Diagnostiske prøver og konfronterende opplegg

Som skrevet diverse steder tidligere, er det uunngåelig at det oppstår misforståelser eller at den matematiske innsikten er mangelfull. Før i tiden mente mange lærere at elevene ville ”vokse av seg” slike unoter og at forståelsen ville komme etter hvert. Grundig forskning viser at denne oppfatningen er uholdbar, og at arbeidet for å forebygge, avsløre og forsøke å utrydde misforståelser, er noe av det aller viktigste vi kan gjøre.

            Ett redskap man kan bruke i dette arbeidet, er såkalte diagnostiske prøver. Hensikten med slike prøver er å avsløre misforståelser hos elevene, ikke å måle deres regneferdigheter. Det er derfor viktig at oppgavene er laget slik at dette kan skje. Å finne gode oppgaver kan imidlertid være vanskelig, da det ikke alltid er like enkelt å skille mellom hvilke oppgaver som krever forståelse og hvilke oppgaver man kan få til ved rituell regneteknikk, selv om man ikke forstår helt hva man driver med. Et enkelt eksempel:

0,3 × 0,4 er ingen diagnostisk oppgave. Det er derimot 0,3 × 0,2. Den første gir 0,12 til svar, den andre 0,08. Svaret 0,12 kan man få selv om man tror at man skal gange sammen sifrene bak kommaet uavhengig av de foran. Slik kan man imidlertid ikke tenke, dersom man skal få 0,08 på den andre.

Diagnostiske prøver kan ut fra dette sies å være litt brutale. De har til hensikt å avsløre misforståelser. Man skal ikke ta sosialpedagogiske hensyn og være redd for å skade selvfølelsen hos elevene[1]. En del av hensikten er å skape indre konflikt hos elevene, slik at de ønsker å tenke gjennom stoffet på nytt. Det er ikke meningen at man skal komme i konflikt med andre, men diskusjoner med andre elever og i plenum er viktig. Når den diagnostiske testen er utført, er det meningen at elevene skal bli konfrontert med sine feil. Feilene synliggjøres på tavla og diskuteres. Prosedyren er altså å (1) avsløre misforståelser, (2) synliggjøre disse misforståelsene og (3) diskutere misforståelsene og rydde dem av veien. Forskning viser at dette er effektivt.

Noen typiske misforståelser

Det er knyttet svært mange misforståelser til desimaltall - både hva tallene betyr og hvordan de brukes.

Mange elever tror at kommaet er et slags skille som deler tallene i to deler og at disse delene er uavhengige av hverandre. Dette kan gi seg utslag i mange typer feil.

Noen eksempler:

• 9,2 < 9,15                   (15 er mye mer enn 2, eller liknende forklaringer)
• 2,14 + 3,5 = 5,19
• 2,9 + 2,5 = 4,14 osv.

Hvis man starter med et tall og så legger til f.eks. 0,125 gjentatte ganger, blir elever ofte høyst forbauset over resultatet (enkelt å gjøre på et regneark).

§  0,4 · 0, 2 = 0,8 (4 ganget med 2 er 8. Denne feilen kan skyldes mangel på vurdering av svaret, men kan også skyldes mangel på forståelse).

«Det blir alltid mer når du ganger og alltid mindre når du deler.»    Dette er en av de mest seiglivede misforståelsene, som det brukes masser av tid på å utrydde i ungdomsskolen - med uklar virkning.

§  Start f.eks. med et tall og multipliser med et desimaltall gjentatte ganger. Elever har vansker med å tro at du får stadig mindre.

§  De fleste 8. klassinger tror for eksempel at 9 · 0,17 > 9 : 0,17

§  Spesielt det at du skal få mer når du deler med et tall mellom 0 og 1, er helt ukjent for svært mange elever.

Det siste henger også sammen med at elevene ikke vet forskjell på delingsdivisjon og målingsdivisjon. I det siste tilfellet er jo divisjon med små tall enkelt å forklare.

