I Norge har problembasert læring vært et ideal i læreplanene, i hvert fall siden midten av 1980-tallet (M87 og forløperen M85 innførte problemløsing som et hovedemne i matematikk). Det har imidlertid vært mye usikkerhet om hvilken type problemer man skulle jobbe med og hvilken sammenheng det skal være mellom problemløsing og det øvrige pensum. Grovt sett kan vi skille mellom praktiske problemer, rene tankeproblemer og problemer som lages for å illustrere matematiske prinsipper. En kort oversikt kan se slik ut:
- Tekstoppgaver – slik som i den skoletradisjonen vi kjenner
- Intellektuell lek, matematiske nøtter, vanskelige problemer. Dette er den kategorien som står nærmest fagmatematikernes oppfatning av hva matematisk problemløsning går ut på.
- En underkategori under dette er det jeg liker å kalle ”lørdagsgodt-problemer”. Med det mener jeg slike småproblemer som det har vært så populært å bruke i diverse ”matematikkdager” og lignende opplegg de senere årene.
- Illustrerende problemer. Her forsøker man å finne problemer som er egnet til å illustrere viktige matematiske temaer. Framlegg av ideer og påfølgende diskusjon er sentrale arbeidsmåter innen denne tradisjonen. Japan bygger hoveddelen av in matematikkundervisning på dette.
Den første typen står sterkt i mange miljøer. I USA har den nasjonale matematikklærerforeningen laget anbefalinger for de fleste sider ved matematikkundervisningen, de såkalte Standardene. I standardene fra 2000 legges det meget stor vekt på arbeid med større praktiske problemer og prosjekter. Dette er i tråd med den retningen innen matematikkdidaktikken som kalles kritisk matematikk. Avdøde Stieg Mellin-Olsen var en sentral figur innen denne retningen, også internasjonalt. I Norge har denne metodikken kommet inn i skolen gjennom den prosjektbaserte undervisningen. Denne utviklingen har imidlertid kommet til oss via andre impulser, særlig gjennom arbeidene til danskene Illeris og Berthelsen. Mye tyder på at metoden ikke har vunnet fram så sterkt i matematikk som i en del andre fag.
De renere tankeproblemene har hatt en ganske sikker plass i norsk matematikkundervisning, men mest som avkobling fra det daglige rutinearbeidet. Det typiske har vært å ta fram slike problemer som underholdning siste uka før jul eller i lignende situasjoner. De senere årene har det blitt arrangert egne matematikkdager eller matematikkuker der det faglige innholdet har vært nettopp av dette slaget.
En studie fra England
Jo Boaler sammenlignet opplegg og eksamensresultater fra to skoler med svært ulike undervisningsopplegg. Den ene skolen ble i boka kalt Amber Hill. Den andre ble kalt Phoenix Park. Amber Hill var en tradisjonell engelsk skole. Elevene var delt inn i 8 ferdighetsnivåer. Ved Phoenix Park var det 5 klasser uten noen form for nivådifferensiering.
Ved starten av 9. klasse hadde alle elevene gått gjennom en nasjonal test. Boaler sammenlignet resultatene ved de to skolene med de nasjonale resultatene. Det var ingen signifikant forskjell mellom resultatene ved de to skolene, men begge lå under landsgjennomsnittet. Ved Amber Hill lå 75 % av elevene under landsgjennomsnittet, ved Phoenix Park 77 %. Boaler ga dem også en egenprodusert test. Denne testen ga samme inntrykk som den nasjonale testen. Det var ingen stor forskjell mellom skolene (Amber Hill et lite hakk bedre) og begge lå under det nasjonale gjennomsnittet. Begge skolene lå i typiske hvite arbeiderklassestrøk i utkanten av en større by, hvor folk flest bodde i utleieboliger. De fleste foreldrene valgte skole for barna ut fra hvilken skole som lå nærmest, og ingen av skolene var noen utvalgsskole. Sosialt sett var det ingen forskjell mellom de to skolene. Amber Hill tok imot elevene fra de var 11 år gamle (7. klasse), mens Phoenix Park var en skole for 9. - 11. klasse (13 – 16 år). I teksten nedenfor har jeg gitt en kort oppsummering av hovedinnholdet i Boalers bok.
