Noen vanskelige begreper

Det er vanskelig å lære elever matematiske begreper ved hjelp av teoretiske definisjoner. Dessuten er det umulig å gi enkle og holdbare definisjoner av enkelte begreper. Motsatsen til å introdusere begrepene ved å gi en definisjon, er å gi elevene erfaring med praktiske eksempler. Personlig holder jeg på den tankegangen som er brukt ellers i denne boken, at man først gir elevene erfaringer, men så følger opp med teoretisering.

Vinkler

Vinkelbegrepet er et godt eksempel på ting som det er vanskelig, om ikke umulig, å definere teoretisk. Derimot er det lett å finne praktiske eksempler på bruk av vinkler. Man kan jo bruke alt mulig, slik som takvinkler, vinkler mellom gatesteiner, fiskebeinvinkler når man går på ski, og slik i det uendelige. Slike eksemplene gir imidlertid ikke noen forklaring på hva en vinkel er, og viktigere, de er ikke egnet til å forebygge de typiske misforståelsene som vi vet elever sliter med når det gjelder vinkler.

            Det er mulig å sette navn på ulike deler av en vinkel, eller kanskje bedre, på en stilisert figur som viser en vinkel. Vi kan for eksempel bruke ord som vinkelbein, vinkelfelt og vinkelåpning.

Det er vinkelåpningen som forteller oss størrelsen på vinkelen, men det er vanlig at elever i første omgang ikke innser dette. Mange elever tror nemlig at lengden på vinkelbeina avgjør størrelsen på vinkelen. 

De tror for eksempel at vinkel b på figuren over er større enn vinkel a, selv om vinkelåpningene er identiske, og vinklene dermed er like store.

Den beste måten å forebygge denne misforståelsen på, er trolig å framstille vinkler som en dreining av et av vinkelbeina. Man kan tenke seg at vinkelbeina først ligger oppå hverandre, og at man så dreier det ene beinet rundt toppunktet. Størrelsen på vinkelen er et mål for hvor stor denne dreiningen er. Dette vil også forebygge andre misforståelser. Mange elever tror nemlig at en vinkel ikke kan være stump, eller at vinkler på 180° ikke kan forekomme, eller at en vinkel ikke kan være større enn 180°. At vinkler kan være større enn 360°, er spesielt vanskelig å akseptere. Eksistensen av slike vinkler kan lettere aksepteres ved å tenke på en vinkel som en dreining.

For moro skyld viser jeg under et par situasjoner der vinkelbegrepet ofte brukes, men hvor det kan herske usikkerhet omkring hvilken vinkel det egentlig snakkes om.

Scoring fra ”spiss vinkel”

Ofte kan vi høre at fotball- eller håndballspillere scorer fra ”spiss vinkel”. Det er ikke sikkert alle har det klart for seg hvilken vinkel det egentlig er snakk om.

Tenk deg at en spiller står i A og skyter mot målet, PQ. Man kan lett bli forledet til å tro at det vanskelig å treffe mellom målstengene, når han står så skrått foran målet. I virkeligheten er vinkelen mot mål nøyaktig den samme uansett hvor du står på sirkelen på figuren[1], ÐPAC = Ðx = Ðy. Det er Ða man snakker om, når man bruker uttrykket ”spiss vinkel”.

            Er det så like lett eller vanskelig å score fra alle posisjoner på sirkelen? Nei, det er lettere for målmannen å dekke for skuddet når skuddet kommer fra spiss vinkel. En annen ting er at hvis avstanden fra A til målet øker, hvis spilleren står lenger fra målet enn på vår sirkel, så blir ÐPAC mindre, selv om Ða er den samme. Hvor vanskelig det er å treffe mål, er naturlig nok avhengig både av avstand fra målet og vinkelen mellom dødlinja og aksen mot mål. Men dette med avstand til målet, er ikke så enkelt som man kanskje kunne tro. En annen ting er at farten på skuddet alltid vil avta på veien mot målet, og tiden fra skuddet avfyres til det når målet øker med avstanden, slik at målmannen alltid vil få bedre tid på seg når skuddet avfyres fra lengre hold.

Svinger og vinkler

Tenk deg at vi har en vei som svinger slik som på figuren til venstre. Hvor mange grader svinger veien? Dersom vi skal svare på det, må vi finne svingradien og legge inn en sirkel som tangerer veien, slik som på figuren under.

            Dersom svingen er litt ujamn, kan dette være vanskelig å gjøre, men vi kan jo alltid legge inn en sirkel som går gjennom starten og slutten på svingen.

