Ett redskap man kan bruke i dette arbeidet, er såkalte diagnostiske prøver. Hensikten med slike prøver er å avsløre misforståelser hos elevene, ikke å måle deres regneferdigheter. Det er derfor viktig at oppgavene er laget slik at dette kan skje. Å finne gode oppgaver kan imidlertid være vanskelig, da det ikke alltid er like enkelt å skille mellom hvilke oppgaver som krever forståelse og hvilke oppgaver man kan få til ved rituell regneteknikk, selv om man ikke forstår helt hva man driver med. Et enkelt eksempel:
0,3 × 0,4 er ingen diagnostisk oppgave. Det er derimot 0,3 × 0,2. Den første gir 0,12 til svar, den andre 0,08. Svaret 0,12 kan man få selv om man tror at man skal gange sammen sifrene bak kommaet uavhengig av de foran. Slik kan man imidlertid ikke tenke, dersom man skal få 0,08 på den andre.
Diagnostiske prøver kan ut fra dette sies å være litt brutale. De har til hensikt å avsløre misforståelser. Man skal ikke ta sosialpedagogiske hensyn og være redd for å skade selvfølelsen hos elevene[1]. En del av hensikten er å skape indre konflikt hos elevene, slik at de ønsker å tenke gjennom stoffet på nytt. Det er ikke meningen at man skal komme i konflikt med andre, men diskusjoner med andre elever og i plenum er viktig. Når den diagnostiske testen er utført, er det meningen at elevene skal bli konfrontert med sine feil. Feilene synliggjøres på tavla og diskuteres. Prosedyren er altså å (1) avsløre misforståelser, (2) synliggjøre disse misforståelsene og (3) diskutere misforståelsene og rydde dem av veien. Forskning viser at dette er effektivt.
Noen typiske misforståelser
Det er knyttet svært mange misforståelser til desimaltall - både hva tallene betyr og hvordan de brukes.
Mange elever tror at kommaet er et slags skille som deler tallene i to deler og at disse delene er uavhengige av hverandre. Dette kan gi seg utslag i mange typer feil.
Noen eksempler:
- 9,2 < 9,15 (15 er mye mer enn 2, eller liknende forklaringer)
- 2,14 + 3,5 = 5,19
- 2,9 + 2,5 = 4,14 osv.
Hvis man starter med et tall og så legger til f.eks. 0,125 gjentatte ganger, blir elever ofte høyst forbauset over resultatet (enkelt å gjøre på et regneark).
§ 0,4 · 0, 2 = 0,8 (4 ganget med 2 er 8. Denne feilen kan skyldes mangel på vurdering av svaret, men kan også skyldes mangel på forståelse).
«Det blir alltid mer når du ganger og alltid mindre når du deler.» Dette er en av de mest seiglivede misforståelsene, som det brukes masser av tid på å utrydde i ungdomsskolen - med uklar virkning.
§ Start f.eks. med et tall og multipliser med et desimaltall gjentatte ganger. Elever har vansker med å tro at du får stadig mindre.
§ De fleste 8. klassinger tror for eksempel at 9 · 0,17 > 9 : 0,17
§ Spesielt det at du skal få mer når du deler med et tall mellom 0 og 1, er helt ukjent for svært mange elever.
Det siste henger også sammen med at elevene ikke vet forskjell på delingsdivisjon og målingsdivisjon. I det siste tilfellet er jo divisjon med små tall enkelt å forklare.
Det er i det hele tatt vanskelig for elevene å holde oversikt over bruk av desimaltall knyttet til praktisk bruk, spesielt til gange og dele. Dette kommer aller tydeligst fram dersom elever blir bedt om å lage tekst til et ferdig laget oppsett:
§ Lag en fortelling til 3,5 · 4,2.
Elever har store problemer med å finne en fornuftig tekst til en slik oppstilling. Ofte er svarene fullstendig vanvittige[2].
Elever har store problemer med å finne en fornuftig tekst til en slik oppstilling. Ofte er svarene fullstendig vanvittige[2].
§ Dersom elever skal regne ut prisen på 1,6 kg av en vare, vil de svært ofte finne prisen av 6 hg og legge til prisen for 1 kg . De forstår altså ikke fordelene med å bruke desimaltall.
Dette kan også ha sammenheng med at multiplikasjon og divisjon i lærebøkene gjerne forklares på bare én måte, som gjentatt addisjon og det motsatte. I virkeligheten brukes jo disse teknikkene på et stort utvalg av problemstillinger hvor denne forklaringsmåten er vanskelig å bruke.