Undervisningen ved Amber Hill
Undervisningen ved denne skolen var tradisjonell og kan beskrives ved følgende trekk:
§ Tradisjonell bruk av lærebøker. De fleste oppgaver var korte og lukkede.
§ Der bøkene inneholdt større, mer åpne oppgaver, brøt lærerne oppgavene ned i mindre deler og loste elevene gjennom disse[1].
§ Å omdefinere og snevre inn spørsmålene var en vanlig teknikk.
§ Dersom en elev ikke klarte å svare på spørsmål, pleide lærerne å gi dem valget mellom 4-5 ulike svar, hvorav ett var riktig.
§ Lærerne spurte nesten aldri elevene hva de mente burde gjøres.
§ De stimulerte dem heller aldri til å sette ting inn i en videre sammenheng.
§ Når elever spurte lærerne om hjelp, spurte ikke lærerne om hva eleven hadde gjort. De ga bare instruksjoner om hvordan de skulle regne, i små steg.
§ Elevene ble avvent med å tenke (“innlært hjelpeløshet“). Lærerne innså ikke dette.
§ Lærerne signaliserte meninger som gikk i motsatt retning, men skyldte på tidspress når de skulle forklare sine metodevalg.
§ Lærerne var dessuten av den oppfatning av elevene ville oppleve negative nederlag dersom de ikke strukturerte oppgavene for dem.
§ Undervisningstimene begynte med at læreren gjennomgikk stoff på tavla, fulgt av regneøvelser.
§ Gjennomgangen var strukturert og ryddig, men lærerne diskuterte aldri regnemetoder med elevene.
§ Elevene hadde stor tiltro til at lærernes metode var den beste, selv når de hadde egne metoder som var mer effektive.
§ Lærerne mente det viktigste var å lære elevene metoder, prosedyrer og regler.
§ De betraktet ikke dette som noe annet enn å bygge opp forståelse.
§ Lærerne gjorde derfor ikke noe forsøk på å knytte ulike emner sammen.
§ Elevene ble bedt om å huske ting.
§ Lærernes undervisning var i tråd med forventninger fra foresatte (arbeiderklassemiljø).
§ Lærerne mente at elevene ikke var motivert for å tenke selv.
§ Tidspresset økte oppover i klassene.
Elevenes holdninger.
- Nesten alle elevene syntes å ha et negativt forhold til matematikkfaget i skolen.
- Mangel på variasjon og frihet ble oppgitt som årsaker.
- Oppgavene i lærebøkene var ensidige.
- Elevene var ikke vant til å løse åpne oppgaver og syntes dette var vanskelig, men de likte å jobbe med slike problemer.
- Elevene hadde tidligere arbeidet med individualisert materiell, og var derfor vant til å arbeide i sitt eget tempo. Overgangen til felles framdrift ble opplevd som svært vanskelig.
- Elevene virket til vanlig uinteresserte. De viste svak involvering og kjedet seg ofte.
- De fulgte ofte dårlig med, og brukte mye av tiden til å snakke med kamerater.
- Ifølge egne opplysninger arbeidet elevene i gjennomsnitt 38 minutter per time (60 min).
- De arbeidet fordi de så det som en plikt – noe de måtte gjøre.
- Dette er en viktig årsak til at de arbeidet på tomgang, det vil si uten å tenke.
- Elevene lærte seg til å mene at matematikk handler om å lære regler og huske disse utenat.
- Når de møtte nye problemer, forsøkte de ikke å tenke gjennom situasjonen. De prøvde å huske regler de hadde lært før.
- Mange trodde at å huske regler var helt nødvendig for å kunne løse matematikkoppgaver.
- Dette førte også til at de ikke så noen hensikt i å forstå det de drev med.
- De som virkelig ønsket å forstå fikk problemer, for undervisningen la ikke opp til det.
- Elevene gjorde ofte det de trodde var forventet av dem, mer enn å tenke over innholdet i oppgavene.
- De brukte da ofte indikatorer som ikke hadde noe med selve matematikken å gjøre, slik som ting læreren sa, vanskegraden på spørsmålet eller gjetting på lærebokas intensjoner.
Undervisningen ved Phoenix Park
§ Lærerne benyttet kun prosjekter med åpne problemstillinger.
