BARNS TALLKUNNSKAPER VED SKOLESTART - 1

Det diskuteres ofte om mennesket er et produkt hovedsakelig av kultur eller av arv. Er alle våre kunnskaper, ferdigheter og personlige egenskaper et resultat utelukkende av oppdragelse og kulturpåvirkning? Mange har ment at det er slik, men sannheten er nok at det alltid er begge deler. Spørsmålet er relevant i forbindelse med matematikkfaget, for det er bestemmende for hvilke kunnskaper man kan forvente at barna har med seg inn i førskole og barneskole. Som vi har sett, finnes det etter all sannsynlighet visse medfødte ferdigheter, men mye er også kulturavhengig. Det siste betyr at man må forvente at barn fra ulike miljøer kan få ulike mengder med matematiske stimulanser hjemme eller i sitt nærmiljø. Derfor er det farlig å tro at alle barn har de samme kunnskapene, selv om vi vet en del om hva flertallet av barn i vårt samfunn kan mestre. De funn som er omtalt i teksten under, stammer for en stor del fra England. Etter min vurdering vil det imidlertid være liten forskjell på disse og tilsvarende forhold i Norge.

Barns forhold til telling

De funn som er gjort når det gjelder barns evne til å telle, er tilsynelatende motstridende og vanskelige å forstå. Disse tilsynelatende motsetningene har ført til at psykologene har måttet revidere sin oppfatning av hvilken måte barn tenker på når det gjelder mengder og bruk av tall. Før har man hatt en tilbøyelighet til mer eller mindre automatisk å forestille seg at barn er en slags umodne mennesker som etter hvert lærer seg den voksnes måte å tenke på. Nå er man blitt mer oppmerksom på at barn tenker kvalitativt annerledes. For oss voksne er det som oftest slik at tall er noe vi teller med, og størrelsen av en mengde angir vi ved å telle antall elementer, eller ved å måle bestemte egenskaper ved dem, slik som vekt eller volum. Barn synes heller å tenke mer kvalitativt, mer slik som aboriginerne i Australia. Dette kan være en av forklaringene på at barn tilsynelatende ikke konserverer før de er seks til sju år gamle. Dersom de får presentert to rader med objekter og blir spurt om det er like mange objekter i begge radene, bruker de det visuelle inntrykket for å se hvor det er brukt mest plass, heller enn å telle objektene i hver rad, slik som voksne ville gjøre. Dette betyr ikke at de ikke kan telle, hvis de hadde blitt bedt om det, eller at de ikke kan konservere, det betyr bare at de oppfatter meningen med spørsmålet på en annen måte enn det voksne gjør. Som nevnt over, mener Brian Butterworth at konflikt mellom subitisering og telling kan være et viktig moment.

Barn har sjelden det forholdet til å telle som voksne har. Undersøkelser viser at de sjelden får det før de begynner på skolen[1]. Der blir det imidlertid lagt vekt på betydningen av telling på en annen måte, og barna begynner å forstå vitsen med å telle på slik. Før har de som oftest tenkt på telling mer som en ordlek enn som et redskap til å vurdere størrelsen på mengder. Derfor kommer de heller ikke på den tanken at de skal telle opp gjenstandene når de blir bedt om å vurdere hvor det er flest. Problemet har altså vært at vi voksne ikke har klart å forstå barnas måte å oppfatte våre spørsmål og vår tenkemåte på, heller enn at barna ikke klarer å konservere. Flere forsøk viser etter hvert at barn kan konservere helt ned i toårsalderen. Barn i førskolealder er ikke så ulogiske og overflatiske som vi har hatt en tilbøyelighet til å mene, de tenker bare mer kvalitativt og mindre kvantitativt enn vi har forstått. Man har funnet at barn helt ned i 3-4-årsladeren forstår ikke bare telling, men også addisjon og subtraksjon, så lenge man opererer med små tall, dvs. ikke mer enn 4[2]. Slike funn er helt i tråd med funn om vår medfødte tallfølelse.

         Det kan også være andre kilder til feiloppfatninger om barns evne til å kunne telle. Mindre barn kan ha problemer med å holde styr på hva de har telt med og hva de ikke har telt med, hvis de skal telle objekter som ligger spredt eller i en sirkel. De husker ikke alltid hvor de har begynt og hvor de skal slutte. Vi voksne kan vel også ha problemer med slikt av og til.

Barns talloppfatning

Selv om vi har en del innebygd matematikk i oss, betyr ikke det at vi ikke trenger å lære mer om tall og geometri enn det som vokser fram av seg selv. Vår hjerne er etter all sannsynlighet tilpasset det å overleve i de omgivelser som var tilstede i begynnelsen av vår arts historie[3]. Da var det nødvendig å kunne anslå visse antall raskt, for eksempel slik at man umiddelbart om en angripende flokk dyr var en overkommelig fiende eller ikke. Lignende vurderinger kan man lage seg om evnen til å gjenkjenne geometriske former[4]. Den matematikken man må beherske for å kunne føle seg hjemme i et moderne samfunn, er imidlertid en helt annen sak. Vi har allerede sett at mange dyr har visse ”matematiske” evner. Den kjente amerikanske matematikeren Keit Devlin stiller derfor spørsmålet om vår matematiske evne er noe mer grunnleggende enn språket, noe som ligger bakenfor språket[5].  Paleontologer regner med at språket først oppsto for omkring 40- 60 000 år siden, noe som vil si at mennesket som art på det tidspunktet allerede hadde eksistert omkring ett hundre tusen år. Han trekker likevel den slutningen at språkevnen og matematikkevnen er to sider av samme sak. Mer avansert matematikk enn det vi så blant jegere og samlere, oppsto likevel ikke før behovet for det var til stede, dvs. i jordbrukssamfunnene.

På grunn av at forståelse av abstrakt matematikk, her ment som matematikk utover den medfødte tall- og geometrievnen, krever at man trener hjernen til noe den ikke er spesiallaget for, vil det å lære seg matematikk aldri bli frigjort fra bevisst og systematisk trening.