Det er vinkel x på figuren som nå forteller oss hvor mange grader vi har svingt. Vi finner imidlertid igjen den samme vinkelen om vi trekker tangenten til sirkelen i hver ende av svingen, Ðx = Ðy, men legg merke til at det er den ytre vinkelen mellom tangentene som forteller hvor mange grader svingen er på, ikke den innerste. Den er lik supplementvinkelen til x. Dette kan sikkert virke overraskende på noen.

---

[1] Dette følger av Thales’ setning om periferivinkler.

Prosentregning på kalkulator

De aller enkleste lommekalkulatorene har ingen egen prosenttast. På mange av de små kalkulatorene er det imidlertid lagt inn funksjoner som gjør at man kan utføre en del prosentberegninger raskt og enkelt, slik som den på figuren til venstre. Dersom du taster inn for eksempel 200 x 15 og så trykker på %-tasten, vil kalkulatoren regne ut 15 % av 200, og du får 30 som resultat.

Det er enkelt å forstå hva som foregår her, sikkert også for de fleste skoleelever. Noe vanskeligere blir det hvis man trykker 200 + 15 % eller 200 – 15 %. Da regner kalkulatoren automatisk ut 200 pluss eller minus 15 % av 200, og det står henholdsvis 230 eller 170 i displayet. Du behøver ikke utføre noen form for mellomregning, eller forstå hva kalkulatoren gjør.

Det kan opplagt diskuteres om det er didaktisk klokt å la elever få gjøre dette eller ikke. Et viktig siktemål i skolematematikken er jo å få elevene til å forstå hvordan slike beregninger skal utføres. Derfor et det kanskje ikke så klokt å la elevene få bruke denne funksjonen før de mestrer å gjøre beregningene for hånd. På den annen side er det uhensiktsmessig å nekte elever med gode ferdigheter å bruke kalkulatoren når det er behov for det. En god regel er forøvrig å sørge for at elevene skriver oppstillinger som viser hvordan man regner.

Når det gjelder de store kalkulatorene, så har ikke de noen prosenttast, så dersom man skal bruke dem til utregninger med prosent, så må man bruke samme prosedyre som når man regner for hånd.

Prosentregning på regneark

De elektroniske regnearkene har en innebygd funksjon som gjør om tall til desimaltall når du skriver prosenttegn bak et tall. Dette synes ikke på skjermen, men beregningene utføres ved hjelp av desimaltallene. Dersom vi skriver inn en del prosenttall i regnearket, kan de se slik ut:

Men hvis du merker området og ber programmet vise ”Formelredigeringsmodus” (under rullegardinmenyen ”Verktøy”), vil området A1:B3 på regnearket se slik ut.

0,01	0,5
0,1	0,75
0,25	1

Vi skriver inn opplysningene fra eksempel 2 over i regnearket og lar programmet utføre beregningene for oss. Det kan for eksempel se slik ut:

Dersom vi ser på dette i formelredigeringsmodus, ser det samme området av arket slik ut:

Arv:	1000000	kr
Din avdøde mors andel:	0,5
Din del av dette:	0,25
Du arver:	=B1*B2*B3	kr

Vi ser at prosenttallene er gjort om til desimaltall, og at det totale arvebeløpet er multiplisert med disse desimaltallene. Man trenger ikke selv å gjøre om prosenttallene til desimaltall, for regnearket gjør det for oss. Både for skoleelever og voksne kan dette være lettvint, og man trenger jo ikke forstå mekanismene som regnearket benytter seg av, for å kunne bruke det på en fornuftig måte. Men dersom ønsket er å forstå prosentregning, kan det være greit å vite dette.

Å finne hvor mange prosent et tall utgjør av et annet er svært enkelt på regneark, dersom man bruker brøkdeler som utgangspunkt. Man bare dividerer tallene med hverandre og formaterer cella til å skrive resultatet som prosent. Vanligvis kan man gjøre dette bare ved å trykke på en egen %-knapp på formateringslinja. Ved hjelp av andre knapper kan du bestemme antall desimaler. Formateringslinja er den fjerde ovenfra på figuren under.

I celle B3 er det ganske enkelt skrevet = 17/53 (alle utregninger i Excel må startes med et likhetstegn).

Å regne med gjentatte prosentvise endringer er veldig greit på regneark. Det enkleste er å vise et par eksempler.

Eksempel 1. Rentesrente

I eksempelet under er det beregnet hva verdien av 100 000 kr har økt til etter 15 år med en fast rente på 4,30 % per år.

I formelrevisjonsmodus ser oppsettet slik ut:

Vi ser at vi fritt kan endre på verdiene, og regnearket vil automatisk regne om igjen på grunnlag av disse endringene.

