Tidsangivelser

Det faktum at vi bruker et sekstitallssystem i stedet for det vanlige titallssystemet når vi angir tider, skaper store vansker for mange skoleelever, og sikkert også voksne. Så lenge vi opererer med hele timer, eller slipper omregninger fra minutter til timer, sekunder til minutter, eller omvendt vei, går det hele bra. Men så fort vi må foreta slike operasjoner, blir det hele fort komplisert. Når så mange elever sliter med fart, tid og vei-oppgaver, skyldes dette i stor grad vanskene med måleenhetene, ofte mer enn selve sammenhengene mellom tid, fart og vei. At vi plutselig går over til tideler og hundredeler av sekund når vi angir tidsintervall som er kortere enn et sekund, gjør ikke tingene enklere.

            Jeg har moret meg med å gi lærerstudenter i oppdrag å regne ut tidsforskjeller mellom ulike sluttider i idrettsøvelser. Det viser seg snart at bare et lite fåtall studenter mestrer dette. Tenk deg for eksempel at to utøvere bruker henholdsvis 13.42,35 min og 12.58,48 min på en titusenmeter på skøyter. Hva er forskjellen i tidsforbruk? Her er det flere ting å holde styr på:

1. Vårt vanlige desimalkomma kan ikke brukes når vi angir timer, minutter og sekunder.
   3 h og 40 minutter kan skrives som 3.40 h, med punktum mellom timene og minuttene, men ikke med desimalkomma. Det samme gjelder mellom minutter og sekunder. 5 min 42 s = 5.42 min. (Sekund som måleenhet skal skrives s, ikke sek.)
2. Mellom sekunder og tidelene av et sekund, bør det imidlertid stå desimalkomma, for der tar vi i bruk vårt vanlige desimalsystem. Derfor har jeg i teksten over skrevet 13.42,35 min, som altså betyr 13 min og 42 hele og 35 hundredels sekund (eller 3 tidels og 5 hundredels sekund).
3. For å beregne tidsforskjellen må vi ut på ”lånemarkedet”:
4. 
   

Først må vi låne et tidels sekund fra de 3 vi har. Denne tidelen utgjør 10 hundredeler. Så må vi låner et sekund fra de 42, og får 10 tidels sekund. Til slutt må vi låne et minutt fra de 13. Dette er lik 60 sekunder. Her kan vi ikke bruke tideler lenger!
En slik beregning er langt fra enkel. Den er da også laget spesielt for å vise kompleksiteten i slike beregninger. Det hele behøver imidlertid ikke være særlig komplisert før skoleelever får problemer. Det kan være vanskelig nok å regne ut hvor lang tid det er fra kl. 10.45 til den er 12.15.        Her kan man også føre slik:

 

Når man skal regne på tid, fart og vei, fører det til store vansker for de fleste elever, dersom det ikke er samsvar mellom tidsenhetene i fartsangivelser og tidsangivelser. Hvor langt kjører du for eksempel på 10 minutter når farten er 60 km/h? Skal du svare på dette, må du gjøre om minuttene til timer, og det er slett ikke opplagt hvordan dette skal gjøres.

I de senere årene har det blitt populært å gjøre om minutter til desimaler av hele timer. Man gjør det da slik:

.

Hensikten er å kunne bruke formelen på en rett fram måte, uten å måtte ty til brøkdeler. Jeg synes ikke dette er noen god løsning, av flere grunner. For det første introduserer man plutselig titallssystemet i tidsangivelser med timer og minutter, noe som er et brudd med all annen tidsangivelse. For det andre dukker det ofte opp unøyaktigheter, slik som i eksempelet over. For det tredje bør det være et mål å lære elevene brøk og brøkregning, og her har man en utmerket anledning til å illustrere hva brøk er og hvordan man regner med dem. For det fjerde reduserer regnemåten over muligheten til å drive dimensjonsanalyse. Det siste er riktignok en vanskelig øvelse i grunnskolen, men de flinkeste ungdomsskoleelevene mestrer det ofte. Etter min mening bør problemet over ut fra disse betraktningene løses slik:

            Vi kjører:

Det er selvfølgelig ikke nødvendig å ta med alle de tre oppstillingene, selv om jeg valgte å gjøre det her for å illustrere både bruk av enheter og den påfølgende brøkregningen. Legg merke til at vi her helt naturlig får et presist svar, noe vi ikke ville fått ved å regne om de ti minuttene til desimaler av en time.