Når det gjelder å utvikle tallforståelse, er det vanlige er at barn først lærer telleordene, men at de til å begynne med ikke nødvendigvis oppfatter dem som noe annet enn en remse med lyder. Av og til kan man høre små barn si ordene som én sammenhengende remse, entotrefire… Å lære tallremsa vil da i første omgang være uavhengig av forståelse for hva den brukes til, altså forståelse for tall og deres verdi. En viss forståelse for når det er relevant å telle kommer nok tidlig, men som sagt over, oppfatningen av talls nytteverdi er begrenset. Snart begynner barnet å koordinere det å peke og å si tallordene, dvs. å telle. De begynner da å se sammenhengen mellom telling og antall, det som kalles kardinaliteten til tallene. Hvis de får spørsmål om ”hvor mange?” begynner de å telle.

---

[1] Munn i Thompson 1997: 9 - 19

[2] Aubrey i Thompson 1997: 20 - 25

[3] Vår art, Homo sapiens sapiens, oppsto etter all sannsynlighet i Afrika for omkring 150 000 år siden.

[4] Disse egenskapene har vi også til felles med mange dyr. Vi er slett ikke enestående på dette området. Vi er imidlertid alene om å kunne utvikle mer avansert matematikk. Sjimpanser kan nok trenes opp til å telle til ti og til å forstå enkle brøker, men det tar mange år, og de kan aldri komme lengre.

[5] Devlin 2000: 115 – 126, 184 – 186, 252. Devlin skriver i denne boken utførlig om utvikling av språket og om hva matematisk evne består i. Det vil føre for langt å gå inn på dette i full bredde her, selv om det er meget interessante tanker har gir til gode.

Medfødte geometriske evner

Vi har altså en del medfødte evner til å behandle tall. Det er forsket langt mindre på våre geometriske evner, men det er god grunn til å tro at de evnene er langt mer utviklet enn de aritmetiske[1]. Evnen til å gjenkjenne ting rundt seg har vært av avgjørende betydning for å overleve i en farlig verden. Dyr og mennesker har derfor ganske sikkert en innebygd sans for figurer og former. Det er ikke vanskelig å finne bevis for dette. Tenk bare på vår fabelaktive evne til å kjenne igjen gjenstander selv om gjenstanden presenteres for oss i ulke stillinger og vinkler i forhold til synslinja. Det er for eksempel ingen problemer å kjenne igjen kofferten på bildet under selv om den vris rundt i ulike retninger. Slik er det med de fleste ting rundt oss. Vi kjenner igjen lampa på veggen selv om vi ser den fra ulike steder rundt i rommet, og vi vet at tallerkenen på bordet foran oss er sirkelrund, selv om vi egentlig ser den som en ellipse i de fleste tilfelle. At dette ikke er opplagt, oppdager man lett dersom man forsøker å tegne bordet med tallerkenen på. Hjernen vår har en fabelaktig evne til å oppfatte ting på en måte som virker helt naturlig for oss, men som er meget vanskelig dersom man skulle forsøke å imitere den, for eksempel ved å lage et dataprogram som kunne få en datamaskin koblet til et kamera til å gjøre det samme.

Et annet velkjent eksempel på dette er hva som skjer hvis man får skjeve hornhinner. Da blir bildet på netthinna skjevt, men vi fortsetter likevel å oppfatte former, vinkler og avstander slik vi har gjort før. Først når vi får briller som korrigerer bildet på netthinna, merker vi denne effekten, for da fortsetter hjernen å korrigere bildet, inntil vi har vent oss til de nye brillene. Da kan vi se urunde tallerkener og parallelle linjer som spriker. Etter hvert venner vi oss imidlertid til brillene, og verden blir normal igjen etter en tid.

         Et annet eksempel er alle de flotte geometriske mønstrene som har blitt og blir brukt i kunst og i tekstiler og klær rundt omkring i verden, ikke minst i kulturer uten teoretisk skole. Vi kan også se det samme i ting som barn lager. I figur 6 ser vi en såkalt perling som ei jente på 4 ½ år laget i barnehagen. Det er opplagt at en viss sans for mønster og bruk av farger må være medfødt for at en unge i den alderen skal lage noe slikt. I Afrika har folk har laget flotte geometriske mønstre av ulike slag, selv om de folkeslagene som har laget dem ikke har hatt utviklet noen formell matematisk geometri[2]. Likevel er det mye vi må lære for å kunne mestre de begrepene som brukes i konstruksjon, kunst og arkitektur, og som først ble formalisert av de gamle grekerne med Euklid i spissen. I LK07 står det under målene for 2. årstrinn at elevene skal kunne gjenkjenne og beskrive trekk ved enkle to- og tredimensjonale figurer knyttet til hjørner, kanter og flater, og sortere og navngi figurene etter disse trekkene. Etter 4. årstrinn skal de blant annet kunne gjenkjenne og beskrive trekk ved sirkler, mangekanter, kuler, sylindere og enkle polyedre.       

Et nederlandsk søskenpar ved navn van Hiele har utviklet en teori for hvordan evnen til å forstå geometriske figurer utvikler seg (se Appendiks 1). Denne teorien omhandler vår forståelse av abstrahert, formell geometri, slik som den euklidske geometrien, og omhandler derfor i hovedsak andre forhold enn de som er omtalt over. Det er imidlertid forsket langt mindre på undervisning og læring i geometri enn i aritmetikk. Jeg skal derfor i det følgende konsentrere meg om aritmetikken.

---

[1] Pinker 1997: 268 - 279

[2] Katz 1993: 309 - 310

Tall og tallsystemer

På overflaten kan det se ut som om de ikke-skriftlige kulturene har hatt svært lavt utviklet matematikk. Sammenlignet med den avanserte matematikken som er utviklet i skriftspråkkulturene, særlig i de siste århundrene, er dette selvsagt riktig, men om man sammenligner med det den vanlige borger behersker av matematikk, er dette langt fra riktig. Riktignok er tallsystemene hos de ikke-skriftlige kulturene ofte svært enkle sammenlignet med vårt, men dette forteller ikke hele historien. La oss ta en liten titt på noen av de enkleste tallsystemene vi kjenner. Et godt eksempel kan være aboriginerne i Australia. Her er en liten oversikt over deres tallsystemer.


På tross av disse primitive tallsystemene vet vi at aboriginerne på langt nær er så hjelpeløse i bruk av praktisk matematikk som man kunne tro ved bare å se en slik oversikt. Dame Mary Gilford vokste opp i Australia med en far som hadde god kontakt med aboriginerne, noe som var svært uvanlig i første del av forrige århundre. Hun forteller at aboriginerne var svært flinke til å telle . De var blant annet meget nøyaktige og raske til å telle kveg. Øvelsen hadde de fått ved å telle stjerner, noe aboriginere flest var meget dyktige til. Barna fikk opplæring i dette fra de var små, og de var tidlig meget dyktige.

