Navneforvirring?

 Når våre bestemmende politiske myndigheter legger vekk kravet om minimum karakteren 4 fra grunnkurset i videregående skole, undrer jeg meg på om de har en oppfatning av begrepet matematikk, som ble utdatert for mange tiår siden.

Da jeg gikk på skolen (såkalt folkeskole 1952 - 59) ble ikke ordet matematikk brukt om det regnefaget som ble brukt i grunnskolen. Matematikk var noe som ble brukt om geometri og algebra, og var noe vi fikk møte først i realskolen. Myndighetspersoner i dag synes å henge fast i denne oppfatningen fremdeles. De tror tydelig vis at matematikk er noe mystisk og rart, som bare et fåtall spesialister har noen befatning med, og som folk flest ikke behøver å vite noe om. Men i dag omfatter begrepet matematikk også alt som har med tall å gjøre, og all bruk av dem. Å kunne telle til 5, er matematikk, slik som begrepet brukes i dag!

Følgende er like et faktum:
* Den matematikken som kreves for å oppnå karakteren 4 på grunnkurset i videregående skole, er ikke mer enn pensum i 5. klasse i barneskolen.

* De aller, aller fleste lærere i norsk barneskole må undervise i ALLE fag, også i matematikk! Da burde det være en selvfølge at vi krever av dem, at de behersker barneskolens matematikk

På bakgrunn av dette er jeg sterkt uenig i vedtaket om å fjerne 4-erkravet!

 

Jeg hadde ikke ment å skrive mer på denne bloggen, da det meste er skrevet for lenge siden, men jeg fikk lyst til å skrive ned et par tanker likevel.

Hovedmålet med undervisningen,i matematikk som i andre teorifag, er å trene opp elevene til å tenke sjøl. Dette har et par viktige implikeasjoner:

1. Elevene må tilføres størst mulig forståelse. Dette betyr at målet ikke er å lære elevene å kopiere standardoppsett, eller teknikker som læreren gjennomgår.

2. Undervisningen må være problemorientert.

3. Alle løsningsforslag må diskuteres og analyseres.

Å oppfylle slike mål, krever at læreren sev har fundamental innsikt i grunnleggende matematikk. I de faglige tekstene i denne bloggen, er det derfor lagt stor vekt på grunnleggende matematikk - særlig i delen for ungdomsskolen. Den delen som er mest diskutabel, og der jeg føler meg usikker, er avsnittene om bruk av algoritmer i de fire regningsartene. De avsnittene som etter min egen vurdering  best kan gi yngre lærere, er avsnittene om brøk, prosentregning, og stoffet om sammenhenger i grunnleggende matematikk. 

Kan noen hjelpe meg?

Jeg har et visst håp om å få gitt ut innholdet i denne bloggen i bokform, men det er megetvanskelig å få til dette. En ting jeg trenger, er en anbefaling eller en støtteerklæring fra noen som bruker bloggen. Er det noen som kan tenke seg å gi noe slikt?

Matematikktalenter i skolen - hva med dem?

Min gode venn og tidligere kollega, Einar Jahr. har skrevet en ny bok med tittelen i overskriften, hva med matematikktalentene i skolen?

Myndighetenes løsning har vært å la dem regne videre, på pensum i høyere klasser, eller i videregående skole. Jahr mener at de flinke elevene skal jobbe med fordypning og problemløsning, ikke akselerasjon inn på høyere trinn. Jeg kan ikke være mer enig! Dette er helt i tråd med den filosofo jeg har presentert tidligere, o gjeg har prøvd det ut i praksis, med stort hell!

Boka anbefales på det varmeste!

Einar Jahr selv skriver dette:

27.-29. mai var jeg på en fagdidaktikk-konferanse i Helsingfors (NOFA 5) og deltok på en parallellsesjon om matematikktalentene i skolen, som jeg har skrevet et kapittel om i en bok som Cappelen har gitt ut. Jeg argumenterer for berikelse framfor akselerasjon, dvs. at de talentfulle elevene skal arbeide med å fordype seg i det klassen holder på med i stedet for å få matematikk på høyere klassetrinn. Jeg kjenner en 9.-klassing som tok 9.-klasseeksamen i fjor med karakter 6. I år har han arbeidet med 10.-klassepensum, men har ikke hatt en eneste time undervisning i matematikk. Nå har skolen hans endret reglementet, slik at han ikke kan ta 10-klasseeksamen i år, men må ta 9.-klasseeksamen om igjen. Han kan nemlig ikke ta 10.-klasseeksamen to ganger, i tilfelle han bare fikk 5 i år. Slik kan det bli når skolen ikke har annet å tilby talentene enn akselerasjon.
Det er flere grunner til å foretrekke berikelse:

• Elevene skal møte hele mennesker i sin skoletid; ikke bare dem som presterer likt med dem selv.
• Talentene skal venne seg til å la sitt talent komme også andre til gode.
• Talentene skal møte en rikere matematikk enn den som er ment for alle. Det blir for tynt om de får det samme som de andre, bare litt tidligere.
• Berikelse for talentene krever ikke mye ekstra tid av skolen, bare kompetanse.
• Egne grupper for talentene kan dannes utenom skolen, slik som i idrett. Idrettstalentene tas ikke ut av klassen i gymtimene!

Disse kulepunktene er hovedinnholdet i mitt kapittel i boka; i tillegg gir jeg eksempler fra forskjellige klassetrinn.

Den 9.-klassingen jeg skriver om, er Hildes sønnesønn Christopher. Han har hatt en del fravær i det siste på grunn av infeksjon i en nedgrodd tånegl og en mislykket operasjon. Nå har matematikk"læreren" hans stilt ultimatum om at han må ta 9.-klasseprøven, "ellers gir jeg deg en femmer"! Jeg tror jeg vil spørre om dokumentasjon for denne femmeren, som skal annullere sekseren fra i fjor! Jeg kunne ha lyst til å anmelde skolen for brudd på opplæringslova, der det står:

§ 1-3.Tilpassa opplæring og tidleg innsats

Opplæringa skal tilpassast evnene og føresetnadene hjå den enkelte eleven, lærlingen og lærekandidaten.

En meget kortfattet oppsummering

Jeg har egentlig sluttet å skrive nye ting på denne bloggen for lenge siden, men fikk lyst til å lage en kort oppsummering:

1. Det aller viktigste prinsippet i matematikkundervisning er å anspore elevene til å tenke selv. De skal bli problemløsere, tenkere og selvstendige mennesker, ikke kopister! Dette medfører blant annet at elevene må anstrenge seg. Det hele er akkurat som med idrett - uten hardt arbeid, kommer du ingen steder! Kunsten blir derfor å komme i en situasjon der arbeidet gir belønning i form av mestringsfølelse. Dette er den suverent beste form for motivasjon.

