Gjentatte endringer

Et kjent tilfelle der dette brukes er rentesrente. Dersom rentefoten ikke varierer, kan man enkelt lage en formel for dette. I stedet for å lage en omstendelig matematisk utledning, kan vi nå lage oss en enkel logisk variant. Vi setter rentefoten = p %. Dersom vi har en kapital, K, og får den renten på kapitalen, vil kapitalen ha vokst med p % til . Neste år vokser denne kapitalen på samme måten, slik at etter to år har vi en kapital på . Etter et vilkårlig antall år, for eksempel n år, vil kapitalen ha vokst til 

Dette er den kjente formelen for rentesrente.

I den virkelige verden er det sjelden renten holder seg helt stabil over flere år. Vi må forvente at den varierer fra år til år. (I realiteten vil rentefoten endre seg i løpet av året, kanskje flere ganger). La oss si at rentefoten første år er lik , neste år , … og n-te år lik . Ut fra samme tankegang, vil vi nå få at

Det er bare å henge på for hvert år.

Å utføre slike beregninger i praksis er svært enkelt på regneark (se lenger ned).

Dersom man vil finne en gjennomsnittlig rente over n år, kan man bare sette de to formlene over lik hverandre og løse oppsettet som en ligning med p som ukjent:

Dette er jo en annen måte å regne gjennomsnitt på enn vi er vant til. Her kan vi ikke bare legge sammen prosentsatsene og dele på antall år. Dersom rentefoten er fast over hele perioden, ville det gitt samme resultat, men ikke med varierende rente. Forskjellen mellom den verdien du finner med korrekt beregning og den du ville finne ved å legge sammen prosentsatsene og dele på antall år, kan likevel være svært liten, dersom variasjonene er små. Utslagene kan imidlertid bli betydelige, dersom variasjonen er stor. Vi kan vise det ved hjelp av noen enkle regneeksempler. (Et litt større eksempel vises i avsnittet om prosentregning på regneark.)

Vi kan nøye oss med å se på en toårig periode. Dersom rentene er på henholdsvis 5 % og 7 %, vil vi få

Dette avviker jo lite fra den 6-prosenten vi ville anslå ved å ta et ”normalt” gjennomsnitt. Men dersom renten det andre året øker til 25 %, ville vi fått 14,564 %, noe som jo er en del mindre enn de ”normale” 15 %, og hvis vi øker til 75 %, vil vi få 35,554 %. Her ville det ”normale” gjennomsnittet bli 40 %, så nå er avviket blitt ganske stort. Nå er selvfølgelig slike renter som i de to siste eksemplene urealistiske, men regnemetodene over kan brukes på prosentvise variasjoner av alle slag, for eksempel variasjon av aksjeverdier.

Tankemåten som er brukt innledningsvis gjelder selvfølgelig like godt om det er snakk om prosentvise reduksjoner. Vi må bare regne med istedenfor . La oss bytte ut kapital, K, med en mer generell A. Formlene for å finne verdien etter n år blir da slik:

og

Den gjennomsnittlige reduksjonen blir slik:

Dersom vi vet hva en verdi har endret seg til gjennom et visst antall år, og vil finne gjennomsnittlig endring, er det litt verre. Dersom vi skal få dette nøyaktig, må vi bruke logaritmeregning. La oss si at den ukjente gjennomsnittlige veksten = x %. Da får vi følgende:

 

Alternativet er å prøve seg fram inntil det stemmer. Det lar seg jo gjøre dersom man bruker elektroniske hjelpemidler.