Barna brukte en slags gruppetelling, noe Gilford selv lærte som barn av en aboriginerkvinne. De omtalte mennene kunne angi nøyaktig antall kyr i en flokk på 4 – 500 på et lite øyeblikk. Under tellingen tok de i bruk hender, føtter og kroppsdeler . En annen høyt utviklet evne av matematisk natur, var deres fabelaktige evne til å orientere seg og finne fram i naturen, selv over lange avstander og tilsynelatende uten holdepunkter.

Gjennom tiden og i ulike kulturer har det eksistert et vell av ulike tallsystemer. Hos mange har man tatt i bruk et grunntall som større tall er bygd opp av. Hos oss er de store tallene bygd opp som potenser av 10, noe som har skjedd i flere kulturer, men også andre tall har vært brukt som grunntall, både 5, 12, 20 og 60 (babylonerne). I dataverdenen er 2 eller 16 brukt som grunntall. Det er dokumentert et vell av tallsystemer blant ikke-skriftlige kulturer. Et fellestrekk hos de fleste av dem er at de betegner tall over fire eller fem ved sammensetninger av de minste. Dette er etter all sannsynlighet en refleks av at vi har en medfødt evne til å oppfatte små mengder, mens større mengder fort blir uklare for oss. For tall over ti har det mange steder vært vanlig å benytte såkalt kroppstelling. Hvor langt man rakk med dette, har variert. Blant inuittene kalte man 20 for ”en mann”, mens 15 var ”første fot”. Andre steder telte man atskillig lengre.

Behovet for å angi større mengder på en mer systematisk måte oppsto først i jordbrukskulturene, og det er i disse kulturene de mer avanserte tallsystemene oppsto. Et viktig særtrekk ved dem er at man kan bygge opp store tall ved hjelp av potensering av et grunntall. I vårt hindu-arabiske tallsystem bruker vi 10 som grunntall, noe som også egypterne gjorde. Det har for øvrig eksistert et vell av tallsystemer med ulike grunntall, slik som 5 eller 20. Noen har også brukt 4 eller 8, ved at de ikke telte med tommelen når de telte på fingrene, og det eksisterer andre systemer.

Det faktum at vi har en del medfødte evner til å behandle tall, betyr ikke at vi kan redusere på innsatsen for å lære barn å regne. Det er ihvertfall tre grunnleggende årsaker til dette. Den første grunnen er at vi lever i et samfunn med stort behov for eksakte angivelser, og vårt medfødte talltalent er dessverre svært begrenset. Antall elementer i en mengde begynner å bli uklare for oss allerede ved og 5, og blir bare mer og mer uklart videre oppover. For det andre viser det seg at alle samfunn som baserer seg på produksjon av matvarer (i motsetning til samlere og jegere), har utviklet en matematisk kultur som krever omstendelig opplæring. For det tredje er vårt tallsystem et meget finurlig system som det har tatt lang tid å utvikle, slik at man ikke kan forvente at barn skal lære seg dette systemet uten grundig opplæring.



Omtrentligheter

Vår evne til å oppfatte og holde orden på større antall enn tre er dårligere enn vi kanskje i første omgang vil være villige til å innrømme. Det er imidlertid gjort mye forskning som viser hvor sterk denne effekten er . Det viser seg for eksempel at hvis vi får spørsmål om hva som er størst av tallene 8 og 9, bruker vi lengre tid på å svare enn om spørsmålet er hva som er størst av 2 og 3. Denne effekten er så sterk at den smitter over på tallordene og på symbolene 2, 3, 8 eller 9. Vi behøver ikke få forelagt oss 8 eller 9 gjenstander, det er nok å høre tallordene eller se sifrene (tallsymbolene) for at nølingen blir større for store tall enn for små tall. Det er også lettere å skille tallene når de ligger et stykke fra hverandre enn når de ligger nær hverandre. Vi ser fortere forskjellen på 8 og 5 enn på 9 og 8, selv om vi bare bruker tallsymbolene.

Vår talloppfattelse synes å være omtrent som hvis vi skal anslå hvor mye vann det er i en beholder eller en sylinder. La oss tenke oss at vi først heller en viss mengde vann i sylinderen og sier at denne mengden representerer tallet 1. Hvis vi dobler denne mengden, ser vi lett at vi har omtrent 2, og om vi heller på en tredje enhet, kan vi fortsatt anslå ganske nøyaktig hvor mange enheter vann vi har i sylinderen. Oppgaven blir imidlertid fort verre når vi fyller på mer vann. Det er fortsatt mulig å se forskjell på 4 og 5, men forskjellen mellom 20 og 21, for ikke å snakke om mellom 1000 og 1001, blir langt vanskeligere å se. Vi er da heller ikke særlig flinke til å gjøre raske overslag over større mengder.

Figur 4 illustrerer noen av disse forholdene. Så lenge prikkene ikke er plassert på en systematisk måte, er det ikke lett å se hvor det er fem eller seks prikker i de to figurene øverst til høyre. Vi ser at det er langt vanskeligere å skille mellom to og tre enn det er å skille mellom fem og seks prikker. I den midterste figuren er det like mange svarte og hvite sirkler, noe de fleste personer har problemer med å se med en gang. Dette er bare ett av mange kjente eksempler på at øyet fort bedrar oss. Hvor mange prikker er det i de to nederste figurene? Er det like mange i begge to? Det er ikke på noen måte enkelt å svare på disse spørsmålene. Svaret er for øvrig at det et 37 prikker i hver figur.

I vår samfunnsform stilles det store krav til nøyaktighet og til å holde oversikt over kvantitative forhold. Alle vil derfor ha nytte av en viss fortrolighet med tall og beregninger med tall. Utviklingen mot mer avanserte tallsystemer kom i gang med jordbruket. Alle de store jordbrukssamfunnene tok etter hvert i bruk høyt utviklede tallsystemer, og de arbeidet med geometriske størrelser. Det var samfunnsutviklingen som førte til dette, da det oppsto behov for å holde orden på eiendom, produksjon og menneskelige ressurser.



Tre tallsystemer

Vi skal ikke bruke mye plass her på å beskrive tallsystemer gjennom historien, bare se kort på noen av de mest kjente og på de sentrale forskjeller mellom dem.