2. Det er ganske sikkert mulig å bruke ulike angrepsmidler for å oppnå dette, men min formening er at systematisert problemløsning som metode, er den beste metoden.

3. Elever må få imidlertid hjelp til å tenke riktig. Det er en feiloppfatning å tro at de kan tilegne seg matematikken på egenhånd. Faren for misforståelser og feiloppfatninger er altfor stor. (Det er her diagnostisk undervisning kommer inn som et viktig tiltak.)

4. Jeg mener også at såkalt konfronterende undervisning er et nødvendig virkemiddel. Feiloppfatninger og misforståelser skal fram i dagen og brukes konstruktivt.

5. Dette foregå best i åpne diskusjoner i en klasse eller større gruppe, der alle drar veksler på hverandres innsikt og kunnskap. Læreren skal være diskusjonsleder og den faglige autoriteten! Dette er grunnen til at jeg mener at den beste arenaen for god undervisning er gammeldagse klasser. Forestillingen om at man må ha færrest mulig elever tilstede, slik at "alle kan få den hjelpen den trenger", er etter min mening kunnskapsløst politikerprek.


P.s. Jeg hadde håpet å få trykt det stoffet som ligger på denne bloggen i bokform, men det er visst ikke bra nok.La meg få komme med et motangrep: mange av de metodene som folk er så glad i, bærer preg av å være fikse løsninger - en slags vidundermedisin der elevene skal få matematikken gratis, uten å måtte anstrenge seg. Derfor tillater jeg meg å være litt skeptisk til mye av det.

Internaliseringsprosessen

For at matematisk kunnskap skal bli operasjonell, må den internaliseres. Dette krever tid og arbeid, og med unntak av noen helt spesielt begavede, krever det veiledning. Denne internaliseringsprosessen er helt essensiell for å lære matematikk. En problembasert undervisning, slik som omtalt senere i dette manuset, gir gode muligheter til å hjelpe elever på ulike ferdighetsnivåer til å komme gjennom slike prosesser. Anna Sfard (Sfard 2000b) gir imidlertid en klar advarsel om at slike prosesser langt fra er enkle, og at utforming av den matematiske diskurs som brukes i klasseromsdiskusjoner, langt fra er en gitt størrelse; noe som det er enkelt å bruke. Dette skyldes både fagets egenart og elevenes opplevelse av det. Sfard (personlig samtale) gjør det også klart at å lære matematikk krever tid og innsats og at ingen undervisningsmetode kan eliminere dette. Når Olof Magne fremhever betydningen av å legge til side konkretene etter en tid og arbeide med de abstrakte strukturene, tolker jeg det dit hen at han ser på det som nødvendig for å internalisere kunnskapen. Dette stemmer over ens med mine egne erfaringer, både fra min egen tid som elev og fra mine mange år som lærer i ungdomsskolen.

 

De mange forsøk på å gå snarveier

Slik jeg opplever matematikkundervisningen i norsk skole og blant norske didaktikere, representerer mange av de mest brukte og de mest populære metodene forsøk på å finne snarveier gjennom den nødvendige internaliseringsprosessen. I tidligere tider ble hovedvekten lagt på å «forklare» matematikken ved hjelp av den tradisjonelle lærergjennomgangen av stoffet. Man gikk da gjerne rett på deduktive bevis eller abstrakte forklaringer. Senere har man hatt en tilbøyelighet til å falle i motsatt grøft, ved å legge ensidig vekt på konkretiseringer.

Ofte snakker man om kjeden konkreter – halvkonkreter – halvabstrakter – abstrakter. Konkretene er da de faktiske gjenstander eller strukturer man skal regne på, mens halvkonkretene er stiliserte modeller. Halvabstrakter er figurer eller andre representasjoner, mens abstraktene er de indre bildene eller begrepene man danner seg. Det har lenge eksistert en sterk tro på at elevene lærer raskest og mest ved å arbeide med konkreter og halvkonkreter, og at dette har vært en nødvendighet. Selv mener jeg at dette er en for lettvint tankegang. Dette standpunktet kan til en viss grad skyldes at min generasjon tok med seg langt flere erfaringer fra det praktiske inn i skolen, enn det dagens elever gjør, og at behovet for å arbeide med konkreter i skolen derfor langt på vei var overflødig.

Semiotikk – systematiseringen av halvabstraktene

I de senere årene har begrepet semiotikk fått en sterk stilling i matematikkdidaktikken. Semiotikken er læren om tegn og representerer således en systematisering av halvabstrakter. Eksempler på slik tegn er ulike tallsymboler, ikoniske tegn (slik som tegn for vinkel eller trekant) og andre symboler og figurer. Bruk av slike semantiske tegn er opplagt en viktig og nødvendig del av læringsprosessen i matematikk. Alle lærere vet at det å bruke stiliserte figurer, symboler og ulike tegn er helt nødvendig i arbeidsprosessene. Erfaring viser også at elever ofte går rett på det halvabstrakte nivået og hopper over det konkrete trinnet når de skal løse problemer av ulike slag. Det foreligger imidlertid en risiko her, dersom lærere tror at det å arbeide med semantiske tegn er en ny snarvei i internaliseringsprosessen. Det finnes ingen slike snarveier.

 

Utematematikk

Å lære matematikk utenfor klasserommet har blitt en populær metode, og har sikkert mye for seg. Teorien bak metoden er imidlertid etter min mening nokså tvilsom. Den bygger på forestillingen om at musklene «husker». Det kan kanskje ha noe for seg når det gjelder fysisk aktivitet, men at dette skal hjelpe oss i internalisering av matematiske begreper, synes å være litt søkt. Metoden står for meg som nok et forsøk på å finne en snarvei gjennom noe som man i virkeligheten ikke kan komme gjennom uten konsentrert og gjentatt innsats over lengre tid. 

 

Hinna, K. R.C., Rinvold. R.A., Gustavsen, T.S. (2011). QED, 5-10. Norge. Høyskoleforlaget.

Sfard, A. (2000b). On reform movement and the limits of mathematical discourse. Mathematical Thinking and Learning, 2(3), 157-189

Sfard, A.& Linchevski, L. (1994) . The gains and the pitfalls  of reification: The case of  algebra. Educational Studies in Mathematics , 26, 191-228. Reprinted in P. Cobb (ed.), Learning Mathematics -- Constructivist and Interactionist theories of mathematical development.(pp. 87-124). Dordrecht: Kluwer Academic  Publishers.

Sfard, A. (1994). Reification as a birth of a metaphor. For the  Learning of Mathematics, 14(1), 44-55

Tilpasset undervisning – individualisering eller gode kollektive undervisningsformer?