Eksempel 2. Prisstigning

La oss tenke oss at vi i løpet av en åtteårsperiode har hatt en prisstigning slik som vist i regnearket under. Vi beregner samlet prisstigning og gjennomsnittlig prisstigning per år.

I formelrevisjonsmodus ser det slik ut:

Tallberegningene blir slik:

Vanligvis brukes begrepet prisindeks. Da setter man prisene i et valgt år lik 100. Dersom prisene stiger med for eksempel 2 % året etter, stiger prisindeksen da til 102. Dette tilsvarer tallet (1+p %) i formlene over. Indeksen akkumulerer prisstigningen, slik at man hele tiden kan se samlet prisstigning siden startåret ved å trekke fra 100 fra gjeldende års prisindeks. Dette ligger imidlertid utenfor det vi skal behandle i denne boka, så temaet forlates her.

Gjentatte endringer

Et kjent tilfelle der dette brukes er rentesrente. Dersom rentefoten ikke varierer, kan man enkelt lage en formel for dette. I stedet for å lage en omstendelig matematisk utledning, kan vi nå lage oss en enkel logisk variant. Vi setter rentefoten = p %. Dersom vi har en kapital, K, og får den renten på kapitalen, vil kapitalen ha vokst med p % til . Neste år vokser denne kapitalen på samme måten, slik at etter to år har vi en kapital på . Etter et vilkårlig antall år, for eksempel n år, vil kapitalen ha vokst til 

Dette er den kjente formelen for rentesrente.

I den virkelige verden er det sjelden renten holder seg helt stabil over flere år. Vi må forvente at den varierer fra år til år. (I realiteten vil rentefoten endre seg i løpet av året, kanskje flere ganger). La oss si at rentefoten første år er lik , neste år , … og n-te år lik . Ut fra samme tankegang, vil vi nå få at

Det er bare å henge på for hvert år.

Å utføre slike beregninger i praksis er svært enkelt på regneark (se lenger ned).

Dersom man vil finne en gjennomsnittlig rente over n år, kan man bare sette de to formlene over lik hverandre og løse oppsettet som en ligning med p som ukjent:

Dette er jo en annen måte å regne gjennomsnitt på enn vi er vant til. Her kan vi ikke bare legge sammen prosentsatsene og dele på antall år. Dersom rentefoten er fast over hele perioden, ville det gitt samme resultat, men ikke med varierende rente. Forskjellen mellom den verdien du finner med korrekt beregning og den du ville finne ved å legge sammen prosentsatsene og dele på antall år, kan likevel være svært liten, dersom variasjonene er små. Utslagene kan imidlertid bli betydelige, dersom variasjonen er stor. Vi kan vise det ved hjelp av noen enkle regneeksempler. (Et litt større eksempel vises i avsnittet om prosentregning på regneark.)

Vi kan nøye oss med å se på en toårig periode. Dersom rentene er på henholdsvis 5 % og 7 %, vil vi få

Dette avviker jo lite fra den 6-prosenten vi ville anslå ved å ta et ”normalt” gjennomsnitt. Men dersom renten det andre året øker til 25 %, ville vi fått 14,564 %, noe som jo er en del mindre enn de ”normale” 15 %, og hvis vi øker til 75 %, vil vi få 35,554 %. Her ville det ”normale” gjennomsnittet bli 40 %, så nå er avviket blitt ganske stort. Nå er selvfølgelig slike renter som i de to siste eksemplene urealistiske, men regnemetodene over kan brukes på prosentvise variasjoner av alle slag, for eksempel variasjon av aksjeverdier.

Tankemåten som er brukt innledningsvis gjelder selvfølgelig like godt om det er snakk om prosentvise reduksjoner. Vi må bare regne med istedenfor . La oss bytte ut kapital, K, med en mer generell A. Formlene for å finne verdien etter n år blir da slik:

og

Den gjennomsnittlige reduksjonen blir slik:

Dersom vi vet hva en verdi har endret seg til gjennom et visst antall år, og vil finne gjennomsnittlig endring, er det litt verre. Dersom vi skal få dette nøyaktig, må vi bruke logaritmeregning. La oss si at den ukjente gjennomsnittlige veksten = x %. Da får vi følgende:

 

Alternativet er å prøve seg fram inntil det stemmer. Det lar seg jo gjøre dersom man bruker elektroniske hjelpemidler.