Egypterne brukte i oldtida et tallsystem som er ganske likt den type systemer som barn og ungdom naturlig lager selv, når de blir bedt om det. Typiske trekk ved slike systemer er følgende:

 De starter med et enkelt symbol for 1, gjerne en strek eller en prikk. Symbolet skrives to ganger for å markere tallet 2, tre ganger for å markere tallet 3 osv.

 Slike samlinger av like symboler blir fort uoversiktlige, og man lager seg et nytt symbol for 5 eller 10. Egypterne hadde streker for 1, som de brukte til og med 9, og et nytt symbol for 10, noe som ser ut som en bøyle. Det er ulike teorier om hvor dette symbolet opprinnelig er tatt fra. En teori er at det er hoven til en vannbøffel.

 Dersom man er systematisk, er det naturlig å lage nye symboler for potenser av dette nye tegnet. Verdien av det blir da et grunntall i systemet. Egypterne laget seg følgelig nye symboler for 100, 1000 osv., oppover til 1 000 000.

 Systemet er additivt, dvs. at man bare teller opp antallet av de ulike symbolene for å finne verdien av tallet. Det spiller egentlig ingen rolle hvilken rekkefølge symbolene står i. Man kan godt tenke seg at man lager fysiske symboler, slik som for eksempel en liten kloss for 1, en stav for 10 osv. Disse kan man godt riste sammen og kaste på bordet eller golvet. Uansett hvordan de faller ned, kan man telle opp hvor mange det er av hver type, og man har straks verdien av alle til sammen.

 Det er enkelt å addere og subtrahere med disse tallene, men vanskelig å multiplisere og dividere .

 Systemene har ikke noe symbol for null. Det er jo unødvendig.


I Kina kan vi finne røtter til både det posisjonssystemet vi bruker i dag og skriftlige varianter av vårt muntlige system. Det siste kalles et multiplikativt system, fordi vi sier hvilken dekadisk enhet hvert siffer er knyttet til eller multiplisert med. Vi sier for eksempel ”fire tusen to hundre og femti åtte”, som på utviklet form kan skrives som 4 • 1000 + 2 • 100 + 5 • 10 + 8 = 4•103 + 2•102 + 5•10 + 8. Dersom ikke den gamle størrelsen ”myriade” hadde forsvunnet, kunne vi uttalt tallet 18 200 som en myriad åtte tusen to hundre. I det japanske språket brukes fortsatt betegnelsen ”mann” for ti tusen, mens en million heter ”hundre menn”.

Det kinesiske posisjonssystemet har meget gamle røtter. Kineserne brukte trepinner som de la ut kolonner ved siden av hverandre. Bakerste kolonne, den lengst til høyre, representerte enere, kolonnen foran tiere og så videre. For enkelt å kunne skille kolonnene eller posisjonene fra hverandre la de gjerne pinnene annenhver gang loddrett og vannrett. Vi ser ellers av fig. 6 at systemet også inneholder en variant av et femtallsystem, da pinner på tvers av de andre pinnene betyr 5. Denne måten å framstille tall på finner man for øvrig igjen i de asiatiske formene av abakusen (kuleramma). Abakusen er egentlig en videreføring av pinnesystemet.

Det multiplikative systemet finner vi i de tradisjonelle kinesiske skrifttegnene. I dag har kineserne i hovedsak gått over til å bruke de samme talltegnene som oss i den vestlige verden, men også de tradisjonelle er fortsatt i bruk, omtrent slik vi bruker tallord. Strukturen ser ut som i tabellen under.


Inderne videreutviklet posisjonssystemet og innførte null som et selvstendig begrep. Det var imidlertid flere andre som tok i bruk null som plassholder, dvs. for å vise at en posisjon i systemet var tom. Både babylonerne og mayaene gjorde det. Begge disse tok nemlig også i bruk posisjonssystemer, men ikke med ti som grunntall. Babylonerne brukte seksti som grunntall, mayaene tjue (men av en eller annen grunn atten i 2. posisjon). Våre tall kommer fra India via araberne. Derfor kalles vårt tallsystem og sifre for hindu-arabiske tall. I virkeligheten er våre sifre tatt fra den vest-arabiske, mauriske kulturen i Spania. Araberne selv har lenge brukt såkalte øst-arabiske sifre, som ser annerledes ut enn våre.

Det genetiske prinsipp

Hovedpoenget med den ovenstående utredningen er å vise at det historisk sett ligger en lang prosess bak utviklingen av det tallsystemet vi bruker til daglig. Det finnes en teori som går ut på at det er naturlig for barn å lære ting i samme rekkefølge som den historiske utviklingen. Teorien er omdiskutert, men det er mye som tyder på at den inneholder en viss sannhet, om ikke nødvendigvis den hele og fulle sannhet. Anvendt på tall vil det bety at det naturlige for barn ville være å starte med additive tallsystemer, for så senere å gå over til et posisjonssystem, slik som vårt system er. Vi ser da også at omtrent alle som blir bedt om å finne på et tallsystem selv, lager additive systemer. Jeg har forsøkt å få folk til å lage egne tallsymboler mange ganger, både i ungdomsskolen og i lærerutdanningen, og har aldri opplevd noe annet enn at de har foreslått additive systemer. Det som ellers er et faktum, er at vårt muntlige språk er et multiplikativt system, mens det skriftlige er et rent posisjonssystem. Denne forskjellen skaper problemer for en del barn, noe man må være oppmerksom på i opplæringen. En annen ting er at strukturene i det muntlige systemet er den strukturen vi som oftest benytter oss av når vi regner i hodet, og det er den strukturen som også har størst overføringsverdi til algebra. Dette er en av grunnene til at det er klokt å legge stor vekt på hoderegning i grunnopplæringa.

Trening i å få kunnskap om tallene begynner tidlig. Noe kommer av seg selv – det ligger på en måte i kulturen – men mye må læres inn på en systematisk måte.

Medfødte evner

Blant såkalte empirikere har det vært vanlig å tro at evnen til å telle oppsto fra manipulasjon av gjenstander. Filosofen Philip Kitcher så for seg et barn som sitter på golvet og leker med klosser . Noen klosser legges sammen og undersøkes, for så å legges sammen med en tidligere gruppe på for eksempel tre klosser. Ut fra slike erfaringer mente Kitcher at barnet danner seg innsikt i matematiske begreper som mengde, antall og addisjon. Slike aktiviteter er da en forutsetning for at barnet kan tilegne seg de grunnleggende matematiske begrepene.