På 1990-tallet, i forbindelse med ny læreplan for grunnskolen i 1997, L97, ble begrepet differensiert undervisning erstattet med begrepet tilpasset undervisning. Etter min vurdering har dette hatt som følge at idealet har blitt for ensidig rettet mot individualisering av undervisningen. Det tok ikke lang tid før mange skoler begynte å lage individuelle læreplaner for alle elever, ikke bare dem som ble innvilget timer til spesialundervisning, slik det hadde vært inntil da. I enkelte kommuner påla skoleeierne lærerne å lage slike planer for sine elever.

 

Det er ikke vanskelig å forstå at dette var en naturlig utvikling. Differensiering gir naturlige assosiasjoner til organisering av elevene etter evner og prestasjoner. Her i Norge var dette systematisert i ungdomsskolen inntil Mønsterplanen av 1974, da kursplandelingen ble erstattet med sammenholdte klasser. Jeg sto selv midt oppe i en intens diskusjon om hvorvidt det var mulig å lykkes med undervisningen i sammenholdte klasser, og fikk være klassestyrer i det første kullet (1974-76). For meg var det en stor tilfredsstillelse å oppleve at det hele gikk bra, men var nok heldig, da jeg var heldig nok til å få styre en uvanlig god og sammensveiset klasse. Siden den gang har det ikke vært tillatt å drive systematisk nivådifferensiering i norsk skole, selv om det nok har blitt foretatt en del mer eller mindre fordekte forsøk på slik nivådifferensiering. I mange andre land, ikke minst i engelskspråklige områder, også i Tyskland, er slik differensiering vanlig. En vanlig betegnelse på fenomenet på engelsk er academic streaming. De senere årene har mange forskere stilt seg kritiske til slik streaming (f.eks. Benn, 2011). Det henvises til forskning som tilsier at både de svakeste og de sterkeste taper på nivådifferensieringen. For en del år siden var jeg på et studiebesøk i Haifa i Israel. Akkurat da diskuterte de om de skulle legge til side systemet med streaming. Jeg har også registrert at den samme diskusjonen har funnet sted i asiatiske land, som Kina.

Når vi snakker om tilpasset undervisning, er det naturlig å tenke på en undervisning tilpasset hver enkelt elev, ikke bare grupper av elever på omtrent samme faglige nivå. Slik sett er det ikke noe overraskende at man får en dreining mot individuelle opplegg. Lærerorganisasjonene og politikerne følger opp med krav om at vi må få så stor lærertetthet at «hver enkelt elev kan få den hjelpen han eller hun har krav på». Idealet synes å være et opplegg der hver enkelt elev arbeider i sitt eget tempo og med sitt eget stoff, og at læreren går rundt og hjelper elevene.

Det er interessant å observere at slike individualiserte opplegg, passer meget godt sammen med forestillingen om at elevene skulle ha ansvar for egen læring, noe som nærmest var et pedagogisk motefenomen på slutten av 1980- og begynnelsen av 1990-tallet. Denne forestillingen dannet bakgrunnen for det omseggripende opplegget med arbeidsplaner og ukeplaner i skolen. Opprinnelig var nok meningen å gi elevene mulighet til å styre sin egen tidsbruk, slik at de kunne gjøre oppgaver og utføre oppdrag på tidspunkter som passet dem selv. Den intense bruken av fritid til ulike aktiviteter, hadde ført til at det ble vanskelig å gjøre lekser på kort varsel, slik som før. Etter hvert utartet nok det hele til en forestilling om at elevene skulle ha mye av ansvaret for selve innlæringen også. Mange av oss fikk en følelse av at læreren ble bedt om å abdisere fra sin tradisjonelle rolle som kunnskapsformidler.

Individualiserte opplegg er imidlertid ikke noe nytt i norsk skole. Berømt og beryktet er det såkalte IMU-prosjektet fra 60-tallet. Jo Boaler (1997) beskriver et lignende opplegg i sin kjente bok Experiencing School Mathematics: Teaching Styles, Sex and Setting. Begge disse to tilfellene reiser alvorlige spørsmål ved hensiktsmessigheten av slike individualiserte opplegg. Mine egne erfaringer fra 26 års undervisningspraksis i ungdomsskolen peker hen mot den samme konklusjonen. Det gjør også nyere forskning. I en doktorgradsavhandling fra 2009, Individuelle versus kollektive arbeidsformer. En drøfting av aktuelle utfordringer i matematikkundervisningen i grunnskolen, kommer Ole Kristian Bergem fram til klare konklusjoner som er kritiske til at den utstrakte bruken av arbeidsprogrammer og individuelt arbeid går på bekostning av kollektive læringsformer. Det er først og fremst mangelen på diskusjoner med høyfaglig kvalitet, som er betenkelig. Hans undersøkelser støtter også opp under Boalers påpeking av at de individualiserte oppleggene fort fører til kjedsomhet, og at de gjerne fremmer instrumentell tenkning framfor operasjonell forståelse av det faglige stoffet (det viktige blir å bruke matematikkfaget som instrument for å komme inn på andre skoler.) Bergems konklusjoner er godt belagt, både teoretisk og empirisk. Det vil føre for langt å redegjøre for alt dette her, men jeg vil gjerne få gjengi følgende sitat fra hans avhandling:

 

Mathematics classrooms are more likely to be places of learning in which mathematical proficiency develops when they are communities of learners and not collections of isolated individuals. (Kilpatric, Swafford & Findall 2001, p. 425).

 

Det er læreren som initiativtaker til faglig diskurser og som den kyndige debattleder, som framstår som det viktige.

 

Min konklusjon er at mengder av forskning, egne erfaringer og teoretiske utlegnigner, gir full støtte til de synspunktene som har kommet til uttrykk hos Alan Bell og Ian Thompson, og i det jeg har beskrivet av arbeidsmetoder i japansk skole.

Overfladisk skoletenkning

Medlem av Civita, Paul Chaffey, og en studentrepresentant har skrevet om morgendagens skole i en kronikk i Dagsavisen. Bak deres synspunkter ligger det et par underliggende forutsetninger, som etter min mening er både overfladiske og grunnleggende feilaktige. For det første har de et kunnskapssyn som uterlukkende fremmer det vi kaller figurativ læring, og for det andre omtaler de skolen som en institusjon som eksisterer kun for næringslivets behov. Jeg vil gjerne kort få kommentere begge deler.

Figurativ kontra operasjonell kunnskap

Operasjonell forståelse er et innfløkt begrep, men kan litt kort forklares slik: for at forståelsen av et stoff skal være operasjonelt, må den være internalisert, den må være reversibel, og den må kunne settes inn i en sammenheng. Det motsatte kalles figurativ læring. Chaffey og Heide faller i den fellen å tro at det bare er den siste form for kunnskap som skolen skal befatte seg med. Den karakteriseres av å vær en overflatisk læring, der målet ofte bare er å huske fakta eller reprodusere noe til en prøve. Man kan oppøve ferdighet til å løse standardoppgaver, men forståelsen kan være meget mangelfull.