§ Elevene fikk åpningsspørsmål eller temaer. Forventningen var at de skulle utvikle dette til større arbeider selv.
§ Lærernes interaksjon med elevene bar også preg av dette. Elevene forsøkte å finne løsninger selv. Bare når de sto helt fast, henvendte de seg til læreren.
§ Lærerne satte i gang diskusjoner i stedet for å instruere.
§ Elevene fikk ikke ingen direkte spørsmål, bare brede spørsmålsstillinger, som for eksempel ”Jeg er interessert i arealer”.
§ Dersom elevene manglet faktakunnskaper, ble de bedt om å finne dem fram selv.
§ I stedet for å gi direkte svar på spørsmål, ble elevene bedt om å vurdere situasjonen selv (”Synes du trekanten ser større ut enn rektangelet?”).
§ Læreren overvåket ikke arbeidsprosessen. Elevene ble i stor grad overlatt til seg selv.
§ Elevene arbeidet i sitt eget tempo.
§ Når elevene gikk til læreren med et arbeid, forventet de ikke at læreren skulle svare ”riktig” eller ”galt”. De ville vite om drev med noe som var interessant.
§ Å skrive av fra tavla ble ikke betraktet som arbeid i det hele tatt.
§ Klassene kunne tilsynelatende se nokså udisiplinerte ut. De kunne bevege seg fritt rundt i klassa for å snakke med hverandre.
§ I lange perioder kunne de drive med andre ting enn oppgaven.
§ Elevene drev med ulike ting, så det var vanskelig å overvåke arbeidsprosessene.
§ Lærerne brukte tid til å hjelpe elever, ikke til å disiplinere dem.
§ Hos en av lærerne gikk dette så langt at skolen fikk klager fra foresatte.
§ Det ble stilt få krav om ryddighet og mange av elevarbeidene var nokså rotete.
§ Elevarbeidene ble heller ikke alltid ferdige.
Elevenes holdninger
Ved Phoenix Park var det et mye mer nyansert bilde enn ved Amber Hill.
§ Omkring halvparten av elevene sa de likte matematikk, men for noen varierte det med temaene.
§ Omtrent 1/3 av elevene svar svært glade i faget og syntes alltid det var morsomt.
§ Omkring fem elever i hver klasse var svært negative til måten faget ble drevet. De ønsket seg fastere opplegg, og mente at skolen stilte for store krav til dem. Dette var nesten utelukkende gutter.
§ På spørsmål om hva de synte hadde vært det mest spennende i matematikken, viste Amber Hill - elevene til ting fra tidligere år, mens Phoenix Park - elevene viste til ferskere ting.
En sammenligning mellom skolene:
Skole | Svært positive | Positive | Nøytrale | Negative | Svært negative |
Amber Hill | 0 | 23 | 38 | 33 | 6 |
Phoenix Park | 5 | 38 | 32 | 25 | 0 |
Elevene ved Amber Hill beskrev sine opplevelser som vanskelige, kjedelige, eller de omtalte læreren. Ved Phoenix Park brukte elevene ord som urolige timer, god atmosfære eller interessant.
§ Det fantes ikke noe fellestrekk i bakgrunnen hos dem som ikke gjorde noe særlig ved Phoenix Park annet enn måte de opptrådte på, bortsett fra at de syntes å være umodne.
§ De syntes å ville vinne status ved å være negative til skolen.
§ Alt i alt brukte elevene ved Phoenix Park mindre tid på matematikken enn elevene ved Amber Hill.
§ Flertallet av elevene ved Phoenix Park (65 %) mente at det viktigste i matematikk var å tenke, mot bare 36 % ved Amber Hill. Der la de mer vekt på å huske.
§ Elevene ved Phoenix Park hadde større evner enn elevene ved Amber Hill til å se forbindelser mellom matematikkfaget og ulike ting i samfunnet rundt dem.
§ De var mer opptatt av undersøkelsene og problemene enn av de rene svarene.
Forfatterens vurdering av elevenes matematiske ferdigheter
Forfatteren ga elevene en serie oppgaver og prøver for å teste deres matematiske ferdigheter. På sommeren i 9. klasse fikk halvparten av de beste elevene ved Amber Hill (53 stk.) og fire av blandingsgruppene ved Phoenix Park (51 stk.) i oppgave å lage en plantegning av et hus og som en del av dette å løse to problemer knyttet til lokale reguleringsbestemmelser. I tillegg fikk de ei prøve med spørsmål som var av nøyaktig den artende måtte bruke for å løse det praktiske problemet.