Jean Piaget mente videre at konstruksjonen av antallsbegrepet går hånd i hånd med utviklingen av logisk evne, og at en pre-numerisk fase er en del av et pre-logisk stadium. Han trodde at talloppfattelsen oppstår gradvis og som en konsekvens av en gradvis utvikling av et hierarki av logiske klasser .

I dag vet forskerne at disse synspunktene er feil, i hvert fall når det gjelder det mest elementære stadiet. Det er tvert imot slik at evnen til å oppfatte små antall er medfødt. Når det gjelder større antall, er det naturlig for oss å gjøre grove overslag. Ofte kan dette for øvrig være vanskelig, da plassering og form av mengder kan forvirre eller lure oss.

At evnen til å holde oversikt over små antall er medfødt, bør ikke overraske oss. Vi vet at dyr også kan telle, det vil si telle i den forstand at de kan skille mellom ulike antall, så lenge det antallet er tilstrekkelig lavt . Det er kjent at fugler har en viss oversikt over eggene i reiret, og at denne evnen synes å være sterkere enn evnen til å skille mellom ekte egg og andre gjenstander som måtte legges i reiret. Ei kråke skal visstnok ha klart å holde styr på antall helt opp til 6. En person hadde bestemt seg for å skyte kråka, som hadde lagt reir på toppen av et tårn som sto på mannens eiendom. Men så snart mannen nærmet seg, fløy kråka av gårde. Han fikk hjelp av en nabo. De gikk begge inn i tårnet, og etter en stund gikk den ene ut igjen. Men kråka lot seg ikke lure, den fløy ikke tilbake til reiret før begge mennene hadde forlatt tårnet. De fylte så på med flere personer. Kråka lot seg ikke lure før antall personer kom opp i seks.

Undersøkelser har også vist at løver kan estimere antall dyr i konkurrerende flokker selv om de ikke ser dem, ved å lytte til lydene fra dem, og høyere primater som sjimpanser ser faktisk ut til å kunne lære å bruke enkle symboler for tall.



Subitisering

Etter hvert har det blitt gjennomført en mengde eksperimenter som viser at barn i alderen under seks måneder kan skille mellom antall opp til og med tre. De har også en medfødt evne til å forstå addisjon og subtraksjon innen denne tallmengden.

Naturlig nok har det vært mange som har vansker med uten videre å akseptere disse funnene. Jeg skal derfor gjengi tre av de undersøkelsene som er blitt gjennomført og håper at leseren lar seg overbevise av disse. Beskrivelsen av forsøkene er hentet fra Stanislas Dehaenes bok The Number Sense.

Det første forsøket ble gjort ved universitetet i Pennsylvania i 1980 og viste at 16 – 30 uker gamle barn skilte mellom 2 og 3. I alt 72 barn ble testet. Under forsøkene satt de på fanget til sine mødre mens de ble vist bilder på en skjerm (figur 2). Barnas øyne ble filmet med et videokamera, slik at man senere kunne måle nøyaktig hvor lang tid barna så på bildene på skjermen. Når barnas blikk beveget seg vekk fra skjermen ble bildet byttet ut med en nytt. Til å begynne med var innholdet av bildene hele tiden to store svarte flekker, men avstanden mellom dem varierte. Etter hvert som tiden gikk, brukte barna mindre og mindre tid på å betrakte bildet. Så ble bildet plutselig endret, slik at det viste tre flekker i stedet for to. Barna brukte da umiddelbart lengre tid til å betrakte bildet igjen. Fikseringstiden økte fra i gjennomsnitt 1,9 sekunder til 2,5 sekunder. Dette viste at barna reagerte på endringer i antall flekker.

Andre barn ble vist det samme, men i motsatt rekkefølge, altså først tre flekker som senere ble byttet ut med to. Resultatet var det samme som over. Senere målte man tilsvarende resultater med barn som var bare to til tre dager gamle.

I et annet forsøk (se nederste del av figur 2) ble flekkene byttet ut med bilder av ulike gjenstander. Det viste seg at barna reagerte kun på antall gjenstander, ikke på typen gjenstand. Man kunne bytte figurer i bildene uten at barna reagerte, mens de reagerte på endringer i antallet.

Lignende forsøk er også gjort med lyder. Barna fikk høre tre lyder gjentatte ganger. Etter en stund ble antall lyder redusert til to, og nok en gang kunne man registrere en tydelig reaksjon hos barna. Man har også laget eksperimenter der synsinntrykk og lydinntrykk kombineres. Det ble nå brukt to projektorer og to skjermer. På den ene skjermen viste man to objekter, på den andre tre. Samtidig fikk barna høre en serie trommeslag fra en høyttaler som var plassert mellom skjermene. Etter at barna hadde fått tid til å bli kjent med bildene, viste det seg at de festet blikket på skjermen med to bilder når det ble spilt to lyder og på skjermen med tre bilder når det ble spilt tre lyder. Det er altså ikke bare egenskaper ved det visuelle apparatet som fører til har blitt testet. Evnen til å skille mellom ulike antall synes å være medfødt.



Medfødte evner til å addere og subtrahere

Denne typen forsøk har blitt utvidet til å se om barna kan addere og subtrahere små tall, eller i hvert fall avsløre regnefeil (se figur 3 og 4). I det første forsøket så barna først en leke som satt på en scene. Leken ble så skjult med en skjerm som ble trukket opp foran leken. Så ble en ny leke skjøvet bak skjermen og deretter ble skjermen fjernet. Man kunne imidlertid manipulere resultatet slik at barna noen ganger fikk se to leker da skjermen ble fjernet, men også noen ganger da det bare var en leke der. Da reagerte barna. De hadde tydelig forventet å få se to leker.

Dette viser for øvrig også at barna forventer at ting ikke blir borte selv om de er ute av syne et øyeblikk, noe som ikke stemmer med Piagets teorier. Han mente at ”ute av syn” var ”ute av sinn” hos så små barn. Andre forsøk viser det samme, og at småbarn reagerer på flere typer uventede hendelser. Vi er tydeligvis født med en viss tallevne og med en viss forståelse av verden rundt oss.