Særlig i fag som matematikk og andre tunge realfag er kronikørenes læringssyn problematisk. Fagmatematikere tenker gjerne på sitt fag etter to hovedlinjer: som problemløsing og som et presisjonsspråk som beskriver mønstre og sammenhenger. Å mestre dette faget er noe langt mer enn å løse standardoppgaver. De to nevnte kronikørene synes å mene at det kun er regneferdigheter det hele går ute på. Det synet passer for øvrig godt sammen med et snevert syn på kunnskap, der skolen kun tildeles rollen med å skaffe næringslivet arbeidstakere som kan utføre rutineoppgaver. Slike rutineoppgaver finnes det jo fortsatt mange av, selv i et høyteknologisk samfunn. Svært mye ingeniør- og IT-arbeid går ut på å gjenta de samme typer beregninger og oppgaver. Men når det gjelder forsknings- og utviklingsarbeid, holder ikke denne holdningen til faget mål. Da må man ha nettopp operasjonell kunnskap. I våre dager er det dessuten en sjeldenhet at noen driver med slikt arbeid alene. Man må kunne samarbeide, noe man bør få trening til i skolen. Det er på bakgrunn av dette mange av oss didaktikere mener at M87 var den beste læreplanen Norge har hatt.

I den læringsteorien som kalles radikal konstruktivisme, sies det at elever alltid danner seg sine private oppfatninger av ting. Faren for misoppfatninger og rene misforståelser er stor. Den beste måten å rette opp dette på, er faglige diskusjoner og oppklaringer. Dette foregår best i et kollektiv. I land der elevene lærer mest matematikk, er man bevisste på nettopp dette. Har man privatlærer, kan selvsagt diskusjonen og oppklaringene foregå mellom elev og lærer. Det er langt verre å diskutere med en datamaskin.

Skolens formålsparagraf

Det synes å ha blitt et fellestrekk for de fleste politiske aktører som diskuterer skole, at de ikke bryr seg om hva skolens, og særlig grunnskolens, oppgave egentlig er, slik det er vedtatt i skolens formålsparagraf. Der sies det ikke noe om at landet trenger ingeniører, eller noen annen yrkesgruppe for den del. Formålet dreier seg om det vi i pedagogiske kretser kaller dannelse. Kort sagt kan dette forklares ved å si at skolens hovedoppgave er å få elevene til å forstå mest mulig av både den fysiske, historiske, sosiale og kulturelle verden. Paragrafen lyder slik:

Opplæringa i skole og lærebedrift skal, i samarbeid og forståing med heimen, opne dører mot verda og framtida og gi elevane og lærlingane historisk og kulturell innsikt og forankring.

Opplæringa skal byggje på grunnleggjande verdiar i kristen og humanistisk arv og tradisjon, slik som respekt for menneskeverdet og naturen, på åndsfridom, nestekjærleik, tilgjeving, likeverd og solidaritet, verdiar som òg kjem til uttrykk i ulike religionar og livssyn og som er forankra i menneskerettane.

Opplæringa skal bidra til å utvide kjennskapen til og forståinga av den nasjonale kulturarven og vår felles internasjonale kulturtradisjon.

Opplæringa skal gi innsikt i kulturelt mangfald og vise respekt for den einskilde si overtyding. Ho skal fremje demokrati, likestilling og vitskapleg tenkjemåte.

Elevane og lærlingane skal utvikle kunnskap, dugleik og holdningar for å kunne meistre liva sine og for å kunne delta i arbeid og fellesskap i samfunnet. Dei skal få utfalde skaparglede, engasjement og utforskartrong.

Elevane og lærlingane skal lære å tenkje kritisk og handle etisk og miljøbevisst. Dei skal ha medansvar og rett til medverknad.

Skolen og lærebedrifta skal møte elevane og lærlingane med tillit, respekt og krav og gi dei utfordringar som fremjar danning og lærelyst. Alle former for diskriminering skal motarbeidast.

Formålsparagrafen viser med all tydelighet at skolen handler om langt mer enn næringslivets behov. Det dreier seg også om å gi elevene kunnskaper som kan anvendes til deltakelse i samfunnslivet, i politiske og andre demokratiske organer, fagforeninger, frivillige lag og organisasjoner. Dette gjelder også matematikkfaget og andre realfag.

Når man ser på skolens formålsparagraf og det læringssyn som må ligge til grunn for å fremme den, kan man trygt trekke den slutningen av læreren aldri vil bli overflødig. Læringsmaskiner og dataprogrammer kan aldri erstatte læreren.

Skolen undervurderer barn

Etter den tredje internasjonale undersøkelsen om skolebarns kunnskaper i matematikk og naturfag i 1997 (Timss – Third International Mathematics and Science Survey, senere undersøkelser er omdøpt til Trends in Mathematics and Science Survey) iverksatte USA en gigantisk undersøkelse om hva de ti landene som scoret høyt på testene gjorde annerledes enn dem selv. Etter at undersøkelsen var ferdig, var jeg så heldig å få være med på et treff med lederen av prosjektet, James Stigler. Han fortalte at det var vanskelig å finne noen fellesnevner hos disse landene, kanskje bortsett fra ett moment – de var flinke til å stimulere elevene til å tenke selv. Det er synd å måtte si det, men her til lands synes det motsatte å være tilfelle. Man er så opptatt av å ”hjelpe” elevene, og av å unngå at de noen gang møter er vanskelig problem, at man avvenner elevene med å tenke. Dessverre virker denne taktikken så altfor godt. La meg få nevne et eksempel.

For en ukes tid siden traff jeg ei jente som nylig fylte tre år. Hun kunne telle til 14. Vanligvis er tallene bare en lydremse for så små barn, men denne jenta kunne telle ting korrekt. Et par uker før satt jeg med en sjuåring i armkroken og lekte litt med tall. I hennes skoleklasse arbeider de med kun med tall opp til 15, og regner på slike ting som 12 + 3 og 11 + 2. Like fullt klarte hun uten problemer å regne i hodet 17 + 5, 37 + 7, 135 + 5 og 2000 + 2000 og også 5 x 3, etter å ha tenkt seg litt om. Jeg fikk ikke tid til å prøve på subtraksjon, men hun hadde nok fikset en god del der også. Dette er ikke så rart, for det er et meget godt dokumentert faktum at de aller fleste barn er flinke til å telle allerede før de begynner på skolen.