Elevene fra Amber Hill hadde scoret vesentlig høyere enn dem fra Phoenix Park på en tidligere prøve. Dette gjenspeilet seg i prøva, der Amber Hill - elevene var best. På den praktiske oppgaven falt de imidlertid gjennom. Der var elevene fra Phoenix Hill vesentlig bedre. Elevene fra Amber Hill klarte altså ikke å overføre sine kunnskaper til en praktisk situasjon. De beste elevene derfra var faktisk de som gjorde det dårligst på den praktiske prøva. De hadde tydeligvis store problemer med å utføre ting der det ikke ble gitt detaljerte instruksjoner om hva som skulle gjøres. Det så også ut til at de brukte visse ord som signal for å gjøre ting som var helt irrelevante; for eksempel å begynne med trigonometri når de så ordet vinkel, noe det ikke fantes behov for å gjøre.
Et år senere laget forfatteren en ny test. Denne gangen deltok de 99 beste fra Amber Hill og 89 med varierende ferdigheter fra Phoenix Park. De skulle planlegge innredning av ei leilighet, samt svare på et par konkrete spørsmål vedrørende dette. Elevene kunne samarbeide, men måtte levere individuelle arbeider.
En måned tidligere hadde elevene fått ei prøve der de kunnskapene som nødvendige for den etterfølgende testen ble undersøkt. Elevene fra Amber Hill scoret vesentlig høyere enn dem fra Phoenix Park. Likevel gjorde elevene fra Phoenix Park det langt bedre enn dem fra Amber Hill på oppgaven om leiligheta. Elevene fra Phoenix Park ga også mer fantasifulle og spennende svar enn de andre. Mange av svarene fra Amber Hill var unøyaktige, enkel og skissemessige, på tross av at elevene viste stor entusiasme og at de uttrykk for at de likte oppgaven svært godt. Ellers fant man de samme tendensene som i oppgaven over.
Langtidseffekt av undervisningen
I dette tilfellet ble elevene på to alderstrinn testet på samme type stoff som de møtte i undervisningen. De fikk en test før et visst tema ble undervist, en test umiddelbart etter og en siste test seks måneder senere. De tre prøvene var identiske, men forskjellige ved de to skolene. Å lage prøvene ved Phoenix Park var vanskelig, på grunn av det løse opplegget der. Ved Amber Hill var det enkelt, da forfatteren kunne bruke oppgaver av nøyaktig samme slag som i undervisningen. Resultatene kan oppsummeres slik:
- Den gruppa som gjorde det dårligst var toppgruppa i 9. klasse fra Amber Hill.
- Elevene fra Phoenix Park gjorde det bedre.
- Andel av svar som var riktige på ettertesten og som også var riktige på sentesten.
Skole | 9. klasse | 10. klasse |
Amber Hill | 33 % | 50 % |
Phoenix Park | 67 % | 83 % |
Tradisjonell testing
At elevene ved Phoenix Park gjorde det best i anvendt matematikk, er kanskje ikke så rart, all den stund de til vanlig arbeidet med problemstillinger av denne art. Elevene ved Amber Hill ble derimot drillet for å kunne mestre tradisjonelle prøver. Jo Boaler testet også elevene ved begge skolene på slike prøver, for å se hvilken forskjell som kunne vise seg der.
På slutten av 10. klasse fikk elevene de samme spørsmålene, noe endret, som de hadde fått ved oppstarten av prosjektperioden. Spørsmålene dreide seg om konservasjon av tall, talltyper, brøk, omkrets og areal.
- På de fem spørsmålene om konservasjon av tall var det ingen forskjell mellom skolene.
- På de to spørsmålene om talltyper svoret Amber Hill – elevene høyest, mest fordi mange av elevene fra Phoenix Park ikke besvarte spørsmålene.
- På de to oppgavene om omkrets og areal scoret elevene fra Phoenix Park høyest.
- Alt i alt scoret elevene fra de to skolene omtrent likt.