Konkretisering

I et tidligere avsnitt fortalte jeg om en episode der jeg skulle forsøke å lære en gruppe tredjeklassinger firegangen. Gruppen bestod av fem elever. På grunn av at noen av dem var så opptatt av å teste ut meg og mine evner til å regne med store tall, fikk vi dårlig tid til å gjøre det vi egentlig skulle. Jeg hadde fått utdelt et antall flaskekorker og skulle illustrere firegangen ved hjelp av disse. Jeg oppfattet det slik at meningen med å bruke korkene måtte være å legge dem i grupper på fire og fire og telle opp antall korker etter hvert som vi beveget oss oppover i firegangen. Det var imidlertid vanskelig å få elevene, som på dette stadiet var nokså ukonsentrerte, til å interessere seg for dette, så jeg gikk raskt over til ren telling, samtidig som jeg skrev på et ark foran meg, slik at elevene kunne se det: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 … 35 36 37 38 39 40. Det gikk ikke lang tiden før et par av elevene uoppfordret lekset opp tallene 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40, mens andre prøvde seg og fikk det noenlunde til. Dessverre gikk tiden ut midt oppe i arbeidet, så jeg fikk ikke kontrollert hvor mye hver enkelt hadde fått med seg av det vi drev med, men noen hadde i hvert fall kommet langt. Minst én av elevene kunne det sannsynligvis fra før.


Hovedpoenget mitt er at bruk av konkreter i denne situasjonen heller hindret enn fremmet innlæring av firegangen. Korkene så ut til å være et forstyrrende element, mer enn et forklarende. En slik konklusjon synes å få stadig sterkere støtte i nyere forskning. For eksempel sier den engelske forskeren Alan Wigley at konkretiseringsmateriell ikke synes å være så effektivt som man har trodd når det gjelder å undervise om plassverdi . Det er en voksende forståelse av at plassverdisystemet er noe som må gi mening i seg selv og ikke via noen ytre representasjon. Tallene er i seg selv abstrakte, og tallsystemet må internaliseres. Strukturen må framstå som indre bilder eller som en symbolsk representasjon. Mye tyder på at barn lærer systemet samtidig som de bruker konkretene og legger kunnskapen på materiellet, heller enn omvendt, slik som forutsetningen skal være. Jeg vil tro at det samme skjer i mitt eksempel med korker for å illustrere firegangen. For å telle opp korkene må man ty til samme type telling som jeg illustrerte over. Samtidig skal barna holde oversikt over korkene. Min tolkning er at dette virker som en ekstra utfordring i tillegg til det å lære firegangen. Det bør også sies at Piagets krav om at kunnskap skal være internalisert for å kunne være operasjonell, sier det samme. At kunnskapen er internalisert betyr jo nettopp at den kan brukes uten bruk av konkreter.

En annen måte å betrakte forholdet mellom abstrakt tenkning og bruk av konkreter i matematikken på, er å si at elever må lære seg å bruke tallene som substantiver, ikke som adjektiver. Tall er mentale objekter, og det er en forutsetning for å regne at man bruker disse mentale objektene i regneprosessen. Dersom barn bare skal forholde seg til konkreter, er det fare for at de aldri kommer forbi det stadiet at de teller i stedet for å regne. Eller for å bruke Bruners kategorier: de kommer ikke forbi det laveste stadiet med enaktiv representasjon. Derimot ser det ut til at vi ikke klarer å løsrive oss helt fra forbindelsen mellom de abstrakte tallene og symbolene for dem. Dette er en av grunnene til at barn bør lære symbolene samtidig med at de lærer å telle og regne.

At erfaringer er et nødvendig grunnlag for kunnskap, har vært et anerkjent prinsipp i vestlig pedagogikk fra Aristoteles via Francis Bacon og til John Dewey. I matematikken er imidlertid erfaring alene ikke tilstrekkelig. Matematikk handler om å se strukturer og mønstre. Dette krever abstraksjon og generalisering, og man kan ikke forvente at skoleelever finner matematiske strukturer uten hjelp eller påvirkning. Vi kan si som Hans Freudenthal at å undervise i matematikk er å drive ledet gjenoppdagelse . I dagens samfunn har mye av den type aktiviteter som gir bakgrunnserfaring, blitt overført fra hjemmet og nærmiljøet til skolen. Fenomener som lek i skolen og uteskole er eksempler på dette. Inntil de siste tiårene av nittenhundretallet kunne skolen i større grad bygge på erfaringer elevene hadde med seg til skolen. I dag må barnehager og skoler i langt større grad selv bidra til å gi barna disse erfaringene. Det er imidlertid en fare for at man glemmer at skolen skal gjøre noe mer, nemlig å bruke denne erfaringen til å skape systematisert kunnskap. Det er ikke uten grunn at elever syntes å få gode kunnskaper også den gang man gikk på skolen annenhver dag .


Olof Magnes prototyplæring

Den svenske nestor innen matematikkdidaktikk, Olof Magne, har gitt råd om hvordan man bør forholde seg til bruk av elevenes erfaringer i undervisningen. Det er da snakk om være erfaringer man har forvisset seg om at elevene har, og de kan komme fra deres hjemmemiljø eller fra erfaringer skolen har gitt dem. Det kan være snakk om praktiske erfaringer som kan understøttes av ulike typer konkretiseringsmateriell. Han kaller metoden for prototyplæring, og det ligger da i navnet hva som menes. Man skal bruke elevenes erfaring som en prototyp for systematisert læring. Magnes beskrivelse av metoden er slik (han henvender seg til den som skal lære, derfor ”du”-benevnelsen):

1. Etablering av prototypen

 Prøv forskjellige løsninger av et praktisk problem, gjerne autentiske problemer, det vil si virkelige hverdagsproblemer.

 Anvend materiale som du tror kan passe til din løsning.

 Vis (bevis) hvorfor du tror på løsningen. Men tenk på at matematikk alltid er abstrakt, aldri konkret.

 Bruk det matematiske språket. Søk gjerne flere løsninger på problemet.


2. "Gjett"

Når du møter lignende problemer ved en senere anledning, begynner du med å gjette, det vil si forsøke å løse problemet uten annet materiale.

 Uttrykk deg ved hjelp av det matematiske språket.

 Prøv så å anvende materialet som du brukte i det tidligere problemet, for å sjekke løsningen.

 Prøv en praktisk løsning hvis du er veldig usikker.

 Problemet i punkt 1 har blitt en prototyp for påfølgende forsøk.


3. Produktiv øving. Når du tror at du kan løse denne typen problemer, kan du øve deg på egen hånd med lignende oppgaver.

 Du regner for eksempel 55 + 45 i hodet.