For meg som fagmann er det helt ubegripelig – og uforsvarlig – at man i skolen skal jobbe bare med tall opp til 10 i første klasse og opp til 20 i andre klasse. Didaktisk sett er dette helt feil – ungene må utfordres og stimuleres til å løse problemer som omfatter hele den tallrekka de kan. Alt annet bare bidrar til å sløve dem. Jeg husker forresten et skolebesøk for en del år siden, der jeg ble bedt om å veilede en gruppe andreklassinger mens de regnet oppgaver. De ble fort ferdige, så jeg tillot meg å glemme pensum og spurte om de kunne regne ut 16 + 17 (tror jeg det var) for meg. Maken til iver har jeg knapt sett. Å skape slik iver, er umulig med dagens sløvende opplegg.

Den faglige utfordringen for elevene i 2. klasse, er i hovedsak firedelt: (1) å abstrahere tallene, (2) å bli fortrolige med 10-tallsystemet og hvordan det er oppbygd, (3) å takle 10-eroverganger og (4) å få et første innblikk i alle fire regningsartene. Legg særlig merke til det første momentet. All læring i matematikk (og i andre fag for den del) må gå gjennom tre faser: erfaring, abstrahering og generalisering. Dette betyr at man må løsrive seg fra konkretene og komme seg videre, om man skal lære matematikk. Når man ser lærebøkene for 1. og 2. klasse, er det nærliggende å tro at de som har laget disse bøkene, ikke er klar over dette. Dessverre har man ingen faglig godkjenningsinstans av lærebøker i skolen lenger. Det er for øvrig ingen tilfeldighet at elevene i min klasse på folkeskolen var mye flinkere til å regne enn det dagens lærerstudenter er. Vi hadde praktisk erfaring, og på skolen lærte vi å regne med tall, ofte gjennom hoderegning, noe som fortsatt er den beste læremetoden. Dagens lærebøker er konstruert slik at elever med problemer kan snike seg unna selve regningen gjennom å telle, noe som kan være vanskelig å gjennomskue for en lærer.

Her i Ringsaker jobber man med et såkalt realfagsprosjekt. Dersom man skal lykkes med dette, må man legge om stilen allerede fra 1. klasse. Dessverre synes det ikke å være vilje til å lytte til rent faglige råd, bare til opplegg som angår organisering av undervisningen. Uendeligheter av forskning viser imidlertid at i matematikk er det lærernes kunnskaper i faget som betyr desidert mest, ikke organiseringen av undervisningen, selv om dette selvsagt også betyr noe.

Forskjellene i skolen øker. Undervisningsmetodene bidrar trolig til dette.

Forskere fra NOVA (Norsk institutt for forskning om oppvekst, velferd og aldring) har lagt fram en rapport som forteller at forskjellen mellom elever i norsk skole har økt etter innføring av Kunnskapsløftet i 2007. Det finnes ingen enkel forklaring på hvorfor det har gått slik. Årsakssammenhengen er trolig komplisert og mangesidig. Personlig føler jeg meg likevel nokså trygg på at det i løpet av det siste kvarte århundret har grodd fram en undervisningsfilosofi som bidrar til et slikt resultat, som ble forsterket gjennom både L96 og LK07. I mønsterplanen av 1987 ble det lagt stor vekt på samarbeid mellom elever og mellom andre parter i skolen. Samarbeidsevne ble framstilt som avgjørende viktig for deltakelse i arbeidslivet. En slik vektlegging måtte nødvendigvis føre til vektlegging av kollektive arbeidsformer, slik som gruppearbeid, prosjektarbeid, samtidig som det tradisjonelle klasseromsarbeidet fortsatt kunne ha en sentral rolle.

I normalplanene av 74 og 87 (med en midlertidig forsøksplan i 1985) brukte man begrepet differensiering, når man snakket om å legge opp til en undervisning som flest mulig elever kunne ta del i. Med L97 ble dette begrepet erstattet med tilpasset undervisning, samtidig som vi fikk en generell innledning på læreplanen som la hovedvekten på menneskers individuelle egenskaper og ferdigheter. Et resultat av dette, var at man la større vekt enn før på det individuelle. Dette skjedde på bekostning av idealet om å fremme samarbeid i skolen. Undervisningsfilosofien ble endret. Da Kunnskapsløfet ble lagt fram, hadde denne trenden forsterket seg. Det hele toppet seg for noen år siden, da vi fikk krav om individuelle undervisningsplaner for alle elever. Et annet resultat er et nærmest umettelig krav om økt lærertetthet. Omtrent alle som uttaler seg om skole i dag, uttrykker krav om større lærertetthet. Forskning viser imidlertid at dette er et altfor lettvint standpunkt. Skoleprestasjonene er ofte langt høyere i land med vesentlig lavere lærertetthet enn her i Norge. Dessuten er det nærmest utenkelig rent økonomisk både å tilfredsstille kravene om så stor lærertetthet som mange ønsker seg, å gi lærerne en anstendig lønn, samt å utdanne nok kvalifiserte lærere.

Man bør ikke forundre seg over at vektlegging av individuelle læringsformer fører til større ulikhet og til at foskjellene mellom elever fra hjem med ulik utdanningsbakgrunn øker. I et slikt regime vil nødvendigvis stimulanser og hjelp i hjemmet bety mye, og det er selvfølgelig slik at barn fra akademikerhjem eller fra hjem med store ambisjoner på barnas vegne, blir vinnere.

Erfaringer fra matematikkfaget

I den forskningsbaserte matematikkdidaktikken står de kollektive undervisningsformene meget sterkt. Det er problembasert undervisning, der elever får samarbeide om løsninger, legge fram forslag og være med å diskutere dem, og der læreren er en faglig autoritet som kan sette ting i sammenheng, avsløre og avklare misforståelser og skape helhet, som med styrke anbefales. Det er nettopp slike undervisningsformer som omtales i de to manusene jeg har lagt ut i denne bloggen. Jeg er overbevist om at dette er en riktig vei å gå, og jeg har mange tiårs erfaring som støtter et slikt syn.

Vektleggingen av slike undervisningsformer er meget godt begrunnet, både teoretisk og praktisk. Det finnes flere slike begrunnelser i de to nevnte manusene. Praksis viser at typiske effekter er følgende:

-          De flinke får utfolde seg uten at det går ut over de svakere.

-          De svake har større utbytte av dette enn individualiserte opplegg.

-          Det sosiale miljøet styrkes.

-          Man klarer seg med en rimelig grad av lærertetthet, slik at kostnadene holdes på et overkommelig nivå.

