blir sett og hørt, at de blir tatt på alvor og at de kan føle seg verdsatt. Lærerens rolle er å være faglig autoritet og god rollemodell.
Påstand nr. 3
Ros er et tveegget sverd og bør ikke brukes ukritisk. Det viktige er å gi elevene et realistisk, ikke et overdimensjonert, sjølbilde.
Som tidligere ungdomsskolelærer har jeg ofte opplevd at møtet med prøver og karakterer oppleves som et sjokk for mange elever. Dette er gjerne elever som har vært vant til å bli rost for alt de gjør, og som aldri har blitt fortalt at deres faglige kunnskaper og ferdigheter er mangelfulle. I det lange løp er dette uheldig, for når virkeligheten innhenter dem, får de kanskje en psykisk knekk som det kan være vanskelig å komme over. Vi får noe av den samme effekten som vi ser i TV-programmer som Idol, der det dukker opp unge mennesker med stor tro på seg selv, men som faller helt gjennom, og som kan bli utsatt for en vurdering som må føles svært brutal og tung å bære.
Etter min vurdering er et realistisk selvbilde noe av det mest verdifulle en elev kan ta med seg ut av skolen. Det kan være fristende å male et for positivt bilde av en elev, ut fra den forestillingen at kritikk er negativt for sjølbildet og dermed destruktivt. Kunsten er imidlertid å la elevene få beholde troen på seg selv, på tross av at de måtte ha svakheter på enkelte områder, og at de gjøres oppmerksomme på dette. De aller fleste elever har noe positivt i seg, og skolen må signalisere at det er mange typer kunnskaper, ferdigheter, holdninger eller væremåter som er verdifulle. Dette er et langt mer bærekraftig mål, enn det å skamrose elever for ting som nøkternt sett ikke er bra. En annen ting er at elever som først blir rost opp i skyene for senere å oppdage at deres ferdigheter på nettopp de områdene de har blitt rost for, ikke holder mål, med god grunn føler seg lurt og sviktet.
I forbindelse med en av de internasjonale testene i matematikk og naturfag, ble elever rundt omkring i verden spurt hvem de trodde kom til gjøre det best. Elever fra USA trodde de kom til å være de beste, mens kinesiske elever trodde de kom til å havne langt ned på lista. Resultatet ble det stikk motsatte. Begge parter kunne med fordel hatt et mer realistisk selvbilde. En annen undersøkelse viste at over 90 % av foresatte i USA mente at den skolen deres håpefulle gikk på, var godt over middels god. Dette er jo en umulighet. Oppfatningen skyldes sannsynligvis at lærerne alltid roser sine elever, og at de framstiller sine pedagogiske opplegg som gode. Det er god grunn til å tro at situasjonen i Norge er den samme.
I japansk skole roses det svært lite. Der anses det som urettferdig å gi mye ros, for man ønsker å unngå at de flinkeste elevene får både i pose og sekk. Det vil de jo gjøre, dersom rosen skal være realistisk. Personlig synes jeg man skal kunne rose det som er bra, og at det er fullt mulig å rose elever for at de gjør sitt beste, samtidig som man er ærlig og sier fra at det faglige nivået realistisk sett ikke er særlig høyt.
Påstand nr. 4
Anstrengelse er en nødvendig betingelse for læring, men det er beklageligvis ikke en tilstrekkelig betingelse.
Mange ivrige kritikere av norsk skole synes å mene at høyere krav om innsats alene vil være tilstrekkelig til å heve kvaliteten i skolen. Dersom man ser på gjennomsnittlig prestasjonsnivå, kan dette være riktig. Noen går imidlertid så langt at de sier det samme om enkeltelever med lærevansker. Da blir påstanden mer tvilsom. Dessverre er det store forskjeller mellom elever med hensyn til læreforutsetninger, det være seg på grunn av intellektuelle forutsetninger, sosiale eller emosjonelle problemer, eller kombinasjoner av disse. Når det gjelder matematikk, har de svenske forskerne Olof Magne og Arne Engström påvist at blant de 15 % svakeste elevene, ligger kunnskapsnivået ved utgang av grunnskolen omtrent på fjerdeklasses nivå. De lærer nye ting gjennom hele skoleløpet, men i et lavere tempo enn gjennomsnittseleven. Det er urealistisk å tro at man kan endre dette bildet på noen enkel måte.