            Det er i det hele tatt vanskelig for elevene å holde oversikt over bruk av desimaltall knyttet til praktisk bruk, spesielt til gange og dele. Dette kommer aller tydeligst fram dersom elever blir bedt om å lage tekst til et ferdig laget oppsett:

§  Lag en fortelling til 3,5 · 4,2.
Elever har store problemer med å finne en fornuftig tekst til en slik oppstilling. Ofte er svarene fullstendig vanvittige[2].

§  Dersom elever skal regne ut prisen på 1,6 kg av en vare, vil de svært ofte finne prisen av 6 hg og legge til prisen for 1 kg. De forstår altså ikke fordelene med å bruke desimaltall.

Dette kan også ha sammenheng med at multiplikasjon og divisjon i lærebøkene gjerne forklares på bare én måte, som gjentatt addisjon og det motsatte. I virkeligheten brukes jo disse teknikkene på et stort utvalg av problemstillinger hvor denne forklaringsmåten er vanskelig å bruke.

            En vanlig misforståelse er at det finnes bare én algoritme for å utføre beregninger.  Enda vanligere er det å tro at det viktigste i matematikk er å kunne denne algoritmen. 

            Rater og forhold er et svært problematisk felt for våre elever. De klarer ikke å skille mellom «hvor mye mer» og «hvor mange ganger mer».  Eks: En figur er 9 cm lang, like mye som 3 binderser.

Eksempel: Hvor mange binderser går det på en tilsvarende figur som er 15 cm lang? Den gjennomsnittlige eleven vil ha store problemer med å forstå at denne er 2 binderser lengre.

Dette er et stort problem, da forståelse av rater og forhold ligger bak svært mye av den anvendte matematikken, både i og utenfor skolen.

Også i geometri er det avslørt mange misoppfatninger.

§  Elever tror f. eks. at «firkanter» bare er kvadrater, eller at rektangler må ligge vannrett og ha et slags standardforhold mellom lengde og bredde. Dersom de blir for smale opphører de å være rektangler.

§  Dersom figurene ikke står vannrett på arket, tror de ofte at det er en annen  type figur.

Denne figuren blir oppfattet som en rombe, ikke som et kvadrat.

§  Det er avslørt en masse misforståelser knyttet til vinkler:

• Vinkler kan ikke være større enn 180^o (eller 360^o).
• Størrelsen på vinkelen er avhengig av lengden på vinkelbeina.
• Vansker med å se at vinkler er like store dersom de er dreid i forhold til hverandre.

Diagnose ved skolestart[3]

Selv om dette er en bok om matematikk på mellomtrinnet, velger jeg å ta med noen linjer om småskolen, da stoffet kan gi innblikk i en del grunnleggende forhold.

Det er 5 prinsipper barn må beherske for å kunne tilegne seg matematikken i skolen. De tre første bygger de fleste barn opp av seg selv:

1. Abstraksjonsprinsippet.Forstår eleven at enhver begrenset mengde kan telles?
2. En til en-prinsippet.Kan en elev gjennom pardannelser avgjøre hvilken av to mengder som inneholder flest elementer?
3. Prinsippet om likegyldig rekkefølge.
   Forstår eleven at når man teller et antall elementer så spiller det ingen rolle i hvilken rekkefølge dette skjer? Det blir alltid samme resultat.

De to siste prinsippene bygger barna opp gjennom sosial lek.

4. Prinsippet om tallenes rekkefølge.Innser eleven at tallene i tallrekka alltid kommer i samme rekkefølge? Dette er forutsetningen for all regning.
5. Antallsprinsippet.
   Forstår eleven at det siste nevnte ordet i en tellesekvens entydig beskriver antall elementer i mengden?

Test

Utstyr: 20 knapper eller lignende.

Spørsmål 1

Hvor langt kan du regne? Noter.

Hensikt: å se hvor stor del av tallrekka eleven behersker.

Spørsmål 2

Kan du telle fra 5 og videre? (Eleven trenger ofte litt hjelp for å komme i gang, for eksempel: ”Når vi teller fra 3 gjør vi slik, 3, 4, 5, 6, 7, 8, …. Forsøk å telle fra 5”)

Hensikt: å se om eleven kan telle fra første ledd, en viktig forkunnskap for addisjon.