Det er imidlertid en del forutsetninger som må være til stede, dersom man skal lykkes i å skape en god undervisning. Èn slik forutsetning er at man makter å skape en god klassekultur og å gi elevene både ansvarsfølelse overfor det som foregår og å gi dem eierfølelse overfor aktiviteten i klassen. En annen forutsetning er at lærerne har en fundamental forståelse av den grunnleggende matematikken. Manusene i denne bloggen er ment som et bidrag til å skape slik forståelse. Dessverre er dette mangelvare blant norske lærere.

Mitt håp hadde vært å få gi ut de to manusene i bokform, men det har vært umulig. Norske forlag er ikke interessert i slikt fagstoff.

Misforstår norske lærere konstruktivismen?

Jeg har fått inn følgende innlegg i LAMIS sitt blad Tangenten, nr. 1/2011.

Etter å ha undervist i ungdomsskolen i 26 år, i 9 år i lærerutdanninga, samt utført diverse privatundervisning med elever i videregående skole, mener jeg at jeg med en viss rett kan uttale meg om utviklingen av matematisk forståelse i norsk skole. Dessverre må jeg si at utviklingen har vært trist. Det er ikke nødvendig å ha internasjonale tester for å registrere dette. Spørsmålet er hvorfor vi har fått denne utviklingen.

 Ved siden av å undervise i matematikk ved Høgskolen i Hedmark, sensurerte jeg i fire år grunnkurset i matematikk ved en av de store lærerutdanningene i Norge, to år ved en annen. Samtidig er lærerne i høgskolene medsensorer for studentene på sitt eget studiested. I løpet av disse årene sensurerte jeg derfor godt over tusen besvarelser.  Når det gjaldt den matematikken som hører hjemme i 5. – 7. klasse i barneskolen, lå gjennomsnittsnivået på disse besvarelsene langt under det jeg var vant til fra avgangsklassene i ungdomsskolen, på tross av at vi har med alle elevkategorier på det trinnet. Med det utvalget man tar sikte på å ha i lærerutdanninga, burde det vært omvendt.

Matematikkrådets tester på nye studenter er en annen indikasjon på nivåsenkningen.  Maksimum poengscore på testen er 40. Gjennomsnittet hos våre studenter lå omkring 13, og nesten ingen scoret over 20 poeng. Resultatene har ikke endret seg særlig de senere årene, på tross av skjerpede opptakskrav.

Nå kan det være mange forklaringer på denne nedgangen, og redusert behov for å regne med tall i dagliglivet er sikkert en medvirkende årsak. Det er imidlertid vanskelig å tro at dette er den eneste årsaken. Personlig tillater jeg meg å mene at noe skyldes feilslått undervisning i dagens grunnskole. Jeg undrer på om ikke mangelfull forståelse av dagens rådende didaktiske teori, dvs. av konstruktivismen, er en sterkt medvirkende årsak.

Tolkninger av konstruktivismen

Det finnes mange varianter av konstruktivismen. Paul Ernest[1] gjengir Ernst von Glaserfeld slik:

1.       Kunnskap blir ikke mottatt passivt, men bygges opp aktivt av det tenkende subjektet (the cognizing subject).

2.       Kognisjonens funksjon er adaptiv og tjener organiseringen av den erfarte verden, ikke oppdagelsen av en ontologisk virkelighet.

Den trivielle, ikke-radikale konstruktivismen er definert etter det første kriteriet, den radikale etter begge to.

Setningen nr. 2 kan være vanskelig å forstå. Det som menes er at all kunnskap som finnes er laget inne i hodet på folk. Vi lager oss personlige teorier som er tilpasser våre erfaringer og vår sosiale forståelse. På den måten blir kunnskapen i første omgang individuell – ikke lik fra menneske til menneske. For at mennesker skal forstå hverandre - snakke samme språk, må de derfor snakke med hverandre og på den måten finne framtil en felles forståelse. For meg ser det imidlertid ut til at man i norsk skole har fått det for seg at en slik felles forståelse er noe man ikke behøver å legge mye arbeid i å etablere, eller kanskje man er preget av et postmodernistisk syn, der alle meninger og oppfatninger anses for å være like gode. Det siste synet har sannsynligvis også fått et visst innpass i det fagdidaktiske miljøet i Norge. Et slikt syn passer imidlertid dårlig innen matematikken, som består av et strengt regelbundet system som er utviklet gjennom flere tusen år. Vi kan ikke bytte ut den møysommelig oppbygde matematikken med en annen, selvkonstruert variant. Vi må bygge på den forestillingen at matematikken er ”riktig” i en eller annen forstand. Ut fra denne tolkningen av matematisk teori, kan man ikke hevde at enhver variant av selvkonstruert matematikk er like gode.

Det synes å være en gjengs oppfatning at konstruktivismen utgjør en slags oppskrift for undervisning. Mens man tidligere trodde at elevene automatisk lærte det de ble undervist i, bare forklaringene var god nok, synes nå mange å tro at elevene oppnår forståelse av matematikken, bare de gjør de riktige erfaringene.  Troen på at bruk av konkretisering og ulike typer erfaring er tilstekkelig for læring, synes å være svært høy og nærmest uangripelig i norsk skole. Mange lærere mener trolig at bare elevene får ta i noe konkret som det går an å regne på, så siver forståelsen inn i systemet av seg selv, omtrent som nitroglyserin som trenger inn gjennom huden bare man tar på det eller at den er i lufta i dampform. Læreren behøver bare å være tilrettelegger og veileder. Dette betinger imidlertid at de forestillingene som den lærende har bygd opp, også er matematisk korrekte. Men dette har man jo ingen garanti for – snarere tvert imot! Konstruktivistisk teori sier ikke at undervisning er overflødig, bare at den tradisjonelle formidlingsteknikken er utilstrekkelig. Undervisningen må gjøres bedre; den kan ikke sløyfes. Dessuten er matematikk er vanskelig, vanskeligere enn mange andre fag. Derfor er sannsynligheten for ”feilkonstruksjoner” høy når elever skal lære seg matematikk på egenhånd.

Det konstruktivismen faktisk sier, er at eleven lager sin egen variant av det som formidles, og denne varianten kan ha store mangler. Det samme gjelder de forestillingene eleven danner seg ut fra utforskning og problemløsing. Elevenes arbeid må derfor suppleres med debatter, avklaring av misforståelser, systematisering av stoffet og synliggjøring av sammenhenger mellom ulike aspekter ved stoffet. Det er jo nettopp dette vi sier når vi snakker om diagnostisk og konfronterende undervisning, og det er dette som er konsekvensene av ideene i den radikale konstruktivismen. Beklageligvis finnes det i dag altfor mange lærere som ikke selv kan nok matematikk til å kartlegge misforståelsene.