            Etter min mening bør de fleste av oss kunne løse et slikt problem som dette i hodet. Da må vi kunne ty til en snarvei, og den snarveien er her å dele med 60. I praktisk hoderegning kan vi godt tillate oss å dele farten med 60, selv om det egentlig er minuttene som skal gjøres om til sekstidels time. Resultatet blir jo det samme.

            La oss også se på de tilfellene da du må dele med tiden eller med farten. La oss se på noen eksempler:

Eksempel 1

Du bruker 8 minutter på å kjøre 10 km. Hvor stor gjennomsnittsfart har du brukt?

            Gjennomsnittsfarten er:

Her får vi brudden brøk, noe som er problematisk i grunnskolen. Det bør imidlertid være mulig å overbevise elever i ungdomsskolen om at man kan gå rett fra den første til den siste oppstillingen. Vi får samtidig med oss metoden for å regne i hodet, nemlig å gange med 60.

Eksempel 2

Du kjører 12 km med en gjennomsnittsfart på 80 km/h. Hvor lang tid bruker du?

            Du bruker:

Også her har jeg tatt med mange mellomledd for å vise hele prosessen. I praktiske sammenhenger kan det være greit å korte dette ned til én eller to. Nok en gang ser vi at vi ender opp med å gange med seksti.

Eksempel 3

Hva så hvis tallene er litt verre? V bruker de samme problemene som over, men med litt styggere tall. La oss si at bruker 9 min i stedet  for 8 min i det første eksempelet, og at gjennomsnittsfarten er 84 km/h i eksempel 2.

Gjennomsnittsfarten er:

Her må vi foreta en avrunding dersom vi bruker desimaler, men i praksis er dette helt i orden. Det er når vi bruker unøyaktige desimaltall i videre beregninger, at vi ofte skaper unødige vansker.

            Du bruker:

Dette svaret byr på problemer! Vi bruker jo sjelden eller aldri brøkdeler av minutter; vi bruker sekunder. Vi bør følgelig gjøre om brøken til sekunder. Det gjøres slik:

            .

Du må bruke 8 min og 34,29 s. I praksis bør vi runde av dette svaret til for eksempel 8 og et halvt minutt.

Eksempel 4.

Du sitter og kjører bil i 80 km/h når det plutselig oppstår en situasjon som gjør at du må bråbremse. Før du rekker å trykke inn bremsepedalen går det 1 sekund. Hvor langt kjører du på det ene sekundet?

            Du kjører:

I dette eksempelet stopper jeg før det endelige svaret, for å synliggjøre en sammenheng som man med fordel kan lære seg. Vi ender opp med å dele hastigheten med 3,6[1]. Dette betyr at hvis farten er 36 km/h, så rekker vi å kjøre 10 meter før vi begynner å bremse. Har vi en fart på 72 km/h, kjører vi 20 m, og hvis farten er 108 km/h kjører vi 30 m. Når farten er 80 km/h kjører vi ca. 22 m. (Nøyaktig beregning:.)

Fysikernes forenklede metode

Eksemplene over viser at å regne med timer, minutter og sekunder kan være vanskelig. I fysikken gjør man dette enklere, ved å bruke sekunder som tidsangivelse og m/s som enhet for fart[2]. På den måten slipper man unna alle de kompliserte omregningene som er illustrert i teksten over. Vi er imidlertid ikke vant til å bruke enheten meter per sekund i dagligtale, da vi er så vant til å tenke i de hastighetene vi bruker når vi kjører bil, at andre enheter virker uvante og dermed vanskelige å håndtere. Rent logisk og regneteknisk er det imidlertid langt enklere å bruke fysikernes enheter.

---

[1] Mange yrkessjåfører gjør raske overslag ved å dele med 3. I praksis gir dette en bra nok tilnærming.

[2] Når man opererer med høye hastigheter, slik som i romfart, bruker man gjerne km/s.