Spørsmål 3

Kan du regne baklengs fra 10? (Hvis eleven ikke forstår, tell selv baklengs fra 7). Hvis eleven ikke klarer oppgaven, prøv med et lavere tall. Dersom eleven klarer å telle baklengs fra 10, prøv med høyere tall, 15 og 20.

Hensikt: å se om eleven kan regne baklengs, en viktig forutsetning for subtraksjon.

Spørsmål 4

Hvor mange knapper ligger det på bordet? (Start med 20, gå ned dersom eleven ikke klarer å telle alle.) Noter hvor langt eleven kan telle og observer elevens telleteknikk.

Hensikt: å se om eleven kan anvende tallrekka korrekt for å telle et antall.

Spørsmål 5

Tell disse knappene en gang til, men begynn på den knappen i stedet. Hvor mange knapper er det da? Noter om eleven klarer å svare uten å telle.

Hensikt: å se om forstår prinsippet om likegyldig rekkefølge.

Spørsmål 6

Hvis du har 6 knapper og får en til, hvor mange knapper har du da? (Eleven skal kunne svare uten å bruke knapper.)

Hensikt: å se om eleven forstår at addisjon med ett tall gir der neste tallet i rekka.

Spørsmål 7

Hvis du har 6 knapper og gir meg en, hvor mange knapper har du igjen? (Eleven skal kunne svare uten å bruke knapper.)

Hensikt: å ta rede på om eleven forstår at subtraksjon med 1 gir tallet foran.

Spørsmål 8

Hvor mange knapper har jeg her? (Hold 3 knapper i den ene handa og 5 i den andre. Observer hvordan eleven teller. Gjenta med 2 og 7 knapper. Hold gjerne den hånda som inneholder lavest antall knapper noe nærmere eleven enn den andre.) Noter om eleven teller fra begynnelse, fra antallet i den nærmeste hånda eller fra det største tallet.

Hensikt: å få rede på hvilken regnestrategi eleven anvender. (Se mer om dette i avsnittet som er tatt fra Snorre Ostad.)

Diagnose på mellomtrinnet

En sentral strategi er å lage ferdig oppstilte oppgaver og la elevene lage regnefortellinger som passer til beregningene. Erfaringer viser at dette er meget vanskelig for elever, dersom utregningene innholder desimaltall eller brøk. Spesielt vanskelig er det dersom man deler med slike tall. Faktum er vel at også de fleste voksne, lærere inkludert, vil ha store problemer med å lage slike tekster[4].

            Man bør også lage prøver som tester mer grunnleggende forhold innen de fire regningsartene. Man kan for eksempel lage oppgaver med utgangspunkt i Greenos addisjonskategorier. (De 20 addisjonskategoriene.) En annen mulighet er å sjekke den grunnleggende tallforståelsen hos elevene.

Subtraksjonstest

1. Skriv svarene. Tid: 2 minutter
   16 – 9 =          15 – 8 =          12 – 8 =          13 – 5 =          17 – 9 =
   11 – 5 =          16 – 7 =          10 – 4 =          10 – 7 =          18 – 9 =
   17 – 8 =          14 – 8 =          12 – 3 =          15 – 6 =          16 – 8 =
   12 – 4 =          11 – 8 =          14 – 4 =          13 – 9 =          15 – 7 =

2. Løs på enklest mulig måte
   15 – 14 =        39 – 37 =        59 – 3 =          25 – 23 =        57 – 50 =
   69 – 29 =        45 – 8 =          73 – 23 =        68 – 9 =          52 – 48 =

3. Løs på enklest mulig måte
   645 – 289 =                935 – 538 =                772 – 286 =
   924 – 875 =                514 – 79 =

Hensikten med testen er egentlig å undersøke om elevene behersker subtraksjon av tresifrede tall. De to første delene av testen gir imidlertid en god indikasjon på hvor eventuelle svakheter ligger. Hvorvidt elevene har forstått subtraksjonens idé kontrolleres i del 2. Hvorvidt de har problem med subtraksjonstabellen måles i del 1.

Det er viktig at elevene behersker addisjonstabellen opp til 20. Dersom de ikke gjør det, vil de ha store problemer på å følge med videre i faget.