En vanlig misforståelse er at det finnes bare én algoritme for å utføre beregninger. Enda vanligere er det å tro at det viktigste i matematikk er å kunne denne algoritmen.
Rater og forhold er et svært problematisk felt for våre elever. De klarer ikke å skille mellom «hvor mye mer» og «hvor mange ganger mer». Eks: En figur er 9 cm lang, like mye som 3 binderser.
Eksempel: Hvor mange binderser går det på en tilsvarende figur som er 15 cm lang? Den gjennomsnittlige eleven vil ha store problemer med å forstå at denne er 2 binderser lengre.
Dette er et stort problem, da forståelse av rater og forhold ligger bak svært mye av den anvendte matematikken, både i og utenfor skolen.
Også i geometri er det avslørt mange misoppfatninger.
§ Elever tror f. eks. at «firkanter» bare er kvadrater, eller at rektangler må ligge vannrett og ha et slags standardforhold mellom lengde og bredde. Dersom de blir for smale opphører de å være rektangler.
§ Dersom figurene ikke står vannrett på arket, tror de ofte at det er en annen type figur.
Denne figuren blir oppfattet som en rombe, ikke som et kvadrat.§ Det er avslørt en masse misforståelser knyttet til vinkler:
- Vinkler kan ikke være større enn 180o (eller 360o).
- Størrelsen på vinkelen er avhengig av lengden på vinkelbeina.
- Vansker med å se at vinkler er like store dersom de er dreid i forhold til hverandre.
Diagnose ved skolestart[3]
Selv om dette er en bok om matematikk på mellomtrinnet, velger jeg å ta med noen linjer om småskolen, da stoffet kan gi innblikk i en del grunnleggende forhold.
Det er 5 prinsipper barn må beherske for å kunne tilegne seg matematikken i skolen. De tre første bygger de fleste barn opp av seg selv:
- Abstraksjonsprinsippet.Forstår eleven at enhver begrenset mengde kan telles?
- En til en-prinsippet.Kan en elev gjennom pardannelser avgjøre hvilken av to mengder som inneholder flest elementer?
- Prinsippet om likegyldig rekkefølge.
Forstår eleven at når man teller et antall elementer så spiller det ingen rolle i hvilken rekkefølge dette skjer? Det blir alltid samme resultat.
De to siste prinsippene bygger barna opp gjennom sosial lek.
- Prinsippet om tallenes rekkefølge.Innser eleven at tallene i tallrekka alltid kommer i samme rekkefølge? Dette er forutsetningen for all regning.
- Antallsprinsippet.
Forstår eleven at det siste nevnte ordet i en tellesekvens entydig beskriver antall elementer i mengden?
Test
Utstyr: 20 knapper eller lignende.
Spørsmål 1
Hvor langt kan du regne? Noter.
Hensikt: å se hvor stor del av tallrekka eleven behersker.
Spørsmål 2
Kan du telle fra 5 og videre? (Eleven trenger ofte litt hjelp for å komme i gang, for eksempel: ”Når vi teller fra 3 gjør vi slik, 3, 4, 5, 6, 7, 8, …. Forsøk å telle fra 5” )
Hensikt: å se om eleven kan telle fra første ledd, en viktig forkunnskap for addisjon.
Spørsmål 3
Kan du regne baklengs fra 10? (Hvis eleven ikke forstår, tell selv baklengs fra 7). Hvis eleven ikke klarer oppgaven, prøv med et lavere tall. Dersom eleven klarer å telle baklengs fra 10, prøv med høyere tall, 15 og 20.
Hensikt: å se om eleven kan regne baklengs, en viktig forutsetning for subtraksjon.
Spørsmål 4
Hvor mange knapper ligger det på bordet? (Start med 20, gå ned dersom eleven ikke klarer å telle alle.) Noter hvor langt eleven kan telle og observer elevens telleteknikk.
Hensikt: å se om eleven kan anvende tallrekka korrekt for å telle et antall.
Spørsmål 5
Tell disse knappene en gang til, men begynn på den knappen i stedet. Hvor mange knapper er det da? Noter om eleven klarer å svare uten å telle.
Hensikt: å se om forstår prinsippet om likegyldig rekkefølge.
Spørsmål 6
Hvis du har 6 knapper og får en til, hvor mange knapper har du da? (Eleven skal kunne svare uten å bruke knapper.)
Hensikt: å se om eleven forstår at addisjon med ett tall gir der neste tallet i rekka.
Spørsmål 7
Hvis du har 6 knapper og gir meg en, hvor mange knapper har du igjen? (Eleven skal kunne svare uten å bruke knapper.)
Hensikt: å ta rede på om eleven forstår at subtraksjon med 1 gir tallet foran.
