Internaliseringsprosessen

For at matematisk kunnskap skal bli operasjonell, må den internaliseres. Dette krever tid og arbeid, og med unntak av noen helt spesielt begavede, krever det veiledning. Denne internaliseringsprosessen er helt essensiell for å lære matematikk. En problembasert undervisning, slik som omtalt senere i dette manuset, gir gode muligheter til å hjelpe elever på ulike ferdighetsnivåer til å komme gjennom slike prosesser. Anna Sfard (Sfard 2000b) gir imidlertid en klar advarsel om at slike prosesser langt fra er enkle, og at utforming av den matematiske diskurs som brukes i klasseromsdiskusjoner, langt fra er en gitt størrelse; noe som det er enkelt å bruke. Dette skyldes både fagets egenart og elevenes opplevelse av det. Sfard (personlig samtale) gjør det også klart at å lære matematikk krever tid og innsats og at ingen undervisningsmetode kan eliminere dette. Når Olof Magne fremhever betydningen av å legge til side konkretene etter en tid og arbeide med de abstrakte strukturene, tolker jeg det dit hen at han ser på det som nødvendig for å internalisere kunnskapen. Dette stemmer over ens med mine egne erfaringer, både fra min egen tid som elev og fra mine mange år som lærer i ungdomsskolen.

 

De mange forsøk på å gå snarveier

Slik jeg opplever matematikkundervisningen i norsk skole og blant norske didaktikere, representerer mange av de mest brukte og de mest populære metodene forsøk på å finne snarveier gjennom den nødvendige internaliseringsprosessen. I tidligere tider ble hovedvekten lagt på å «forklare» matematikken ved hjelp av den tradisjonelle lærergjennomgangen av stoffet. Man gikk da gjerne rett på deduktive bevis eller abstrakte forklaringer. Senere har man hatt en tilbøyelighet til å falle i motsatt grøft, ved å legge ensidig vekt på konkretiseringer.

Ofte snakker man om kjeden konkreter – halvkonkreter – halvabstrakter – abstrakter. Konkretene er da de faktiske gjenstander eller strukturer man skal regne på, mens halvkonkretene er stiliserte modeller. Halvabstrakter er figurer eller andre representasjoner, mens abstraktene er de indre bildene eller begrepene man danner seg. Det har lenge eksistert en sterk tro på at elevene lærer raskest og mest ved å arbeide med konkreter og halvkonkreter, og at dette har vært en nødvendighet. Selv mener jeg at dette er en for lettvint tankegang. Dette standpunktet kan til en viss grad skyldes at min generasjon tok med seg langt flere erfaringer fra det praktiske inn i skolen, enn det dagens elever gjør, og at behovet for å arbeide med konkreter i skolen derfor langt på vei var overflødig.

Semiotikk – systematiseringen av halvabstraktene

I de senere årene har begrepet semiotikk fått en sterk stilling i matematikkdidaktikken. Semiotikken er læren om tegn og representerer således en systematisering av halvabstrakter. Eksempler på slik tegn er ulike tallsymboler, ikoniske tegn (slik som tegn for vinkel eller trekant) og andre symboler og figurer. Bruk av slike semantiske tegn er opplagt en viktig og nødvendig del av læringsprosessen i matematikk. Alle lærere vet at det å bruke stiliserte figurer, symboler og ulike tegn er helt nødvendig i arbeidsprosessene. Erfaring viser også at elever ofte går rett på det halvabstrakte nivået og hopper over det konkrete trinnet når de skal løse problemer av ulike slag. Det foreligger imidlertid en risiko her, dersom lærere tror at det å arbeide med semantiske tegn er en ny snarvei i internaliseringsprosessen. Det finnes ingen slike snarveier.

 

Utematematikk

Å lære matematikk utenfor klasserommet har blitt en populær metode, og har sikkert mye for seg. Teorien bak metoden er imidlertid etter min mening nokså tvilsom. Den bygger på forestillingen om at musklene «husker». Det kan kanskje ha noe for seg når det gjelder fysisk aktivitet, men at dette skal hjelpe oss i internalisering av matematiske begreper, synes å være litt søkt. Metoden står for meg som nok et forsøk på å finne en snarvei gjennom noe som man i virkeligheten ikke kan komme gjennom uten konsentrert og gjentatt innsats over lengre tid. 

 

Hinna, K. R.C., Rinvold. R.A., Gustavsen, T.S. (2011). QED, 5-10. Norge. Høyskoleforlaget.

Sfard, A. (2000b). On reform movement and the limits of mathematical discourse. Mathematical Thinking and Learning, 2(3), 157-189

Sfard, A.& Linchevski, L. (1994) . The gains and the pitfalls  of reification: The case of  algebra. Educational Studies in Mathematics , 26, 191-228. Reprinted in P. Cobb (ed.), Learning Mathematics -- Constructivist and Interactionist theories of mathematical development.(pp. 87-124). Dordrecht: Kluwer Academic  Publishers.

Sfard, A. (1994). Reification as a birth of a metaphor. For the  Learning of Mathematics, 14(1), 44-55

Tilpasset undervisning – individualisering eller gode kollektive undervisningsformer?

På 1990-tallet, i forbindelse med ny læreplan for grunnskolen i 1997, L97, ble begrepet differensiert undervisning erstattet med begrepet tilpasset undervisning. Etter min vurdering har dette hatt som følge at idealet har blitt for ensidig rettet mot individualisering av undervisningen. Det tok ikke lang tid før mange skoler begynte å lage individuelle læreplaner for alle elever, ikke bare dem som ble innvilget timer til spesialundervisning, slik det hadde vært inntil da. I enkelte kommuner påla skoleeierne lærerne å lage slike planer for sine elever.