Multiplikasjon/divisjon. Diagnostisk hoderegningstest

Regn i hodet:

En sentral oppfølging er å få tak i hvordan både de som regner riktig og de som regner feil tenker, for så å diskutere seg fram til hensiktsmessige strategier. Det kan være meget lærerikt.

Vi har vært inne i en periode der mange mener at det ikke er nødvendig å kunne gangetabellene utenat, slik som vi la så stor vekt på før. Denne holdningen er i ferd med å snu, men med en litt annen eller utvidet begrunnelse. Selv om vi kan bruke kalkulator eller andre elektroniske regneverktøy og dermed ikke lengre regner så mye for hånd, er det nødvendig å kunne gangetabellene for å kunne følge med videre i faget. Mange ganger forutsettes det at man kan tabellene. Hvis en elev ikke kan dem, blir han sittende å gruble på hvordan et tallresultat kommer fram, i stedet for å kunne konsentrere seg om de nye tingene som skal læres. Dessuten er det umulig å gjøre overslag uten gode ferdigheter i tallbehandling. Det samme gjelder for øvrig for addisjon og subtraksjon.

En annen ting er at en del elever har uoverkommelige problemer med å lære gangetabellene. Dette kan ikke brukes som hinder for å la elevene ta del i andre typer matematikk. Dessuten må slike elever få bruke kalkulator eller regneark. Dette er imidlertid noe annet enn å si at det er unødvendig for elever flest å kunne gangetabellene

---

[1] En annen ting er at diagnose og påfølgende konfrontasjon krever et trygt klassemiljø.

[2] En elev laget følgende tekst til ½ × ½: En gutt deler en halv sjokolade med halvbroren sin.

[3] Fra Løwing og Kilborn

[4] Å lese feilsvar på slike spørsmål, kan være underholdende for matematikere, men viser nok en gang behovet for avklaring på hva som egentlig foregår.

Føring av oppgavesvar

På slutten av 60-tallet introduserte Egil Wiken for norsk skole en ny måte å føre svar på tekstoppgaver på. Dette var systemet med såkalte svarsetninger. Hensikten var å frita elevene for bryderiet med å lage nitidige tekster til alle oppstillinger og tall. Wiken mente at dette kunne frigjøre tankene fra unødvendig formalisme og gi elevene rom til heller å tenke på selve oppgaveløsningene.

            Wikens hensikt med nyordningen var nok god, men etter min mening er den noe av det aller mest uheldige som er gjort innen matematikkundervisningen her til lands. I stedet for å frigjøre elevene fra formalisme, førte det til at løsning av tekstoppgavene ble en slags tallmagi, der strukturen i løsningene kom i bakgrunnen. Vi vet i dag at svært mange elever har en tilbøyelighet til å gjette på løsninger ut fra tallenes beskaffenhet, i stedet for å tenke gjennom hele problemstillingen. La meg ta et par eksempler:

                

Oppgave: 100 biter smågodt koster 50 kr. Hvor mye koster 1 bit?

Her vil mange elever dele 100 med 50 og få 2 kr til svar. Når de ser at det spørres etter prisen på 1 bit, assosierer de med deling, men faller i den fellen, eller vanen, at de deler det største tallet med det minste, eller det første tallet i teksten med det andre.

Oppgave a: 1 kg fisk koster 89,50 kr. Hvor mye koster 1,6 kg?

Oppgave b: 1 kg fisk koster 89,50 kr. Hvor mye koster 0,75 kg?

Veldig mange elever begynner å dele tallene i oppgave 2 med hverandre, selv om de først regner riktig på den første oppgaven. Sannsynligvis henger dette sammen med en forstilling om at man alltid får mindre når man deler, og det er jo riktig at man skal få mindre enn 89,50 kr.

Dersom man skal motarbeide slike tilbøyeligheter, må man arbeide med strukturene i problemet, dvs. slike sammenhenger som at:

• Pris per enhet er lik samlet pris dividert med antall enheter
• Samlet pris er lik pris per enhet ganget med antall enheter
• Antall kjøpte enheter kan beregnes ved å dividere samlet pris med prisen per enhet

Slike sammenhenger må synliggjøres, diskuteres og eksemplifiseres gjentatte ganger, og det må vises at strukturene gjelder uavhengig av tallenes størrelse. For å få system i dette er bruk av tekster et nødvendig redskap.

