Internaliseringsprosessen

For at matematisk kunnskap skal bli operasjonell, må den internaliseres. Dette krever tid og arbeid, og med unntak av noen helt spesielt begavede, krever det veiledning. Denne internaliseringsprosessen er helt essensiell for å lære matematikk. En problembasert undervisning, slik som omtalt senere i dette manuset, gir gode muligheter til å hjelpe elever på ulike ferdighetsnivåer til å komme gjennom slike prosesser. Anna Sfard (Sfard 2000b) gir imidlertid en klar advarsel om at slike prosesser langt fra er enkle, og at utforming av den matematiske diskurs som brukes i klasseromsdiskusjoner, langt fra er en gitt størrelse; noe som det er enkelt å bruke. Dette skyldes både fagets egenart og elevenes opplevelse av det. Sfard (personlig samtale) gjør det også klart at å lære matematikk krever tid og innsats og at ingen undervisningsmetode kan eliminere dette. Når Olof Magne fremhever betydningen av å legge til side konkretene etter en tid og arbeide med de abstrakte strukturene, tolker jeg det dit hen at han ser på det som nødvendig for å internalisere kunnskapen. Dette stemmer over ens med mine egne erfaringer, både fra min egen tid som elev og fra mine mange år som lærer i ungdomsskolen.

 

De mange forsøk på å gå snarveier

Slik jeg opplever matematikkundervisningen i norsk skole og blant norske didaktikere, representerer mange av de mest brukte og de mest populære metodene forsøk på å finne snarveier gjennom den nødvendige internaliseringsprosessen. I tidligere tider ble hovedvekten lagt på å «forklare» matematikken ved hjelp av den tradisjonelle lærergjennomgangen av stoffet. Man gikk da gjerne rett på deduktive bevis eller abstrakte forklaringer. Senere har man hatt en tilbøyelighet til å falle i motsatt grøft, ved å legge ensidig vekt på konkretiseringer.

Ofte snakker man om kjeden konkreter – halvkonkreter – halvabstrakter – abstrakter. Konkretene er da de faktiske gjenstander eller strukturer man skal regne på, mens halvkonkretene er stiliserte modeller. Halvabstrakter er figurer eller andre representasjoner, mens abstraktene er de indre bildene eller begrepene man danner seg. Det har lenge eksistert en sterk tro på at elevene lærer raskest og mest ved å arbeide med konkreter og halvkonkreter, og at dette har vært en nødvendighet. Selv mener jeg at dette er en for lettvint tankegang. Dette standpunktet kan til en viss grad skyldes at min generasjon tok med seg langt flere erfaringer fra det praktiske inn i skolen, enn det dagens elever gjør, og at behovet for å arbeide med konkreter i skolen derfor langt på vei var overflødig.

Semiotikk – systematiseringen av halvabstraktene

I de senere årene har begrepet semiotikk fått en sterk stilling i matematikkdidaktikken. Semiotikken er læren om tegn og representerer således en systematisering av halvabstrakter. Eksempler på slik tegn er ulike tallsymboler, ikoniske tegn (slik som tegn for vinkel eller trekant) og andre symboler og figurer. Bruk av slike semantiske tegn er opplagt en viktig og nødvendig del av læringsprosessen i matematikk. Alle lærere vet at det å bruke stiliserte figurer, symboler og ulike tegn er helt nødvendig i arbeidsprosessene. Erfaring viser også at elever ofte går rett på det halvabstrakte nivået og hopper over det konkrete trinnet når de skal løse problemer av ulike slag. Det foreligger imidlertid en risiko her, dersom lærere tror at det å arbeide med semantiske tegn er en ny snarvei i internaliseringsprosessen. Det finnes ingen slike snarveier.

 

Utematematikk

Å lære matematikk utenfor klasserommet har blitt en populær metode, og har sikkert mye for seg. Teorien bak metoden er imidlertid etter min mening nokså tvilsom. Den bygger på forestillingen om at musklene «husker». Det kan kanskje ha noe for seg når det gjelder fysisk aktivitet, men at dette skal hjelpe oss i internalisering av matematiske begreper, synes å være litt søkt. Metoden står for meg som nok et forsøk på å finne en snarvei gjennom noe som man i virkeligheten ikke kan komme gjennom uten konsentrert og gjentatt innsats over lengre tid. 

 

Hinna, K. R.C., Rinvold. R.A., Gustavsen, T.S. (2011). QED, 5-10. Norge. Høyskoleforlaget.

Sfard, A. (2000b). On reform movement and the limits of mathematical discourse. Mathematical Thinking and Learning, 2(3), 157-189

Sfard, A.& Linchevski, L. (1994) . The gains and the pitfalls  of reification: The case of  algebra. Educational Studies in Mathematics , 26, 191-228. Reprinted in P. Cobb (ed.), Learning Mathematics -- Constructivist and Interactionist theories of mathematical development.(pp. 87-124). Dordrecht: Kluwer Academic  Publishers.

Sfard, A. (1994). Reification as a birth of a metaphor. For the  Learning of Mathematics, 14(1), 44-55