Analyse av en tekstoppgave

I dette kapitlet skal jeg gi en analyse av en tekstoppgave. Jeg så denne oppgaven omtalt i et jubileumsskrift til forlaget Caspar og syntes den var interessant, særlig fordi den gir mulighet til å se på mange løsningsmetoder. Dessuten gir den anledning til å si noe om løsning av tekstoppgaver[1].

Oppgaven lyder slik: Hans går med en skrittlengde på 0,75 meter. Hvor mange skritt bruker han på 5 meter?

Standard skolemetode

Undersøkelser viser at mange elever, og voksne også, har problemer med å løse denne oppgaven på den foreskrevne skolemåten, som ser omtrent slik ut:

Hans bruker: skritt ≈ 6,67 skritt = 6 hele skritt

Årsaken til at dette er så vanskelig, er at desimaltallet 0,75 skaper problemer. Det å dele med desimaltall mindre enn 1 strider mot en av våre intuitive eller primitive modeller, nemlig den at du får mindre når du deler. Multiplikasjon som gjentatt addisjon og divisjon som gjentatt subtraksjon gjør jo at det blir slik så lenge vi opererer med hele tall. det går også bra så lenge vi har desimaltall større enn 1, men så snart vi ganger eller deler med desimaltall som ligger mellom 0 og 1, blir det motsatt. Vi får mindre når vi ganger og mer når vi deler. Skal vi forstå det, må vi ty til målingsdivisjon, 5 meter deles opp i biter som er 0,75 meter lange. Hvor mange biter er det plass til?

Det er mange som ikke klarer å sette opp oppstillingen over, men det betyr ikke at alle disse ikke klarer å løse oppgaven, de bare tyr til andre måter å tenke på.  La oss se på noen muligheter, og også på noen muligheter for å få støtte til å forstå oppstillingen over bedre.

Tellestrategier

For de yngre elevene, og for mange usikre eldre elever eller voksne, kan det føles mest naturlig å telle seg fram. Man kan for eksempel telle 0,75 – 1,5 – 2,25 – 3 – 3,75 – 4,5. Da har man tatt 6 skritt og har igjen en halv meter å gå, dvs. 2/3 skritt. Er man litt smart, kan det i dette tilfellet være lurt å telle to og to skritt, dvs. 1,5 – 3 – 4,5.

Andre kan kanskje finne på å telle nedover. Hvis vi teller to og to skritt, vil vi få 5 – 3,5 – 2 – 0,5. Hans har gått 6 skritt og har 0,5 meter igjen å gå.

Veien om én

En student gjorde det slik:

På 1 meter går du skritt.
På 5 meter går du da: skritt = skritt = skritt (eller 6,67 skritt)

Studenten hadde vondt for å forklare hvordan hun fant ut at det var skritt for hver meter.

Ved hjelp av litt kommunikasjon mellom oss to, fant hun fram til at for å komme fra 0,75 m til 1 m, måtte hun legge til 0,25 m, som er lik av 0,75 m. Følgelig er 1 m lik ganger 0,75 m.

Denne tankegangen virker umiddelbart å være mye mer innfløkt enn det som er omtalt over. Like fullt føles det mer naturlig for mange, noe som viser hvor dypt de omtalte intuitive strukturene sitter.

Bruk av brøk

Personlig har jeg en tilbøyelighet til å ville løse oppgaven slik:

Hans bruker:

Grunnen til dette er at 5 : 0,75 ikke går opp, og da føles det bedre å bruke brøk, som gir et nøyaktig svar.

Sammenhenger mellom oppsettene over

Et interessant poeng, som bør brukes bevisst av lærere i en konkret undervisningssituasjon, er at de to siste metodene fører til nøyaktig samme utregning, , bortsett fra at faktorene har byttet plass, noe som jo er helt i orden ut fra den kommutative lov for multiplikasjon. Det er nettopp det å få se slike sammenhenger som gir elevene dypere innsikt i matematikken. Og det finnes flere muligheter til å se sammenhenger, for eksempel ved å bruke dimensjonsanalyse.

Proporsjonalitetstenkning, reguladetri og lignende oppsett

I en artikkel i Caspar Forlags jubileumsskrift Stifinneren, gir Kjartan Tvete en bred analyse av hvordan man kan bygge opp en løsningsstrategi bygget på proporsjonalitetstenkning. Dette kan i prinsippet gjøres på mange måter. Tvete bruker følgende oppsett:

Her blir tallet ≈ 6,67, dvs. 5 m : 0,75 m en ubenevnt proporsjonalitetsfaktor.

Legg merke til at dette oppsettet like gjerne kan brukes om vi for eksempel får vite at vi går 1,5 meter på 2 skritt.

Nå blir proporsjonalitetsfaktoren = 5 m : 1,5 m =  ≈ 3,33

Legg for øvrig merke til at her kan vi fort få en liten unøyaktighet, dersom vi bruker desimaltall.