            Et annet sentralt argument for bruk av gammeldags teksting, er at den som ser løsningen skal forstå hva som er gjort, uten at vedkommende skal behøve å ha oppgaveteksten foran seg. Det er umulig når man bruker svarsetninger. Et oppgavesvar skal være noe mer enn bare å gi et riktig svar. Et like viktig mål er å presentere en løsning slik at tankegangen i løsningen er synlig for leseren. Bruk av svarsetninger bidrar bare til å opprettholde den svært uheldige svarfikseringen som vi ser altfor mye av matematikkfaget i skolen. Det må imidlertid være mulig å eksperimentere og prøve seg fram på kladd, men dette skal alltid føre fram til en ordentlig presentasjon av løsningen på en slik måte at føringen forteller om tankegang og regnemetode.

            Å bruke teksting slik som beskrevet under, er en selvfølge i andre sammenhenger. Tenk bare på nyheter i avisene. De kan ikke bare skrive ned en masse tall uten forklaring, for så å skrive en konklusjon til slutt. Eller tenk å et kommunebudsjett. Ingen tall presenteres uten at det står forklart hva det dreier seg om.

Regler for føring

Hovedregelen er meget enkel:

• Presenter aldri et tall eller en størrelse uten at du først skriver hva det dreier seg om.

Dersom vi for å kunne presentere en verdi, må ha en utregning først, gir vi en oppstilling som viser hvordan vi finner fram til denne verdien. Selve utregningen behøver vi derimot ikke vise. Det kan vi gjøre på kladd, eller vedhjelp av et elektronisk hjelpemiddel.

            Ut fra dette vil en typisk føring se slik ut:

• Tekst: oppstilling = ønsket verdi

Vi får for eksempel vite at 85 % av massen i en metallgjenstand er sølv. La oss si at gjenstanden har en masse på 400 gram, og du skal finne sølvmengden. Da bør du føre slik:

Sølvinnholdet i 400 g metall er:

Tekst og oppstilling kan selvsagt utformes på flere måter. Hensikten er å vise hva du er ute etter å finne og hvordan du finner det. Vi kan for eksempel skrive eller . For en skoleelev kan det være vanskelig å skrive en god tekst, men som oftest kan man bare skrive om spørsmålet i oppgaveteksten.

            Som oftest er det nødvendig med to eller flere regneoperasjoner, og da kan det være naturlig eller nødvendig å bruke flere linjer:

Ordinær pris:              6000 kr

 

Vi må betale:              5700 kr

Før i tiden var det viktig at man markerte svaret ved å sette to streker under det. I eksemplene over har jeg gjort det. Dersom man måtte foreta mellomregninger, dvs. finne størrelser som ble brukt videre for å finne det endelige svaret, skulle man sette én strek under dette resultatet. I dag virker imidlertid dette noe kunstig, spesielt sett i lys av at man ofte vil presentere ting elektronisk. Da kan det være mer hensiktsmessig å markere svaret på annen måte, for eksempel ved hjelp av en utheving, eller ved hjelp av farger. Det kan for eksempel se slik ut i et regneark:

Ordinær pris:		6000	kr
Rabatt:	6000 kr * 5 % =	300	kr
Vi må betale		5700	kr

I noen sammenhenger kan man sette sammen de to beregningene i én oppstilling:

Beløpet vi må betale:

Det bør da gå klart fram av sammenhengen hva som foregår. Jeg vil nok anbefale at man stort sett venter til ungdomsskolen med å bruke slike sammensatte oppstillinger.

En feil man ofte ser utrente elever gjøre, er å skrive tekst bare foran tallet i den første linjen, og da brukes gjerne teksten som hører hjemme i tredje linje. Dette er trolig et resultat av at elevene har vært vant til å bruke svarsetninger og derfor mangler trening i å føre skikkelig. Jeg har diskutert problemene rundt føring med mange barneskolelærere. Omtrent alle har sagt at kravet om føring med tekster, slik som vist over, for dem gjerne kan innføres i ungdomsskolen, men at det ikke passer i barneskolen. Jeg er ikke enig i dette. Erfaringen viser at elever som har vent seg til systemet med svarsetninger, har etablert vaner som det er svært vanskelig å endre. ”Vond vane er vond å vende” sier et gammelt visdomsord. Ordene gir en god beskrivelse av de problemene man møter når man prøver å avvenne elever med å bruke disse uhensiktsmessige svarsetningene.

