Prosentvise forskjeller

Å beregne prosentvise forskjeller eller endringer er noe annet enn å beregne det samme i absolutte tall. Forskjellen mellom 1 og 3 er 2. 3 er 2 mer enn 1, og 1 er 2 mindre enn 3 – enkelt og greit. Så greit er det imidlertid ikke når man skal angi forskjellene i prosent, for man må regne prosenten av det tallet som er utgangspunktet for sammenligningen, og det er ulikt i de to tilfellene. Forskjellen er den samme, men de tallene du skal regne prosenten av er ulike, og derfor blir de prosentvise forskjellene ulike, alt ettersom du spør ”mer enn” eller ”mindre enn”.

Forskjellen mellom 1 og 3 = 3 – 1 = 2

Hvor mange prosent mer enn 1 er 3? Det er:

3 er 200 prosent mer enn 1. 

Men hvor mange prosent mindre enn 3 er 1? Det er

1 er bare mindre enn 3, mens 3 er 200 % mer enn 1.

Mange skolelever (og journalister!) har problemer med å få tak i slike sammenhenger. Dette skyldes nok at sammenhengene blir så mye annerledes enn for de absolutte verdiene, og derfor ikke så intuitive. La oss derfor se litt nærmere på noen av sammenhengene.

            Jeg tror at et grunnleggende problem når det gjelder å se de prosentvise sammenhengene mellom verdiene av to tall, er av språklig art. En vanlig feil er å blande sammen uttrykkene ”hvor mye mer enn” og ”hvor mange ganger mer”. Med våre tall: 3 er 2 mer enn 1, men 3 er 3 ganger så mye som 1. Oversatt til prosenter blir det slik:

3 er 200 % mer enn 1 (se over), men 3 utgjør 300 % av 1.

Nå kan vi se en enkel sammenheng:

            3 er 2 mer enn 1, dvs. at 1 + 2 = 3

            3 er 3 ganger mer enn 1

            1 =100 % av seg selv og 3 er 200 % mer enn 1, dvs. at

100 % av 1 + 200 % av 1 = 300 % av 1

            3 er 300 % av 1

Eller sagt med ord: tre er to hundre prosent mer enn én, dvs. at tre er tre hundre prosent av én.

Noen eksempler

I media kan vi ofte se oppslag av typen ”Store prisforskjeller – opptil 50 % forskjell i prisene på en og samme vaskemaskin”. Slike oppslag sier mindre enn de burde. Er den dyreste maskinen 50 % dyrere enn den billigste, eller er det motsatt? Sannsynligvis er det den første varianten som menes, men det burde vært presisert. Forskjellen mellom de to variantene er jo betydelige. Dersom den billigste maskinen koster 3000 kr og den dyreste er 50 % dyrere, vil den koste 4500 kr. Men dersom prisen på den dyreste fortsatt er 4500 kr, mens den billigste er 50 % billigere, vil den jo koste bare 2250 kr, mot 3000 i det første tilfellet. Prosentbegrepet brukes i det hele tatt svært mye i mediene, men de burde være langt mer presise enn de er når de bruker prosenter i det offentlige rom.

1)    På en fotballarena er det en kampdag 10 000 tilskuere. Under neste kamp øker tilskuertallet med 40 %, for så å reduseres til 10 000 igjen på den tredje kampen. Hvor mange prosent sank tilskuertallet fra kamp to til kamp tre?

2)    Når du kjøper en vare i butikken betaler du 25 % merverdiavgift, dvs. at butikken legger på 25 % på en nettopris. Hvor mange prosent utgjør merverdiavgiften av den prisen du må betale?

Dette er slike problemstillinger vi vet skoleelever sliter med å løse. Det er jo fristende å tro at den prosentvise endringen er like stor begge veier, men det stemmer jo ikke, for prosenttallet må beregnes av to ulike tall. La oss nok en gang gå detaljert til verks, for så å finne en snarvei.

Antall tilskuere første kampdag:        10 000

Økning: =                            4 000

Antall tilskuere andre dag:                 14 000

Prosentvis nedgang fra andre til tredje kamp:

Tilsvarende kan vi gjøre med problemet med merverdiavgift, men nå har vi ikke noe tall å gå ut fra, så vi må enten lage oss et konkret eksempel, eller vi må gjøre det generelt. Det generelle tilfellet kan gjøres slik:

Nettoprisen settes lik a kr. Merverdiavgiften blir da kr og den prisen vi betaler blir

Nå kan vi finne hvor mange prosent merverdiavgiften utgjør av utsalgsprisen:

I etterkant kan vi analysere den siste oppstillingen litt nærmere. I telleren har vi merverdiavgiften, som er på 25 %. I nevneren har vi utsalgsprisen, som er 125 % av nettoprisen. Vi har følgende:

Merverdiavgift i prosent av utsalgspris =  

Kan vi generalisere dette? Det må bli noe slik:

Når en størrelse først økes med en viss mengde for så å reduseres like mye, kan siste endringen regnet som prosent av den økte mengden beregnes slik:

Om vi regner størrelsene i prosent eller i absolutte tall, spiller ingen rolle. Heller ikke om vi skriver prosenttallene på vanlig måte eller som desimaltall (eller brøk, for den del). Vi ser at oppsettet stemmer overens med oppsettet vi kom fram til med fotballkampene.

3)    For en del år siden ble det bestemt at alle skoler i landet skulle få 30 % rabatt på alle skolebøker. En skolesjef skrev til rektorene i sin kommune at de måtte skynde seg å kjøpe, for nå kunne de få 30 % flere bøker for pengene sine.

Stemmer dette? Nei, det gjør det jo ikke! La oss bruke tankesettet over, bare bytte ut økning med reduksjon. Utsalgsprisen på bøkene er nå bare 70 % av opprinnelig pris, og vi kan regne slik:

Prisreduksjon i prosent av ny pris:

Rektorene kunne følgelig få 42,9 %  flere bøker for pengene sine.

For ordens skyld tar jeg med en noe mer detaljert framstilling:

Rektorene har a kr å handle for, og vi forutsetter at de bruker alle disse pengene. La oss si at ordinær pris per bok i gjennomsnitt er b kr. De kan da kjøpe bøker. Med rabatt er prisen redusert til 0,7b kr per bok. Antall bøker skolen kan kjøpe er da .

Økningen i antall bøker som kan kjøpes =

.

Til slutt gjenstår å finne hvor mange prosent dette utgjør av den opprinnelige mengden.

Det ser slik ut: , akkurat som over.

Dette resonnementet kan virke innviklet, men resultatet viser at vi kan ta en snarvei og regne direkte på prisforskjellene uten å gjøre noe feil.

En forutsetning for hele problematikken er at vi kjøper like bøker, dvs. bøker til samme enhetspris. Dersom det er snakk om ulike bøker til varierende priser, bør vi heller si at vi kan kjøpe bøker som er verdt 42,9 % mer enn vi kunne kjøpt uten rabatt.

            Alt i alt kan vi konkludere med at det generelle oppsettet over kan utvides og skrives slik:

Endring i prosent av ny verdi =