Elever som blir overlatt til seg selv

Et annet fenomen som har bidratt sterkt til en utvikling vekk fra tradisjonell undervisning, er begrepet ”ansvar for egen læring”. Kombinert med et syn på konstruktivisme som omtalt over, har dette i mange tilfelle ført til at læreren har abdisert fra sitt ansvar som fagperson. Ansvar for egen læring kom inn i skolen i midten av 1980-åra. Det var nok delvis teoretisk begrunnet, men kom egentlig fram som et svar på et praktisk problem. På den tiden var samfunnsutviklingen kommet dit at flertallet skolebarn var så opptatt med ulike organiserte fritidsaktiviteter, at det var vanskelig for dem å gjøre lekser hver dag, eller når det passet læreren. Resultatet ble oppblomstring av arbeidsplaner der elevene ikke lenger fikk lekse fra dag til dag, men fikk en oversikt over hva som måtte, burde eller kunne gjøres i løpet av en lengre periode, dvs. ei uke eller to. Kollektivet som et sentralt element i skolen ble skadelidende. For noen år siden dukket åpne skoleløsninger opp igjen som paddehatter. Tanken er nettopp dette at elevene skal sitte alene eller i smågrupper og arbeide med stoffet på egenhånd, riktignok med mulighet til å få veiledning av lærer (hvis læreren har tid!). Et av de aller viktigste elementene i innlæring av et fag som matematikk, dvs. diskusjoner i et plenum der læreren er den kyndige meddebattant, forsvinner fra skolen.

En sunnere innfallsvinkel

Må konstruktivismen avvises? Nei, på ingen måte. Vi må bare tolke konstruktivismen som en læringsteori, ikke som en undervisningsforskrift. Dette betyr at konstruktivismen må tolkes som en beskrivelse av hva et menneske alltid gjør når kunnskap skal erverves. Vi skaper alltid vår egen oppfatning av ting. Dette betyr imidlertid ikke at disse oppfatningene alltid er gyldige i vitenskapelig forstand. Tvert imot er det slik at mistolkninger, misforståelser, mangel på innsikt og ufordøyd kunnskap vil florere. Poenget med konstruktivismen blir ikke å godta enhver tolkning av virkeligheten som like god som enhver annen, men å innse at den lærendes egen tolkning må bearbeides og utdypes for å bli funksjonell. Et fruktbart uttrykk for dette kan være det nederlandske begrepet ledet gjenoppdagelse. Den lærende må settes i en slik situasjon at han kan prøve sine tolkninger mot andres og mot den etablerte kunnskapen. Det denne tolkningen imidlertid uteslutter, er at kunnskap kan overføres fra det ene subjektet til det andre, slik behaviorismen kan tolkes til å stå for. Paul Ernest sier det slik:

·                De personlige teoriene skapes gjennom en sirkel bestående av teori - forutsigelse - testing - mislykkethet - tilpassing - ny teori.

·                Denne sirkelen skaper sosialt aksepterte teorier om verden og sosiale mønstre og regler for språkbruk.

·                Matematikk er den teorien om form og struktur som dannes gjennom språket.

Når konstruktivismen tolkes slik, blir diskusjoner og avklaring av mening, helt sentrale deler av undervisningen. Den viktigste konsekvensen av en konstruktivistisk tankemodell er at elevene må bringes til å delta aktivt i undervisningen og læringen. De kan ikke bare være passive mottakere, slik som de ble behandlet i den tradisjonelle undervisningsformen, eller overlatt til seg selv, slik svært mye av undervisningen synes å være i dagens skole. Deres personlige oppfatninger må utdypes og fylles ut, og misforståelser må synliggjøres, diskuteres og forhåpentligvis utryddes.

Sluttord

Jeg har sett mange eksempler på lærerstudenters misforståelser eller feiloppfatninger, som at de  tror at 1,45 er større enn 1,6, at de ikke klarer å beregne hvor mange prosent et tall utgjør av et annet, at de ikke klarer å beregne tidsforskjellen mellom to tider fra et idrettsstevne, eller at de for sitt bare liv ikke klarer å finne et praktisk eksempel på divisjon med brøk. (Det siste har jeg også sett blant eldre, garvede lærere. Det gjelder imidlertid bare å bruke målingsdivisjon i stedet for delingsdivisjon.) Du blir ikke særlig oppløftet av å se følgende utsagn i en eksamensbesvarelse i lærerutdanninga: ”I 1 liter helmelk er det 3,9 % fett, i 1 dl helmelk er det derfor 0,39 % fett.” Det bør så absolutt gjøres noe med situasjonen. Personlig mener jeg at vi påtvinger altfor mange elever og studenter i norsk skole mer matematikk enn de trenger, men jeg mener jo også at den grunnleggende matematikken på mellomtrinnet i barneskolen er noe som de aller fleste bør kunne. Slik er ikke situasjonen i dag, heller ikke blant høgskolestudenter. Vi må se på hva vi gjør med friske øyne. Jeg håper at de ovenstående betraktningene kan være et bidrag.

---

[1] Ernest, P (1996): Social constructivism as a philosophy of mathematics: radical constructivism rehabilitated? PME.

Avslutningsord

Med dette vil jeg avslutte innleggene på denne bloggen for en stund. Jeg har nå i virkeligheten lagt inn to lærebøker - en for barn fra fødsel opp til 10-årsalderen, og en for 5. - 7. klasse. Innholdet er ment å treffe lærere og studenter, ikke elevene. Trolig har antall lesere vært lavt, men om noe av stoffet skulle bli spredt med tiden, er min misjon oppfylt.

Den første boken er den mest gjennomarbeidede. Den er vurdert av fagfeller, og den er har gjennomgått grundig korrekturlsing. Den var klarert for trykking, men forlaget trakk seg i aller siste liten, så mitt håp om å få lagt den ut for vanlig salg forsvant. Stoffet som omhandler mellomtrinnet er ikke vurdert av andre, og det er mer preget av mine personlige oppfatninger enn stoffet om de yngre barna. På den andre siden, er det min klare oppfatning at det er nettopp på mellomtrinnet norsk skole har størst behov for å skjerpe seg når det gjelder matematikkfaget. Etter å ha jobbet med slikt stoff en menneskealder, tror jeg faktisk at jeg har noe å bidra med i så måte, men innser at muligheten til å øve innflytelse er meget begrenset.

Helt til slutt setter jeg inn referansene som er brukt i siste del.

Bradal, R. (1997). Matematikk i arbeidslivet. Implikasjoner for skolen. HiA: Hovedfagsoppgave.

Brown, T. (1997). Mathematics education and language. Nederland, Kluwer Academic Publishers.

Butterworth, B. (1999). What counts. New York. The Free Press.

Cestari, M.L. (1996). Teacher/student communication in traditional and constructivist approaches to teaching.       In M.B. Bussi & A. Sierpinska & H. Steinberg (eds.): Language and communication in the mathematics      classroom. Washington: NCTM.