Spørsmål 8
Hvor mange knapper har jeg her? (Hold 3 knapper i den ene handa og 5 i den andre. Observer hvordan eleven teller. Gjenta med 2 og 7 knapper. Hold gjerne den hånda som inneholder lavest antall knapper noe nærmere eleven enn den andre.) Noter om eleven teller fra begynnelse, fra antallet i den nærmeste hånda eller fra det største tallet.
Hensikt: å få rede på hvilken regnestrategi eleven anvender. (Se mer om dette i avsnittet som er tatt fra Snorre Ostad.)
Diagnose på mellomtrinnet
En sentral strategi er å lage ferdig oppstilte oppgaver og la elevene lage regnefortellinger som passer til beregningene. Erfaringer viser at dette er meget vanskelig for elever, dersom utregningene innholder desimaltall eller brøk. Spesielt vanskelig er det dersom man deler med slike tall. Faktum er vel at også de fleste voksne, lærere inkludert, vil ha store problemer med å lage slike tekster[4].
Man bør også lage prøver som tester mer grunnleggende forhold innen de fire regningsartene. Man kan for eksempel lage oppgaver med utgangspunkt i Greenos addisjonskategorier. (De 20 addisjonskategoriene.) En annen mulighet er å sjekke den grunnleggende tallforståelsen hos elevene.
- Skriv svarene. Tid: 2 minutter
16 – 9 = 15 – 8 = 12 – 8 = 13 – 5 = 17 – 9 =
11 – 5 = 16 – 7 = 10 – 4 = 10 – 7 = 18 – 9 =
17 – 8 = 14 – 8 = 12 – 3 = 15 – 6 = 16 – 8 =
12 – 4 = 11 – 8 = 14 – 4 = 13 – 9 = 15 – 7 =
- Løs på enklest mulig måte
15 – 14 = 39 – 37 = 59 – 3 = 25 – 23 = 57 – 50 =
69 – 29 = 45 – 8 = 73 – 23 = 68 – 9 = 52 – 48 =
- Løs på enklest mulig måte
645 – 289 = 935 – 538 = 772 – 286 =
924 – 875 = 514 – 79 =
Hensikten med testen er egentlig å undersøke om elevene behersker subtraksjon av tresifrede tall. De to første delene av testen gir imidlertid en god indikasjon på hvor eventuelle svakheter ligger. Hvorvidt elevene har forstått subtraksjonens idé kontrolleres i del 2. Hvorvidt de har problem med subtraksjonstabellen måles i del 1.
Det er viktig at elevene behersker addisjonstabellen opp til 20. Dersom de ikke gjør det, vil de ha store problemer på å følge med videre i faget.
Multiplikasjon/divisjon. Diagnostisk hoderegningstest
Regn i hodet:
En sentral oppfølging er å få tak i hvordan både de som regner riktig og de som regner feil tenker, for så å diskutere seg fram til hensiktsmessige strategier. Det kan være meget lærerikt.
Vi har vært inne i en periode der mange mener at det ikke er nødvendig å kunne gangetabellene utenat, slik som vi la så stor vekt på før. Denne holdningen er i ferd med å snu, men med en litt annen eller utvidet begrunnelse. Selv om vi kan bruke kalkulator eller andre elektroniske regneverktøy og dermed ikke lengre regner så mye for hånd, er det nødvendig å kunne gangetabellene for å kunne følge med videre i faget. Mange ganger forutsettes det at man kan tabellene. Hvis en elev ikke kan dem, blir han sittende å gruble på hvordan et tallresultat kommer fram, i stedet for å kunne konsentrere seg om de nye tingene som skal læres. Dessuten er det umulig å gjøre overslag uten gode ferdigheter i tallbehandling. Det samme gjelder for øvrig for addisjon og subtraksjon.
En annen ting er at en del elever har uoverkommelige problemer med å lære gangetabellene. Dette kan ikke brukes som hinder for å la elevene ta del i andre typer matematikk. Dessuten må slike elever få bruke kalkulator eller regneark. Dette er imidlertid noe annet enn å si at det er unødvendig for elever flest å kunne gangetabellene [1] En annen ting er at diagnose og påfølgende konfrontasjon krever et trygt klassemiljø.
[2] En elev laget følgende tekst til ½ × ½: En gutt deler en halv sjokolade med halvbroren sin.
[3] Fra Løwing og Kilborn
[4] Å lese feilsvar på slike spørsmål, kan være underholdende for matematikere, men viser nok en gang behovet for avklaring på hva som egentlig foregår.
Ingen kommentarer:
Legg inn en kommentar