Å finne netto når brutto og endring er kjent

La oss ta tilfellet med merverdiavgift som eksempel her også. Du kjenner utsalgspris og vil finne pris uten merverdi. La oss si at utsalgsprisen = p kr. La oss denne gangen regne videre uten å spesifisere størrelsen på merverdiavgiften. Vi setter den lik m %. Nettopris kan vi sette lik a kr. Vi har da:

Vi kommer ut med en ganske enkel formel. Dersom merverdiavgiften er 25 %, deler vi bare utsalgsprisen med 1,25. Dette er helt naturlig, for utsalgsprisen må jo være 125 % av prisen uten merverdiavgift.

Prosentpoeng

I mediene finner vi ofte oppsett av den typen vi ser på figuren til høyre. Denne er sakset fra Aftenposten. Det er mulig at de fleste av oss synes slike grafer er enkle å lese og forstå, men noen kan sikkert ha problemer. I hvert fall kunne enkelte få problemer hvis de skulle lage grafen selv ut fra grunnlagsmaterialet.

Vi må anta at de øverste tallene, de med plusser og minuser foran, viser endringer fra måneden før, selv om dette ikke står spesifisert i dette tilfellet. Men dette er ikke prosentvise endringer slik som omtalt over. Her er det forskjellen i andel av alle stemmer totalt som gjelder. Vi ser at Arbeiderpartiet har gått tilbake 2,1 prosentpoeng, som det gjerne kalles. Måneden før var forventningen at de ville fått 29,4 % av stemmene hvis det hadde vært valg, denne måneden er forventningen nede på 27,3 %.

Det er praktisk og informativt å bruke denne formen for beregning, for vi kan da hele tiden vite hvor stor partienes andel utgjør av alle stemmene. Dersom vi skulle regnet som i underkapittelet over, kunne regnestykket for Ap blitt gjort slik:

Tilbakegang fra forrige måned: , altså langt mer enn endringen i prosentpoeng.

Hvis vi gjør en tilsvarende beregning for et av småpartiene, for eksempel SV, ville vi fått:

Tilbakegang fra forrige måned for SV: .

Dette forteller jo lite om SVs faktiske stilling blant de spurte, selv om det sier en god del om tilbakegang blant egne velgere. Bruk av prosentpoeng, altså sammenligninger mellom andel av 100 %, sier langt mer, og er derfor i vanlig bruk i mange sammenhenger.

Prosentvise forskjeller

Å beregne prosentvise forskjeller eller endringer er noe annet enn å beregne det samme i absolutte tall. Forskjellen mellom 1 og 3 er 2. 3 er 2 mer enn 1, og 1 er 2 mindre enn 3 – enkelt og greit. Så greit er det imidlertid ikke når man skal angi forskjellene i prosent, for man må regne prosenten av det tallet som er utgangspunktet for sammenligningen, og det er ulikt i de to tilfellene. Forskjellen er den samme, men de tallene du skal regne prosenten av er ulike, og derfor blir de prosentvise forskjellene ulike, alt ettersom du spør ”mer enn” eller ”mindre enn”.

Forskjellen mellom 1 og 3 = 3 – 1 = 2

Hvor mange prosent mer enn 1 er 3? Det er:

3 er 200 prosent mer enn 1. 

Men hvor mange prosent mindre enn 3 er 1? Det er

1 er bare mindre enn 3, mens 3 er 200 % mer enn 1.

Mange skolelever (og journalister!) har problemer med å få tak i slike sammenhenger. Dette skyldes nok at sammenhengene blir så mye annerledes enn for de absolutte verdiene, og derfor ikke så intuitive. La oss derfor se litt nærmere på noen av sammenhengene.

            Jeg tror at et grunnleggende problem når det gjelder å se de prosentvise sammenhengene mellom verdiene av to tall, er av språklig art. En vanlig feil er å blande sammen uttrykkene ”hvor mye mer enn” og ”hvor mange ganger mer”. Med våre tall: 3 er 2 mer enn 1, men 3 er 3 ganger så mye som 1. Oversatt til prosenter blir det slik:

3 er 200 % mer enn 1 (se over), men 3 utgjør 300 % av 1.

Nå kan vi se en enkel sammenheng:

            3 er 2 mer enn 1, dvs. at 1 + 2 = 3

            3 er 3 ganger mer enn 1

            1 =100 % av seg selv og 3 er 200 % mer enn 1, dvs. at

100 % av 1 + 200 % av 1 = 300 % av 1

            3 er 300 % av 1

Eller sagt med ord: tre er to hundre prosent mer enn én, dvs. at tre er tre hundre prosent av én.