En del mennesker synes at det er naturlig å tenke i proporsjonalitet, slik som her. Vi vet likevel at mange elever i grunnskolen har problemer med nettopp dette.

Slike proporsjoner kan forøvrig framstilles på mange måter. Oppsettet som illustreres i figuren under ble i tidligere tider kalt reguladetri - å regulere de tre.

Metoden passer i situasjoner der det er mulig å bruke både delings- og målingsdivisjon.

En annen måte å framstille slike ting på, er følgende:

Vi ser at oppsettet kan brukes på mange typer situasjoner der man bruker sammensatte benevninger.

Dimensjonsanalyse

Jeg underslo et faktum i teksten over, da jeg tilkjennega min egen preferanse. I tillegg til å vurdere om jeg skal bruke brøk, bruker jeg mer eller mindre automatisk en liten dimensjonsanalyse for å sjekke om jeg tenker riktig. Ofte refser jeg meg selv for at jeg er så dum at jeg må gjøre dette, men trøster meg med at det faktisk er en fin kontroll av det man driver med. Vi regner da med benevninger akkurat som vi regner med bokstaver i algebraen. Kommer du ut med riktig benevning, har du sannsynligvis regnet riktig. La oss gjenta oppstillingene over, men med mer fullstendige benevninger.

Standardoppstillingen: Hans bruker:

Denne dimensjonsanalysen byr på visse utfordringer, for vi må bruke regelen for å dele med brøk og gange med inverse benevningen. Når det er gjort, forkorter vi meter mot meter og står igjen med benevningen ”skritt”, slik som vi ønsket.

Veien om én:

Her får vi det lettere, for nå ser det slik ut:

På 5 meter går du:

Den tredje varianten over, direkte brøkregning, fører til nøyaktig samme behandling av benevningene som i standardoppstillingen.

På barnetrinnet er det tvilsomt om det er hensiktsmessig å bruke dimensjonsanalyse, men egen erfaring fra ungdomstrinnet viser at de flinke elevene trives med dette.

Problemstrukturer

I min tid i grunnskolen, dvs. femtiåras folkeskole, ble vi innprentet å tenke på problemets struktur på en annen måte. Den gang regnet vi ganske sikkert mer på slike praktiske situasjoner enn man gjør i dagens skole, noe som førte til at vi hadde bedre tid å gjøre oss fortrolige med ulike praktiske situasjoner. Vi ble lært opp til å tenke i baner som for eksempel dette:

Det du betaler = pris per enhet · antall enheter (for eksempel pris per kg · antall kg vare du kjøper).

Denne strukturen holder uansett verdien av de ulike størrelsene. Ut fra dette oppsettet får du så at

Antall enheter = det du betaler : pris per enhet

og at

            Pris per enhet = det du betaler : antall enheter

Å kunne alle de tre variantene av denne strukturen er svært nyttig, men hvis du kan én av dem, er det alltids enkelt å finne de to andre, dersom du har det Piaget kalte operasjonell kunnskap om å gange og dele. Ett av hans krav for at kunnskapen kan kalles operasjonell, er at man kan reversere, dvs. at du kan snu tankegangen. Det er nettopp det man gjør når man snur og vender på oppsettet over, sammen med kunnskap om at multiplikasjon og divisjon er motsatte regningsarter.

I vår oppgave er det ikke pris som gjelder, men en størrelse som heter lengde. For å fange opp dette, kan vi generalisere oppsett til noe slik som dette.

Samlet mengde = mengde per enhet · antall enheter

Antall enheter = samlet mengde : mengde per enhet

Mengde per enhet = samlet mengde : antall enheter.

I vår tilfelle kan dette oversettes til

(Samlet lengde = skritt per enhet · antall skritt)

Antall skritt = samlet lengde : lengde per skritt

(Lengde per skritt = samlet lengde : antall skritt.)

Jeg mener det er nyttig å jobbe med slike strukturer, og å anvende dem i et bredt utvalg av tilfelle, og med tallstørrelser i alle varianter. Kombinerer man dette vurdering av om resultatene er rimelige, og eventuelt med dimensjonsanalyse, er man i ferd med å bygge opp en god forståelse av praktiske problemer. Legg for øvrig merke til at de tå jobbe med slike strukturer har stor overføringsverdi til mange sammenhenger innen grunnleggende fysikk, slik som tid, fart, vei og masse, volum og tetthet.

Et sentralt punkt er at elever gjennom skoletida bør få se og være med å diskutere flest mulige aspekter ved slike typer oppgaver som er omtalt over. Dette prinsippet gjelder for øvrig all slags matematikk. Det ideelle er at elevene selv får lov til å foreslå sine egne metoder, og at læreren spinner videre på dette og etter hvert kan vise fram flest mulig løsninger, og like viktig, vise sammenhenger mellom løsningene.

---

[1] Teksten under er publisert i Tangenten, høsten 2007.