Curry, D., Schmitt, M. J. & Waldron, S. (1996). A framework for adult numeracy standards: the  mathematical skills and abilities adults need to be equipped for the future. USA: National Institute for Literacy. The Adult Numeracy Practitioners Network. (www.std.com/anpn/).

Devlin, K. (2000). The math gene. England. Basic Books.

Devlin, K. (2005(. The math instinct. New York. Thunder’s Mouth Press.

Dowling, P. (1991). The contextualizing of mathematics: towards a theoretical map. In M. Harris (Ed.), Schools. matematics and work (pp. 93-120). London: The Falmer Press.

Ernest, P. (1988). The Impact of beliefs on the teaching of mathematics. In P. Ernest (Ed.), Mathematics teaching: The state of the art. London: Falmer Press.

Ernest, P. (1995). Criticism and the growth of knowledge. Philosophy of Mathematics Education Network                Newsletter.

Ernest, P. (1995). The philosophy of mathematics education.  Philosophy of Mathematics Education Network        Newsletter, 8.

Ernest, P. (1996). Social constructivism as a philosophy of mathematics: Radical constructivism rehablitated?        England: University of Exeter.

Ernest, P. (1996). The nature of mathematics and teaching.  Philosophy of Mathematics Education Network           Newsletter, 9.

Fernandez, C. & Yoshida, M. (2004). Lesson study. A japanese approach to improving mathematics teaching and learning. London. Lawrence Erlbaum associates publishers.

Harris M. (1991). (Ed.), Schools. matematics and work.  London: The Falmer Press.

Hoyles, C., Noss, R. & Pozzi, S. (1997). Mathematising in practice. University of London.

Hundeide,  K. (1989). Barns livsverden. Oslo: Cappelen.

Jahr, E. (1998). Piaget og Vygotskij. I Matematikk 1 for allmennlærerutdanningen. Oslo. Universitetsforlaget.

Katz, V. J. (1993). A history of mathematics. USA. Harper Collins.

Lave J., Smith, S. & Butler, M. (1989). Problem solving as an everyday practice. In R. Charles & E. Silver                 (Eds.), The teaching and assessing of mathematical problem solving (pp. 61-81). Hillsdale, NY: Lawrence            Erlbaum Assiciation.

Lave, J. & Wenger, E. (1991). Situated learning. Legitimate peripheral participation.  New York, NY:           Cambridge University Press.

Lave, J. (1991). Situated learning in communities of practice. In L. B. Resnick, J. M. Levine  & S. D. Teasley            (Eds.), Socially shared cognition (pp. 63-84). Washington DC: American Psychological Associationon.

Lave, J. (1993). The practice of learning. In S. Chaiklin & J. Lave (Eds.),

      Understanding practice. Perspectives on activity and context (pp. 3-34).

      New York, NY: Cambrigde University Press.

Lave. J. (1990). The culture of  acquisition and the practice of understanding. In J. W. Stigler, R. A. Schweder,       & G. Herdt  (Eds.), Cultural Psychology: essays on comparative human development (pp. 309-327).

       New York, NY: Cambridge University Press.

Lerman, S. (1993). The role of the teacher in childrens learning of mathematics. In Significant  influences on         childrens learning of mathematics. Paris: UNESCO, Science and Technology Education, Document Series   no. 47, 61-85.

Löwing, M. & Kilborn, W. (2002). Baskunnskaper i matematikk för skola, hem och samhälle. Sverige. Studentlitteratur.

Ma, L. (1999). Knowing and teaching elementary mathematics. USA. Lawrence Erlbaum Assosiates

McLeod, D.B. (1992). Reseach in affect in mathematics education: a reconceptualization. In D. A. Grouws              (Ed.), Handbook of research on mathematics teaching and learning, 575-596. New York, NY: Macmillan.

Mehan, H. (1979). Looking inside schools. In H. Mehan: Learning lessons: social organization of the        classroom. Cambrigde, Mass.: Harvard University Press.

Mellin-Olsen, S. & Rasmussen, S. (1977). Skolens vold.  Oslo: Pax Forlag.

Mellin-Olsen, S. (1984). Eleven, matematikken og samfunnet.  Olso: NKI-forlaget.

Mellin-Olsen, S. (Ed.), (1989). Kunnskapsformidling. Virksomhetsteoretiske perspektiver.  Bergen: Caspar              Forlag.

Mellin-Olsen, S. (Ed.), (1989). Om kunnskap. Fagdidaktiske perspektiver.  Bergen: Bergen Lærerhøgskole.

Orton, A. (1992). Learning mathematics. London. Cassels forlag.

Program for International Student Assessment. (2004). Learning for tomorrows world. First results from Pisa 2003. OECD.

Ryan, J. & Williams, J. (2007). Children’s mathematics 4 – 15. Learning from errors and misconceptions. England. Open University Press. McGraw – Hill Education.

Schoenfeld, A.H. (1992). Learning to think mathematically: Problem solving, metacognition, and sense making in mathematics.

Schoenfeld, A.H. (1992). Learning to think mathematically: Problem solving, metacognition and sense making    in mathematics. In D. A. Grouws (Ed.), Handbook of research on mathematics teaching and learning. New          York, NY: Macmillan.

Seeger, F., Voigt, J. & Waschescio, U. (Ed.) (1998). The culture of the mathematics classroom.  New York. Cambridge University Press.

Steinsholt, K. & Løvlie, L. (Ed.) (2004). Pedagogikkens mange ansikter. Oslo. Universitetsforlaget.

Stevenson, H.W. & Stigler, J.W. (1992). The learning gap. USA. Simon and Schuster.

Stigler, J.W. & Hiebert, J. (1999). The teaching gap. USA. The Free Press.

Svege, E. (1996). Affektive sider ved undervisning og studenters læring av matematikk.  HiA:     Hovedfagsoppgave.

Thompson, A.G. (1992). Teachers beliefs and onceptions: A synthesis of the research. In D. A. Grouws (Ed.),          Handbook of research on mathematics teaching and learning. New York, NY: Macmillan.

Thompson. I. (Ed.) (1997). Teaching early number. UK. Open University Press.

TIMSS 2003. (2004). TIMSS med få ord. Norge. Akademia.

U.S. Department of Education. (2003). Teaching mathematics in seven countries. Results form the TIMSS 1999 video study. National Center for Education Statistics.

http://plato.stanford.edu/entries/vico/

http://oregonstate.edu/instruct/phl302/philosophers/montaigne.html

http://oregonstate.edu/instruct/phl302/texts/montaigne/montaigne-essays-1.html#II.

http://home.hio.no/~sissele/papers/vs_elaering_lorgsem1.htm

http://www.roma.unisa.edu.au/07305/symbols.htm#Percent