Etter den tredje internasjonale undersøkelsen om skolebarns kunnskaper i matematikk og naturfag (TIMSS) i 1995, satte man i USA i gang et storstilt forskningsprosjekt for å finne ut hva man gjorde annerledes i de landene der elevene scoret høyt i matematikk, sammenlignet i USA. Man startet med 3 land, men i 1999 ble undersøkelsen utvidet til 7 land, Japan, Hong Kong, Australia, Tsjekkia, Nederland, Sveits og USA. Man gjorde videoopptak av 638 undervisningstimer på 8. klassetrinn. Leder for prosjektet var James Stigler. Analysen av prosjektet ble lagt fram i 2003. Hovedkonklusjonen var at det er vanskelig å påvise en enkel sammenheng mellom de undervisningsmetodene som ble brukt og de resultatene elevene oppnådde. Stigler selv uttrykte imidlertid under et besøk i Norge samme høst, at det som syntes å være felles for undervisningen der man lyktes godt, var at elevene ble oppmuntret til å tenke selv. Intellektuell innsats er nødvendig for læring, ikke minst i et fag som matematikk. Jo mer energi man legger ned i læringen, jo bedre utbytte får man av denne læringen.
Dersom man ser de påstand nr. 2 og 3 i sammenheng, kan man litt tabloid si at kunsten er å gjøre det lærerike morsomt og å gjøre anstrengelsen attraktiv. Den viktigste motivasjonsfaktoren er å lykkes med noe man har anstrengt seg for å få til. Den viktigste årsaken til at elever mistrivs, er at de ikke lykkes med de oppgavene de får.
Påstand nr. 4
Det er feil å sette likhetstegn mellom tilpasset opplæring og en sterkest mulig individualisering av undervisningen. Samarbeid og bruk av klassekollektivet er like viktig.
Det sterke kravet om tilpasset undervisning som preger norsk skole, synes å ha ført til en nokså ensidig vekt på individuell tilpasning i form av individuelle arbeidsplaner, der lærerens oppgave blir redusert til veiledning av enkeltelever. Ett resultat av dette er en stadig voksende forventning om økt lærertetthet. En så sterk vektlegging av individuelle opplegg har imidlertid liten støtte blant fagpedagoger, og innen matematikkfaget har man dårlige erfaringer med slike opplegg.
På slutten av 60-tallet og begynnelsen av 70-tallet gjennomførte man her i Norge et forsøk med individualisert matematikkopplæring, det såkalte IMU-prosjektet. Elevene hadde tilgang til emnehefter der hvert enkelt tema forelå i tre vanskegrader. Man benyttet både nivå- og en tempodifferensiering, idet elevene selv kunne velge både vanskenivå og hvor fort de ville gå fram. Lærerne veiledet elevene etter behov. Resultatet var på tross av gode intensjoner nedslående. Liknende funn ble gjort av den engelske forskeren Jo Boaler. Hun har gitt en beskrivelse av denne undersøkelsen i boka Experiencing School Mathematics fra 2001. En oppsummering av hovedfunnene i hennes undersøkelse vil bli gitt i neste avsnitt.
Når man ser det ovenstående i sammenheng med øvrige kapitler i dette skriftet, må man trekke den konklusjonen at det er vanskelig å finne opplegg som er tilstrekkelige for å lære alle elever så mye matematikk som man kunne ønske. Noen trekk skiller seg imidlertid ut. En kort punktvis oppsummering kan være slik:
Det matematiske klasserommet er preget av
® at rommet syder av ideer og hypoteser
— at elevene får legge fram sine ideer og hypoteser
— at ideene prøves ut og diskuteres
r at misforståelser avdekkes og utryddes
at læreren finner strukturene i ideene og klargjør dem for elevene
at læreren synliggjør sammenhenger mellom ideer og mellom ulike sider av matematikken at læreren sammenfatter ideene og lager en syntese
Dette er nødvendige betingelser for god læring i matematikk, og hvis læreren er god, er det også langt på vei tilstrekkelig.
