Et eksempel på utvikling av matematisk innsikt ut fra konkret erfaring

For å illustrere hvordan praktisk erfaring kan brukes til å skape matematisk innsikt, skal vi se litt nærmere på et konkret eksempel, nemlig å lage sekskantede stjerner ved å brette papir. Papirbretting har blitt en populær aktivitet i skolen. Denne aktiviteten kan, i likhet med mange andre aktiviteter, brukes som utgangspunkt for å utvikle og lære mye matematikk, men den kan også bli en innholdsløs erfaring, dvs. en erfaring som ikke fører til noen vesentlig matematisk innsikt.

Vi skal altså se på hvordan vi kan lage en sekskantet stjerne med papir. La oss ta utgangspunkt i et vanlig A4-ark. Starten er illustrert på figur 1.

Vi bretter slik at vi får to rettvinklede og likebeinte trekanter. Deretter legger vi arket med den lengste sida (Hypotenusen) opp og finner midtpunktet A på den.

Vi kan nå klippe vekk rektangelet utenfor trekantene. (Det er ikke nødvendig, men for enkelhets skyld har jeg ”klippet” det vekk i de følgende figurene.) 

Nå skal vi foreta det avgjørende trekket for å kunne få en sekskant. Vi folder papiret sammen slik at de to flippene på sidene brettes inn, slik som illustrert på figur 3. Ideelt sett skal brettingen foregå langs linjene AB og AC, som danner 60° med hypotenusen, og med hverandre. Resultatet blir som på figur 4. Nå er papiret brettet seksdobbelt, med en 60°-ers vinkel på toppen.

Neste trinn er å klippe vekk de nederste endene, slik at vi får en likesidet trekant. Da må vi klippe langs linja DE i figur 5. Hvis vi nå bretter ut papiret, har vi en sekskant, slik som vist på figur 5.

Linjestykket DE er den opprinnelige hypotenusen, men noe kortere. Brettene på arket ligger langs diagonalen i sekskanten.

            Dersom vi ønsker å lage en stjerne, lar vi være å brette ut (eller vi bretter sammen arket igjen). Deretter klipper vi vekk en del av trekantene, slik som vist til venstre i figur 6. Når det hele brettes ut, vil vi få en stjerne, slik som til høyre i figur 6.

Om vi ønsker, kan vi klippe vekk mer og få et resultat på figur 7. Etter å ha eksperimentert litt, kan man lage stjerner med mer variert utseende på armene. Et spennende prosjekt kan være å lage noe som ligner på snøkrystaller. Det kan man få til ved å klippe på en passende måte.

Gir øvelsen økt matematisk innsikt?

 Dette er det grunnleggende spørsmålet for oss. Min holdning er at det er fullt mulig å drive med slike ting som dette, uten at det fører til særlig mye læring med matematisk innhold. Barn kan raskt lære seg å utføre prosedyren over, men dersom man lar det bli med dette og ikke utnytter muligheten til å studere de geometriske strukturene nærmere, er det hele redusert til en happening som nok kan være morsom, men som læringsmessig representerer en uutnyttet mulighet til å lære matematikk. Det ville være synd, for øvelsen og resultatet av den gir rike muligheter for å bedrive matematikk. Mulighetene er så store at man godt kan bruke, eller gjenta, øvelsen på ulike årstrinn oppover i skolen. La oss ta en liten titt på noen muligheter.

Småskoletrinnet

Overfor de minste barna kan man nøye seg med å studere det som er illustrert i figur 5, dvs. vise at en (regulær) sekskant består av seks (likesidede) trekanter. Man kan vise sammenhengen mellom brettingen og figuren, idet man jo ender opp med et seksdobbelt papir, dvs. seks trekanter som ligger oppå hverandre.

Mellomtrinnet

På mellomtrinnet kan man være mer presis på begrepene likesidede og regulære mangekanter, og man kan begynne å se på begreper som areal og omkrets. Man kan for eksempel vise

§  at arealet av sekskanten er seks ganger større enn av hver av deltrekantene, men

§  at omkretsen av sekskanten er bare det dobbelte av omkretsen for hver enkelt trekant, og diskutere hvorfor det er slik.

§  at det er vanskelig å beregne arealet av figurene selv om man vet lengden av sidene, fordi det er problematisk å beregne høyden i trekantene, men

§  at det er enkelt å finne omkretsene

Når det gjelder å beregne arealet av trekanten eller den utbrettede sekskanten, kan man likevel gjøre det ved å måle høyden. Kunsten å beregne den ut fra kjennskap til lengden av siden, må utstå til ungdomstrinnet.

            Når vi er på mellomtrinnet, kan vi også se på arealet av den ferdigklipte figuren (figur 6 eller 7). Da finner vi først arealet av den uklipte figuren (figur 5). Så finner vi arealet av det som klippes vekk og trekker det fra det første arealet.