Føring av måleenheter

Så lenge vi opererer med bare én enkelt måleenhet, slik som i eksemplene over, er dette uproblematisk. Verre blir det når vi har sammensatte størrelser. Hvordan håndterer vi for eksempel areal- og volumenheter? Skal vi skrive

Arealet av rektangelet er:

eller

Arealet av rektangelet er: ?

Jeg vil i utgangspunktet anbefale den første skrivemåten i barneskolen, men vil ikke være bastant. Det kan være vanskelig for en barneskoleelev å forstå at . På den annen side gir nettopp denne skrivemåten en god anledning til å diskutere hva måleenhetene kvadrat- og kubikkmeter egentlig er for noe, og slike diskusjoner kan man aldri få for mange av. En slik diskusjon kan imidlertid like gjerne føre til at man velger den første føringsmetoden.

Dersom man kommer fram til at enighet om at én rute har arealet , er det naturlig å bruke den første oppstillingen.

På bakgrunn av det siste argumentet, heller jeg til at man bør bruke den første oppstillingen i barneskolen. I ungdomsskolen kan imidlertid dette endre seg, for der kommer elevene oftere i kontakt med andre sammensatte enheter, slik som enheter for hastighet, tetthet eller energi.

Gjennomsnittsfart:

Gjenstandens masse:

Strømforbruket (utenom nettleie) koster:

Innen naturvitenskapene regner man med måleenhetene akkurat som man gjør med tall. Det er egentlig det jeg også har gjort i eksemplene over. Dersom beregningene er kompliserte eller uoversiktlige, kan det å regne på måleenhetene være et godt redskap for å sjekke om man gjør ting riktig. Som oftest vet man hvilken måleenhet man skal få til slutt. Derfor kan en slik analyse gi en god indikasjon på om man bruker riktig beregningsmåte. En slik analyse kalles dimensjonsanalyse. Jeg gir et enkelt eksempel på det i kapitlet om analyse av en tekstoppgave.

Misbruk av likhetstegnet

I matematikken har likhetstegnet en absolutt betydning, dvs. at uttrykk som står på hver sin side av et likhetstegn skal være like eller likverdige. Det er ikke slik alle steder. I dataprogrammer brukes likhetstent gjerne som et signal om at en bestemt handling skal utføres. Svært mange skoleelever har en intuitiv oppfatning av likhetstegnet som er i tråd med en slik tolkning. ”Når vi har utført en beregning, kan vi skrive likhetstegn for å vise at vi regner videre”, eller en lignende tankegang. Et typisk eksempel på dette er at man sløyfer måleenheter i oppstillinger og skriver dem bare i svaret. Et tydeligere eksempel på mangelfull oppfatning av likhetstegnets betydning, ser man ofte i forbindelse med regning med fortegnstall. Vi kan for eksempel se slik føring som dette:

Denne føringen er høyst ukorrekt, for her misbrukes likhetstegnet to ganger. En korrekt føring vil se slik ut:

Man kan selvsagt også regne i en annen rekkefølge, for eksempel slik:

Uansett hvordan man regner, må man passe på å ikke sløyfe noen av verdiene under veis. I litt mer avansert matematikk, der beregningene blir lengre og mer kompliserte, er dette særs viktig. Elever bør derfor vennes til å bruke likhetstegnet korrekt så tidlig som mulig. Man må være oppmerksom på at dette ikke kommer av seg selv.

            Ukorrekt bruk av likhetstegnet er bare ett av mange eksempler på at intuisjonen kan lede elever på feilspor. Forekomsten av slike misforståelser er uunngåelige og forekommer svært hyppig. Diskusjoner og klargjøring av hva som er matematisk korrekt, er og blir noe av det viktigste en matematikklærer kan bidra til.