 Velg selv oppgaver i hoderegning slik at du får summen 100.


4. Anvend aldri konkret materiale passivt ved drilløvinger, for eksempel som hjelpemiddel i addisjon.


Disse rådene gir etter min mening i konsentrert form en balansert framstilling av hvordan erfaringer og bruk av konkreter bør brukes i matematikk-undervisningen.

En annen ting er at det svært ofte er både ønskelig og nødvendig å ty til ulike typer representasjoner, så å si til "å tenke med pennen". Det kan være snakk om tallinjer, stiliserte tegninger, tabeller eller grafer. Vi vet med oss selv at når vi skal løse et litt kinkig problem, må vi støtte oss til skisser eller figurer på papiret. Dersom vi holder oss til Bruners terminologi, kan vi si at vi forsøker å synliggjøre de ikoniske representasjonene, de indre bildene vi måtte ha. Andre didaktikere vil kalle slike figurer for halvabstrakter. Man skiller da ofte mellom konkreter, halvkonkreter, halvabstrakter og abstrakter. Konkretene er gjenstandene selv, halvkonkretene er bilder av disse, halvabstraktene en stiliserte figurer eller tegninger, mens abstraktene er det som er i hodet vårt. Spesielt når et problem er nytt for oss, er det nødvendig å bruke slike halvabstrakter. Etter hvert som vi får trening i å løse samme type problemer, kan vi i noen tilfelle løsrive oss fra denne støtten og løse problemet direkte, men ofte vil vi være avhengig av dem, uansett hvor rutinerte vi blir. Slik vil det spesielt være dersom hele problemstillingen er ukjent. Fenomenet med å ta i bruk halvabstrakter i form av egne figurer synes å være et fenomen som er felles for alle aldersgrupper. Vi kan se at barn allerede i tidligste skolealder spontant gjør dette, hvis de får anledning til løse problemer på fritt grunnlag.

Vi må skille mellom materiell som er laget for å gi erfaringer eller for å bygge opp forståelse på den ene siden og slike representasjoner eller modeller på den andre siden. Under arbeidet med å løse et problem vil det ofte være både nødvendig og nyttig å lage seg en modell. Under oppgaveløsning i skolen kan man selvfølgelig også ta utgagnspunkt i en modell eller en tegning. Dette er noe annet enn å bruke konkreter for å lære seg tallsystemet eller regnealgoritmer. Slikt konkretiseringsmateriell synes ikke å være så effektivt som man kanskje har trodd. Det er for eksempel en voksende forståelse av at plassverdisystemet er noe som må gi mening i seg selv, ikke primært via en ytre representasjon. Det kan se ut for at 10-tallsystemet legges på materiellet, like gjerne som at det trekkes ut av det.



I tråd med det som er sagt over, vil jeg gjøre meg til talsmann for å basere begynneropplæringen i matematikk på følgende prinsipper:

 Innfør store tall allerede i 1. årstrinn.

 Ta i bruk alle fire regningsarter fra begynnelsen av.

 Legg stor vekt på hoderegning.

 La regning, lesing av tallsymboler og skriving av dem samvirke og støtte hverandre.

Disse prinsippene må kombineres med mer generelle matematikkdidaktiske prinsipper. Jeg tenker da på slik som synliggjøring av sammenhenger, dialog, resonnering om mening og trening i å uttrykke hva man tenker.

Før vi ser nærmere på dette, skal jeg imidlertid si litt om hva man ikke bør legge i det ovenstående, og deretter skal vi se litt på de forkunnskapene barn flest har med seg til skolen.


På den annen side …


At man skal være forsiktig med å bruke konkretiseringsmateriell, betyr ikke at man skal operere bare på det rent abstrakte plan. Det betyr bare at man ut fra erfaringer og bruk av konkreter skal forsøke å bygge opp indre bilder og bruke dem i det videre arbeidet. Når slike bilder er på plass, faller det naturlig å bruke halvabstrakter, dvs. stiliserte figurer og til en viss grad symboler. Vi skal også huske på at bruk av fysiske modeller er en vanlig og helt nødvendig foreteelse i all teknikk og vitenskap som gjør seg nytte av matematisk modellering. I skolen kan dette gjelde areal- og volumberegninger.

I stedet for å advare mot bruk av konkreter burde vi kanskje advare mot visse typer bruk av konkreter. Bruk av konkreter eller modeller i en problemløsingsprosess er noe annet enn bruk av konkreter ved rutinearbeid. La meg ta et eksempel som kan illustrere forskjellen. I en japansk fjerdeklasse (samme alder som i Norge) fikk elevene følgende problem:

Det er i alt trettiåtte elever i Akiras klasse. Det er seks flere gutter enn jenter. Hvor mange gutter og hvor mange jenter er det i klassen?

Elevene fikk først prøve å løse problemet selv, og ulike løsningsforslag ble drøftet. Etter diskusjonen fikk hver elev to papirstrimler, den ene litt lengre enn den andre. Læreren ga beskjed om at de kunne bruke strimlene som hjelpemiddel for å løse problemet. De fikk beskjed om å legge strimlene ved siden av hverandre. Så spurte læreren hvilken strimmel som representerte guttene. Elevene svarte straks at det var den lengste, og ganske snart var det ei jente som sa at forskjellen i lengde fortalte hvor mange flere gutter enn jenter det var i klassen til Akira. Etter hvert kom løsningen fram. De klippet vekk den lengste enden, som hadde lengde seks, la sammen de to like lange strimlene, for så å dele på to. Da hadde de antall jenter i klassen. Antall gutter var selvsagt seks mer.

Legg merke til at det materialet som ble brukt, var langt på vei abstrahert, og at det ikke ga noen mulighet for bare å telle, slik man kunne gjort hvis man hadde brukt distinkte enheter for hver elev. Materialet var valgt ut med omhu for å illustrere en mer avansert løsningsmetode.



Oppsummerende merknader

Det ovenstående kan punktvis oppsummeres slik:

 Det er forskjell på konkreter. Noen er kunstige og andre er naturlige, på den måten at de finnes rundt oss i dagliglivet. Klosser, staver og mye annet laborativt materiell er i utgagnspunktet kunstig; noe som er laget for skolen. Det er overdreven bruk av denne typen konkretiseringsmidler mange forskere etter hvert er skeptiske til.