Noen eksempler

I media kan vi ofte se oppslag av typen ”Store prisforskjeller – opptil 50 % forskjell i prisene på en og samme vaskemaskin”. Slike oppslag sier mindre enn de burde. Er den dyreste maskinen 50 % dyrere enn den billigste, eller er det motsatt? Sannsynligvis er det den første varianten som menes, men det burde vært presisert. Forskjellen mellom de to variantene er jo betydelige. Dersom den billigste maskinen koster 3000 kr og den dyreste er 50 % dyrere, vil den koste 4500 kr. Men dersom prisen på den dyreste fortsatt er 4500 kr, mens den billigste er 50 % billigere, vil den jo koste bare 2250 kr, mot 3000 i det første tilfellet. Prosentbegrepet brukes i det hele tatt svært mye i mediene, men de burde være langt mer presise enn de er når de bruker prosenter i det offentlige rom.

1)    På en fotballarena er det en kampdag 10 000 tilskuere. Under neste kamp øker tilskuertallet med 40 %, for så å reduseres til 10 000 igjen på den tredje kampen. Hvor mange prosent sank tilskuertallet fra kamp to til kamp tre?

2)    Når du kjøper en vare i butikken betaler du 25 % merverdiavgift, dvs. at butikken legger på 25 % på en nettopris. Hvor mange prosent utgjør merverdiavgiften av den prisen du må betale?

Dette er slike problemstillinger vi vet skoleelever sliter med å løse. Det er jo fristende å tro at den prosentvise endringen er like stor begge veier, men det stemmer jo ikke, for prosenttallet må beregnes av to ulike tall. La oss nok en gang gå detaljert til verks, for så å finne en snarvei.

Antall tilskuere første kampdag:        10 000

Økning: =                            4 000

Antall tilskuere andre dag:                 14 000

Prosentvis nedgang fra andre til tredje kamp:

Tilsvarende kan vi gjøre med problemet med merverdiavgift, men nå har vi ikke noe tall å gå ut fra, så vi må enten lage oss et konkret eksempel, eller vi må gjøre det generelt. Det generelle tilfellet kan gjøres slik:

Nettoprisen settes lik a kr. Merverdiavgiften blir da kr og den prisen vi betaler blir

Nå kan vi finne hvor mange prosent merverdiavgiften utgjør av utsalgsprisen:

I etterkant kan vi analysere den siste oppstillingen litt nærmere. I telleren har vi merverdiavgiften, som er på 25 %. I nevneren har vi utsalgsprisen, som er 125 % av nettoprisen. Vi har følgende:

Merverdiavgift i prosent av utsalgspris =  

Kan vi generalisere dette? Det må bli noe slik:

Når en størrelse først økes med en viss mengde for så å reduseres like mye, kan siste endringen regnet som prosent av den økte mengden beregnes slik:

Om vi regner størrelsene i prosent eller i absolutte tall, spiller ingen rolle. Heller ikke om vi skriver prosenttallene på vanlig måte eller som desimaltall (eller brøk, for den del). Vi ser at oppsettet stemmer overens med oppsettet vi kom fram til med fotballkampene.

3)    For en del år siden ble det bestemt at alle skoler i landet skulle få 30 % rabatt på alle skolebøker. En skolesjef skrev til rektorene i sin kommune at de måtte skynde seg å kjøpe, for nå kunne de få 30 % flere bøker for pengene sine.

Stemmer dette? Nei, det gjør det jo ikke! La oss bruke tankesettet over, bare bytte ut økning med reduksjon. Utsalgsprisen på bøkene er nå bare 70 % av opprinnelig pris, og vi kan regne slik:

Prisreduksjon i prosent av ny pris:

Rektorene kunne følgelig få 42,9 %  flere bøker for pengene sine.

For ordens skyld tar jeg med en noe mer detaljert framstilling:

Rektorene har a kr å handle for, og vi forutsetter at de bruker alle disse pengene. La oss si at ordinær pris per bok i gjennomsnitt er b kr. De kan da kjøpe bøker. Med rabatt er prisen redusert til 0,7b kr per bok. Antall bøker skolen kan kjøpe er da .

Økningen i antall bøker som kan kjøpes =

.

Til slutt gjenstår å finne hvor mange prosent dette utgjør av den opprinnelige mengden.

Det ser slik ut: , akkurat som over.

Dette resonnementet kan virke innviklet, men resultatet viser at vi kan ta en snarvei og regne direkte på prisforskjellene uten å gjøre noe feil.

En forutsetning for hele problematikken er at vi kjøper like bøker, dvs. bøker til samme enhetspris. Dersom det er snakk om ulike bøker til varierende priser, bør vi heller si at vi kan kjøpe bøker som er verdt 42,9 % mer enn vi kunne kjøpt uten rabatt.

            Alt i alt kan vi konkludere med at det generelle oppsettet over kan utvides og skrives slik:

Endring i prosent av ny verdi =