- Ved Amber Hill fikk 84 % av elevene (71 % av kullet) karakterer i intervallet A – G. Ved Phoenix Park var resultatet 94 % (88 % av kullet).
- Selv om nivået ved opptak ved Phoenix Park lå godt under landsgjennomsnittet, lå eksamenskarakterene over dette snittet.
- Elevene fra den mest urolige klassa ved Phoenix Park gjorde det like bra eller bedre enn de mer disiplinerte klassene.
- Selv de som mislikte opplegget ved Phoenix Park og nesten aldri gjorde noe, fikk til en del på eksamen.
Når tiden for endelig eksamen (GCSE) kom, stilte elevene ved Phoenix Park med klare handikap, for i løpet av de tre siste skoleårene hadde de lært nye prosedyrer og teknikker bare når de tilfeldigvis dumpet borti dem. Skolen hadde heller ikke kalkulatorer til sine elever under eksamen. Noen hadde kjøpt, men på langt nær alle. Skolen hadde i det hele tatt brukt lite energi på å forberede elevene på eksamen. Ved Amber Hill var derimot forberedelser til eksamen sterkt vektlagt.
Ved utgangen av 11. klasse ble 182 av 217 elever fra Amber Hill oppmeldt til GCSE - eksamen (84 %). Ved Phoenix Park ble 108 av 115 elever oppmeldt (94 %). På tross av sine handikap, gjorde elevene ved Phoenix Park det bedre til eksamen enn elevene ved Amber Hill. Dette skyldtes ikke at elevene der kunne mer matematikk enn elevene ved Amber Hill, men at det var en annen kvalitet i det de kunne.
Jo Boaler delte eksamensoppgavene i to, prosedurale spørsmål som kunne besvares ut fra ren hukommelse og konseptuelle spørsmål som krevde begrepsforståelse. De siste var Det var omtrent dobbelt så mange prosedurale som konseptuelle spørsmål. Det viste seg at elevene fra Phoenix Park gjorde det vesentlig bedre på de konseptuelle spørsmålene enn elevene fra Amber Hill. Ved Amber Hill var det langt flere som svarte korrekt på de prosedurale spørsmålene enn på de konseptuelle, mens ved Phoenix Park var det nokså likt. Naturlig nok var elevene fra Amber Hill bedre enn de fra Phoenix Park på de prosedurale spørsmålene, men det var altså omvendt på de konseptuelle.
Ved Phoenix Park var det en enkel sammenheng mellom prestasjonsnivå og evnen til å løse konseptuelle oppgaver, jo høyere nivå desto flere riktige svar på disse spørsmålene. Slik var imidlertid ikke situasjonen ved Amber Hill. Der var det de mellomflinke elevene som gjorde det best på de konseptuelle spørsmålene!
Ved Amber Hill scoret de flinkeste dobbelt så høyt på de prosedurale spørsmålene som på de konseptuelle, mens de flinkeste ved Phoenix Park scoret omtrent likt på de to kategoriene. Dette tyder på at elevene ved Phoenix Park kunne scoret vesentlig høyere enn de andre dersom de også hadde brukt tid til å lære seg en del prosedyrer bedre.
Forfatterens analyse av forskjellene
Elevenes kunnskaper ved Amber Hill kan beskrives slik:
- De kunne bruke den matematikken de hadde lært når oppgavene var eksplisitte og klare.
- De kunne altså forholdsvis enkelt gjennomføre oppgaveregning i klassa.
- De klarte seg bra på de små prøvene som fulgte etter de ulike undervisningssekvensene.
- De klarte seg bra på de prosedurale oppgavene til GCSE – prøva.
De fikk problemer:
- når oppgavene ikke var eksplisitte.
- når det hadde gått litt tid siden de behandlet stoffet.
- når de måtte anvende matematikk på noe annet.
- når de måtte kombinere ulike typer matematikk.
Dette var ikke så rart, all den stund undervisningen var preget av høyt tempo, lukkethet og med stor vekt på faste prosedyrer. De måtte stole på hukommelse, og at mange ting ble glemt ganske fort. Under eksamen førte dette til at de rotet med mange ting de hadde behersket tidligere.
Til sammenligning kan elevene ved Phoenix Park kan beskrives slik:
§ Elever som hadde lært matematikk via prosjekter, var mye flinkere til å besvare oppgaver 6 måneder senere enn de som hadde fått tradisjonell undervisning.