 

Det er ikke vanskelig å forstå at dette var en naturlig utvikling. Differensiering gir naturlige assosiasjoner til organisering av elevene etter evner og prestasjoner. Her i Norge var dette systematisert i ungdomsskolen inntil Mønsterplanen av 1974, da kursplandelingen ble erstattet med sammenholdte klasser. Jeg sto selv midt oppe i en intens diskusjon om hvorvidt det var mulig å lykkes med undervisningen i sammenholdte klasser, og fikk være klassestyrer i det første kullet (1974-76). For meg var det en stor tilfredsstillelse å oppleve at det hele gikk bra, men var nok heldig, da jeg var heldig nok til å få styre en uvanlig god og sammensveiset klasse. Siden den gang har det ikke vært tillatt å drive systematisk nivådifferensiering i norsk skole, selv om det nok har blitt foretatt en del mer eller mindre fordekte forsøk på slik nivådifferensiering. I mange andre land, ikke minst i engelskspråklige områder, også i Tyskland, er slik differensiering vanlig. En vanlig betegnelse på fenomenet på engelsk er academic streaming. De senere årene har mange forskere stilt seg kritiske til slik streaming (f.eks. Benn, 2011). Det henvises til forskning som tilsier at både de svakeste og de sterkeste taper på nivådifferensieringen. For en del år siden var jeg på et studiebesøk i Haifa i Israel. Akkurat da diskuterte de om de skulle legge til side systemet med streaming. Jeg har også registrert at den samme diskusjonen har funnet sted i asiatiske land, som Kina.

Når vi snakker om tilpasset undervisning, er det naturlig å tenke på en undervisning tilpasset hver enkelt elev, ikke bare grupper av elever på omtrent samme faglige nivå. Slik sett er det ikke noe overraskende at man får en dreining mot individuelle opplegg. Lærerorganisasjonene og politikerne følger opp med krav om at vi må få så stor lærertetthet at «hver enkelt elev kan få den hjelpen han eller hun har krav på». Idealet synes å være et opplegg der hver enkelt elev arbeider i sitt eget tempo og med sitt eget stoff, og at læreren går rundt og hjelper elevene.

Det er interessant å observere at slike individualiserte opplegg, passer meget godt sammen med forestillingen om at elevene skulle ha ansvar for egen læring, noe som nærmest var et pedagogisk motefenomen på slutten av 1980- og begynnelsen av 1990-tallet. Denne forestillingen dannet bakgrunnen for det omseggripende opplegget med arbeidsplaner og ukeplaner i skolen. Opprinnelig var nok meningen å gi elevene mulighet til å styre sin egen tidsbruk, slik at de kunne gjøre oppgaver og utføre oppdrag på tidspunkter som passet dem selv. Den intense bruken av fritid til ulike aktiviteter, hadde ført til at det ble vanskelig å gjøre lekser på kort varsel, slik som før. Etter hvert utartet nok det hele til en forestilling om at elevene skulle ha mye av ansvaret for selve innlæringen også. Mange av oss fikk en følelse av at læreren ble bedt om å abdisere fra sin tradisjonelle rolle som kunnskapsformidler.

Individualiserte opplegg er imidlertid ikke noe nytt i norsk skole. Berømt og beryktet er det såkalte IMU-prosjektet fra 60-tallet. Jo Boaler (1997) beskriver et lignende opplegg i sin kjente bok Experiencing School Mathematics: Teaching Styles, Sex and Setting. Begge disse to tilfellene reiser alvorlige spørsmål ved hensiktsmessigheten av slike individualiserte opplegg. Mine egne erfaringer fra 26 års undervisningspraksis i ungdomsskolen peker hen mot den samme konklusjonen. Det gjør også nyere forskning. I en doktorgradsavhandling fra 2009, Individuelle versus kollektive arbeidsformer. En drøfting av aktuelle utfordringer i matematikkundervisningen i grunnskolen, kommer Ole Kristian Bergem fram til klare konklusjoner som er kritiske til at den utstrakte bruken av arbeidsprogrammer og individuelt arbeid går på bekostning av kollektive læringsformer. Det er først og fremst mangelen på diskusjoner med høyfaglig kvalitet, som er betenkelig. Hans undersøkelser støtter også opp under Boalers påpeking av at de individualiserte oppleggene fort fører til kjedsomhet, og at de gjerne fremmer instrumentell tenkning framfor operasjonell forståelse av det faglige stoffet (det viktige blir å bruke matematikkfaget som instrument for å komme inn på andre skoler.) Bergems konklusjoner er godt belagt, både teoretisk og empirisk. Det vil føre for langt å redegjøre for alt dette her, men jeg vil gjerne få gjengi følgende sitat fra hans avhandling:

 

Mathematics classrooms are more likely to be places of learning in which mathematical proficiency develops when they are communities of learners and not collections of isolated individuals. (Kilpatric, Swafford & Findall 2001, p. 425).

 

Det er læreren som initiativtaker til faglig diskurser og som den kyndige debattleder, som framstår som det viktige.

 

Min konklusjon er at mengder av forskning, egne erfaringer og teoretiske utlegnigner, gir full støtte til de synspunktene som har kommet til uttrykk hos Alan Bell og Ian Thompson, og i det jeg har beskrivet av arbeidsmetoder i japansk skole.