Tidsangivelser

Det faktum at vi bruker et sekstitallssystem i stedet for det vanlige titallssystemet når vi angir tider, skaper store vansker for mange skoleelever, og sikkert også voksne. Så lenge vi opererer med hele timer, eller slipper omregninger fra minutter til timer, sekunder til minutter, eller omvendt vei, går det hele bra. Men så fort vi må foreta slike operasjoner, blir det hele fort komplisert. Når så mange elever sliter med fart, tid og vei-oppgaver, skyldes dette i stor grad vanskene med måleenhetene, ofte mer enn selve sammenhengene mellom tid, fart og vei. At vi plutselig går over til tideler og hundredeler av sekund når vi angir tidsintervall som er kortere enn et sekund, gjør ikke tingene enklere.

            Jeg har moret meg med å gi lærerstudenter i oppdrag å regne ut tidsforskjeller mellom ulike sluttider i idrettsøvelser. Det viser seg snart at bare et lite fåtall studenter mestrer dette. Tenk deg for eksempel at to utøvere bruker henholdsvis 13.42,35 min og 12.58,48 min på en titusenmeter på skøyter. Hva er forskjellen i tidsforbruk? Her er det flere ting å holde styr på:

1. Vårt vanlige desimalkomma kan ikke brukes når vi angir timer, minutter og sekunder.
   3 h og 40 minutter kan skrives som 3.40 h, med punktum mellom timene og minuttene, men ikke med desimalkomma. Det samme gjelder mellom minutter og sekunder. 5 min 42 s = 5.42 min. (Sekund som måleenhet skal skrives s, ikke sek.)
2. Mellom sekunder og tidelene av et sekund, bør det imidlertid stå desimalkomma, for der tar vi i bruk vårt vanlige desimalsystem. Derfor har jeg i teksten over skrevet 13.42,35 min, som altså betyr 13 min og 42 hele og 35 hundredels sekund (eller 3 tidels og 5 hundredels sekund).
3. For å beregne tidsforskjellen må vi ut på ”lånemarkedet”:
4. 
   

Først må vi låne et tidels sekund fra de 3 vi har. Denne tidelen utgjør 10 hundredeler. Så må vi låner et sekund fra de 42, og får 10 tidels sekund. Til slutt må vi låne et minutt fra de 13. Dette er lik 60 sekunder. Her kan vi ikke bruke tideler lenger!
En slik beregning er langt fra enkel. Den er da også laget spesielt for å vise kompleksiteten i slike beregninger. Det hele behøver imidlertid ikke være særlig komplisert før skoleelever får problemer. Det kan være vanskelig nok å regne ut hvor lang tid det er fra kl. 10.45 til den er 12.15.        Her kan man også føre slik:

 

Når man skal regne på tid, fart og vei, fører det til store vansker for de fleste elever, dersom det ikke er samsvar mellom tidsenhetene i fartsangivelser og tidsangivelser. Hvor langt kjører du for eksempel på 10 minutter når farten er 60 km/h? Skal du svare på dette, må du gjøre om minuttene til timer, og det er slett ikke opplagt hvordan dette skal gjøres.

I de senere årene har det blitt populært å gjøre om minutter til desimaler av hele timer. Man gjør det da slik:

.

Hensikten er å kunne bruke formelen på en rett fram måte, uten å måtte ty til brøkdeler. Jeg synes ikke dette er noen god løsning, av flere grunner. For det første introduserer man plutselig titallssystemet i tidsangivelser med timer og minutter, noe som er et brudd med all annen tidsangivelse. For det andre dukker det ofte opp unøyaktigheter, slik som i eksempelet over. For det tredje bør det være et mål å lære elevene brøk og brøkregning, og her har man en utmerket anledning til å illustrere hva brøk er og hvordan man regner med dem. For det fjerde reduserer regnemåten over muligheten til å drive dimensjonsanalyse. Det siste er riktignok en vanskelig øvelse i grunnskolen, men de flinkeste ungdomsskoleelevene mestrer det ofte. Etter min mening bør problemet over ut fra disse betraktningene løses slik:

            Vi kjører:

Det er selvfølgelig ikke nødvendig å ta med alle de tre oppstillingene, selv om jeg valgte å gjøre det her for å illustrere både bruk av enheter og den påfølgende brøkregningen. Legg merke til at vi her helt naturlig får et presist svar, noe vi ikke ville fått ved å regne om de ti minuttene til desimaler av en time.