Jo Boalers konklusjoner
Forfatteren konkluderte slik:
1. Når elever blir opplært i matematiske prosedyrer, men ikke blir påvirket til å sette disse inn i en videre matematisk kontekst, kan de bare utvikle en prosedural kunnskap. Denne kunnskapen har svært begrenset verdi med hensyn til anvendelser. Den mangel på forståelse som elevene ved Amber Hill hadde for mange av de temaene de hadde jobbet med, førte til at de hadde problemer med å huske metoder og bruke dem, selv på lærebokoppgaver. Elevene klarte seg ofte noenlunde bra ved å anvende tekstsignaler i oppgavene. I autentiske problemer finnes sjelden slike signaler.
2. Fraværet av faste prosedyrer ga elevene ved Phoenix Park muligheten til å tolke situasjoner og hente mening fra dem. Det kan hende at det var nettopp kunnskapene om algoritmer og prosedyrer som hindret elevene fra Amber Hill i å foreta slike tolkninger. En studie av Perry (1991) støtter opp under en slik tolkning. Hans forsøk gikk i to trinn. Først sammenlignet han en gruppe som ble undervist i matematiske prinsipper med en som ble undervist i rene prosedyrer. Elevene i den første gruppa mye bede enn de andre til å overføre kunnskap til ukjente situasjoner. I andre del av forsøket tok Perry med ei tredje gruppe. Disse elevene fikk undervisning både om prinsipper og prosedyrer. Det viste seg at denne gruppa utviklet seg slik som prosedyregruppa. Da elevene fikk prosedyrene i fanget, overså de prinsippene og den konseptuelle rikdommen som lå i dette. Mye tyder altså på at mangel på kunnskap om faste prosedyrer hjalp elevene ved Phoenix Park til å tenke selvstendig.
3. Den prosedurale innretningen på GCSE – eksamen og kravene som blir lagt på lærerne for å forberede elevene på denne, kan ha bidratt til å degradere Phoenix Park - elevenes evne til å forstå matematikk. (De siste månedene før eksamen arbeidet de mer tradisjonelt enn før, for å kunne forberede seg til eksamen.) Elevene sa de ble forvirret av de ulike reglene og likningene de ble introdusert for, og i likehet med elevene ved Amber Hill så de ingen relevans av dette stoffet unntatt som eksamensstoff. Eksamensforberedelsene innskrenket elevenes forståelse ved Phoenix Park.
4. Kognitivt lærlingeprinsipp synes å være effektivt. Introduksjonen av matematiske ideer som del av meningsfulle aktiviteter syntes å gjøre elevene ved Phoenix Park i stand til å utvikle forståelse for de matematiske prinsippene de brukte. Elevene utviklet tiltro til de matematiske prosedyrene de brukte, og lærte seg til å betrakte dem som fleksible og anvendbare. De fikk erfare matematikk på ulike nivåer og de lærte å tolke situasjoner og utvikle matematiske ideer i ulike situasjoner. De klarte altså å oppnå vilje og evne til å oppfatte og tolke forskjellige situasjoner og hente mening fra dem, å skaffe seg tilstrekkelig forståelse av ulike prosedyrer til å kunne bruke dem i ulike situasjoner og de fikk tilstrekkelig forståelse og selvtillit til å endre prosedyrer når situasjonen tilsa det.
5. Det viste seg også at kjønnsforskjellene var større ved Amber Hill enn ved Phoenix Park. Jentene ved Amber Hill skyldte på at ting gikk for fort, slik at de ikke skjønte hva som ble undervist. De skyldte altså på undervisningen, ikke på seg selv, slik som det er populært å tro.
6. Også når det gjaldt sosioøkonomisk bakgrunn, var det tydelige forskjeller ved Amber Hill, mens de ikke var til stede ved Phoenix Park. Det var snarere motsatt.
Det kan ikke herske noen tvil om at Boalers studie gir sterke argumenter til fordel for problembasert undervisning. I det følgende skal vi se på et land der dette blir gjort på en menget systematisk måte, nemlig Japan.
[1] Det er et velkjent fenomen at matematikklærere stiller lukkede spørsmål som krever korte faktasvar som ikke krever tolkning eller refleksjon.