            Vel så spennende er det å se på omkretsen av de utklipte figurene. Mens arealet av de utklipte stjernene i figur 6 eller 7 er vesentlig mindre enn av den regulære sekskanten i figur 5, er det motsatt med omkretsene! Det er faktisk slik at hvis vi holder oss til å klippe ut trekanter slik som det er gjort her, vil omkretsene bli større jo mindre arealene er. Dersom vi går så langt som å lage snøkrystaller, kan omkretsene bli ganske store! Dette er en lærdom som kan være både overraskende, morsom og nyttig for videre læring.

            En annen enkel øvelse er å se på vinkler. I en likesidet trekant er alle vinkler lik 60°. Dette medfører at innvendige vinkler ved hjørnene i sekskanten er lik 120°. Utvendige vinkler blir 360° - 120° = 240°.

Ungdomstrinnet

På ungdomstrinnet kan man ta i bruk den pytagoreiske læresetningen og beregne høyden i hver deltrekant.

Arealet,

 

Arealet av hele sekskanten er da

Dersom vi skal beregne arealet av du utklipte stjernene eller se nærmere på omkretsene, må vi bruke formlikhet. I figur 9 har vi et eksempel der grunnlinjen av den utklipte trekanten er lik halve grunnlinjen til hele trekanten, dvs. at . En enkel bruk av formlikhet tilsier at alle sidene i er halvparten så lange som sidene i . Alt dette betyr at  og

Arealet av det gjenværende arealet:

Arealet av hele stjerna er 6 ganger større, dvs. . Dette utgjør av det uklipte arealet.

Omkretsen,

Når vi bretter ut og får en sekskantet stjerne, vil de to hele sidene bli gjemt inne i figuren (se figur 6) og omkretsen av hele stjernen blir . Dette er 50 % mer enn omkretsen av den regulære sekskanten .

I figur 10 er innskjæringen den samme som i figur 7.  og .

Arealet av figuren blir

Arealet av stjerna blir

Omkretsen av mangekanten i figur 10 blir

Omkretsen av den utbrettede stjerna blir

Dette er lik 10,5s, dvs. 1,5s lengre enn omkretsen av stjernen i figur 6 og 4,5 s, eller 75 % lengre enn omkretsen av den uklipte sekskanten.

Videregående skole

Beregningene over vil være for tunge for det store flertallet av elevene i ungdomsskolen. De fleste vil være avhengige av å bruke desimaltall i stedet for brøk, og de vil bruke tilnærmingsverdier for kvadratrøtter. Mange elever vil også ha problemer med å regne på det generelle tilfellet, dvs. å bruke en variabel, s, for lengden av siden i den likesidede trekanten. Men på grunnkurset i videregående skole bør det være mulig å gå nie lengre på denne veien, spesielt for elever som ønsker å ta fordypning i matematikk. Og det vil alltids finnes elever i ungdomsskolen som også er i stand til å beherske det meste av dette.

            Om man ønsker kan en øvelse som dette godt brukes til å introdusere trigonometri. Historisk sett var det sannsynligvis den hellenistiske astronomen Ptolemaios, han med det berømte verket Almagest, den første som brukte begrepet sinus. Med dette mente han lengden av korden til sentralvinkelen, målt med lengden av radius som måleenhet.

Senere gikk man over til å bruke halve korden.

I figur 11 er radius lik siden i sekskanten, mens halve korden er halvparten. Vi har da at

Dette kan være en like god måte å introdusere trigonometri på som andre metoder. Her settes begrepet inn i en meningsfull sammenheng, samtidig som man kan benytte anledningen til å lære litt historie.

Temaet trigonometri på grunnlag av figuren over kan utvides i det vide og det brede, men jeg skal ikke gjøre det, bare ta med sinus til 60° som et lite eksempel.

I figur 12 er sinus til 60° lik linjestykket AE, dersom vi setter radius i sirkelen lik 1 (bruker radius som måleenhet). Vi ser at AE = OD. tidligere har vi funnet at (når radius =1). Vi finner altså at .

 

 

Sluttkommentar

I teksten over har beveget meg et godt stykke ut over mellomtrinnets matematikk. Det er gjort for å illustrere hvordan en enkelt praktisk øvelse kan gjentas og brukes flere ganger og på ulike nivåer. Hovedhensikten har vært å vise at matematikk består i å vise sammenhenger og strukturer, og å beskrive disse strukturene i et matematisk språk. Man trenger ikke gå langt på denne veien i barneskolen, men det en illusjon å tro at elevene får utviklet sin matematiske kompetanse bare ved å gjøre en slik bretteøvelse eller andre lignende øvelser. Matematikk blir det først når man analyserer resultatet.