            Etter min mening bør de fleste av oss kunne løse et slikt problem som dette i hodet. Da må vi kunne ty til en snarvei, og den snarveien er her å dele med 60. I praktisk hoderegning kan vi godt tillate oss å dele farten med 60, selv om det egentlig er minuttene som skal gjøres om til sekstidels time. Resultatet blir jo det samme.

            La oss også se på de tilfellene da du må dele med tiden eller med farten. La oss se på noen eksempler:

Eksempel 1

Du bruker 8 minutter på å kjøre 10 km. Hvor stor gjennomsnittsfart har du brukt?

            Gjennomsnittsfarten er:

Her får vi brudden brøk, noe som er problematisk i grunnskolen. Det bør imidlertid være mulig å overbevise elever i ungdomsskolen om at man kan gå rett fra den første til den siste oppstillingen. Vi får samtidig med oss metoden for å regne i hodet, nemlig å gange med 60.

Eksempel 2

Du kjører 12 km med en gjennomsnittsfart på 80 km/h. Hvor lang tid bruker du?

            Du bruker:

Også her har jeg tatt med mange mellomledd for å vise hele prosessen. I praktiske sammenhenger kan det være greit å korte dette ned til én eller to. Nok en gang ser vi at vi ender opp med å gange med seksti.

Eksempel 3

Hva så hvis tallene er litt verre? V bruker de samme problemene som over, men med litt styggere tall. La oss si at bruker 9 min i stedet  for 8 min i det første eksempelet, og at gjennomsnittsfarten er 84 km/h i eksempel 2.

Gjennomsnittsfarten er:

Her må vi foreta en avrunding dersom vi bruker desimaler, men i praksis er dette helt i orden. Det er når vi bruker unøyaktige desimaltall i videre beregninger, at vi ofte skaper unødige vansker.

            Du bruker:

Dette svaret byr på problemer! Vi bruker jo sjelden eller aldri brøkdeler av minutter; vi bruker sekunder. Vi bør følgelig gjøre om brøken til sekunder. Det gjøres slik:

            .

Du må bruke 8 min og 34,29 s. I praksis bør vi runde av dette svaret til for eksempel 8 og et halvt minutt.

Eksempel 4.

Du sitter og kjører bil i 80 km/h når det plutselig oppstår en situasjon som gjør at du må bråbremse. Før du rekker å trykke inn bremsepedalen går det 1 sekund. Hvor langt kjører du på det ene sekundet?

            Du kjører:

I dette eksempelet stopper jeg før det endelige svaret, for å synliggjøre en sammenheng som man med fordel kan lære seg. Vi ender opp med å dele hastigheten med 3,6[1]. Dette betyr at hvis farten er 36 km/h, så rekker vi å kjøre 10 meter før vi begynner å bremse. Har vi en fart på 72 km/h, kjører vi 20 m, og hvis farten er 108 km/h kjører vi 30 m. Når farten er 80 km/h kjører vi ca. 22 m. (Nøyaktig beregning:.)

Fysikernes forenklede metode

Eksemplene over viser at å regne med timer, minutter og sekunder kan være vanskelig. I fysikken gjør man dette enklere, ved å bruke sekunder som tidsangivelse og m/s som enhet for fart[2]. På den måten slipper man unna alle de kompliserte omregningene som er illustrert i teksten over. Vi er imidlertid ikke vant til å bruke enheten meter per sekund i dagligtale, da vi er så vant til å tenke i de hastighetene vi bruker når vi kjører bil, at andre enheter virker uvante og dermed vanskelige å håndtere. Rent logisk og regneteknisk er det imidlertid langt enklere å bruke fysikernes enheter.

---

[1] Mange yrkessjåfører gjør raske overslag ved å dele med 3. I praksis gir dette en bra nok tilnærming.

[2] Når man opererer med høye hastigheter, slik som i romfart, bruker man gjerne km/s.