 Det som er viktig i matematikken, er at elevene kjenner seg igjen i det vi regner på. Derfor bør matematikken knyttes opp mot elevenes hverdagserfaringer; deres konkrete hverdag. Bruk av kunstige konkreter er mer tvilsomt.

 Slike konkreter brukes likevel ofte i for eksempel japansk skole, men der settes bruken inn i en sammenheng med aktiv problemløsing; altså ikke som illustrasjon for lærerstyrte forklaringer eller passive innlæringsmetoder. Spørsmålet er kanskje mer hvordan konkretene brukes, enn om de brukes.

 Det finnes grader av konkretisering. Elevene behøver ikke være ute på skoleplassen for å utføre beregninger som gjelder den samme. Det kan være nok med en tegning. Ofte er dette en stor fordel, da man ved å bruke slike halvkonkreter eller halvabstrakter kan fjerne forstyrrende elementer.

 Mye av den leken og de uteaktivitetene som foregår i skolen i dag kan gi verdifulle erfaringer, og det kan derfor være nødvendig med slike aktiviteter. Men når det gjelder å bruke disse erfaringene som middel til å lære matematikk, er det nødvendig å bearbeide og diskutere erfaringene etterpå, inne i klasserommet.

 Noe annet igjen er bruk av modeller. I anvendt matematikk er bruk av modeller helt nødvendig. (Eksempel: Utforming av oljeinstallasjoner). I skolen kan for eksempel modeller av hus være vel så bra å jobbe med som husene selv.



Når dette er sagt, skal det også sies at mange barn synes det er morsomt å arbeide med tallene i seg selv, altså som rent abstrakte enheter. Vi vet jo at svært mange mennesker liker å løse gåter, og det har alltid vært mennesker som har likt å arbeide med rent konstruerte problemstillinger i matematikk. Også denne formen for nysgjerrighet bør brukes som er verdifull ressurs i skolen. (Se punktet om utforskning i den videre teksten.)

Arven fra Piaget

Den metodikken som i svært konsentrert form er beskrevet over, bygger i stor grad på Jean Piagets forskning . I løpet av de siste tiårene er det imidlertid oppstått stor tvil om deler av Piagets konklusjoner, eller det er avvist som direkte feil. Dessverre ser det ut til at det er nettopp de delene av hans forskning som ikke er blitt stående som gyldig, som har vært retningsgivende for matematikkundervisningen i skolen, mens de delene som fortsatt står sterkt, ikke har fått samme gjennomslag.

Begynneropplæringen i matematikk bygger i særlig grad på Piagets påstand om barns svake evne til konservasjon og desentrering, og på hans oppfatning at læring oppsto som et resultat av arbeid med konkreter. Arbeid med konkreter er ifølge Piaget det primære, språket kommer som et resultat av dette. Flere forskere har nå vist at Piagets konklusjoner er tvilsomme på enkelte områder . Mary Donaldson viste at barn er langt flinkere til desentrering enn Piaget hadde erkjent. Senere forsøk har også vist at barn kan konservere på et langt tidligere tidspunkt enn det Piaget trodde.

Hans slutninger på disse punktene synes å ha sammenheng med de forsøksbetingelsene han brukte. Piaget var opprinnelig biolog og brukte en eksperimentell metode som passet til dette faget. Han satte barna foran seg ved et bord og utførte ulike forsøk. Han startet for eksempel med en rekke brikker som lå forholdsvis tett innpå hverandre.

Deretter la han dem ut med større avstand og spurte barna om det var like mange som før.

                                 

Barn svarte at det var "flere" inntil de var bortimot seks år gamle, og Piaget trakk den (naturlige) slutningen at de ikke klarte å konservere, det vil si at de ikke klarte å se at antallet var like stort i begge tilfellene.

I dag tror vi det er andre årsaker til at barna svarte som de gjorde. Noen helt enkel forklaring kan det være vanskelig å gi, men det er nokså sikkert at barna lot seg påvirke av selve forsøkssituasjonen. Barn er veldig vare for sosiale situasjoner, og deres tanker kan ha vært noe slik som dette: "Når en voksen person spør etter det samme en gang til, må det være noe galt et sted. Jeg svarer derfor at det er annerledes nå enn før". Barnet ønsker å tilfredsstille den voksne og lar seg styre av de forventninger det har til den voksne personen. Dessuten har ikke barn det samme forholdet til telling som voksne har. For dem er ofte det å telle en lek med ord, mer enn å finne et antall eller størrelsen av en mengde. Det er først når det kommer i skolen at denne forståelsen festner seg. Dersom et barn blir presentert for to mengder gjenstander som er spredt utover et område, er det naturlige for barnet å gjøre et overslag, ikke å telle objektene i mengdene. Da er det ikke så rart at en større spredning mellom gjenstandene kan føre til feilslutninger. En tredje ting er at barn ikke er så flinke til å skille mellom mer – mindre, flere – færre og større - mindre, som vi voksne er. Brian Butterworth mener at barn i fire- til femårsalderen befinner seg i en konflikt mellom å subitisere (se senere) og det å telle . I mange situasjoner vil de subitisere, men da blir resultatet gjerne unøyaktig når antallet er større enn 3.

Andre sider ved Piagets forskning står imidlertid fortsatt sterkt. Det gjelder hans ideer om assimilasjon og akkommodasjon, hans bruk av begrepet skjema, og hans skille mellom figurativ og operasjonell forståelse. For at forståelsen skal være operasjonell, må den være internalisert, den må være reversibel, det vil si å kunnes både framlengs og baklengs, og den må kunne settes inn i en sammenheng. Operasjonell forståelse er et innfløkt begrep, men jeg skal forsøke å forklare min tolkning av det, slik jeg mener det passer inn i en matematikkdidaktisk sammenheng.



Operasjonell forståelse

Den tradisjonelle skolematematikken bygger gjerne på den forestillingen at kunnskapene i faget må læres sekvensielt, og at de bygger logisk på hverandre. Man bygger stein på stein, for eksempel ved at man tar seg god tid og lærer tallene ett og ett, fra én og oppover. Forestillingen om skjemaer eller begrepskart tilsier at denne oppfatningen er for enkel. En vel så god metafor som det å bygge stein på stein kan være å se for seg et større bilde som avsløres bit for bit, slik som vi har sett det i gjettekonkurranser på TV. Etter hvert som flere og flere biter faller på plass, blir bildet klarere og klarere. Rekkefølgen på avsløringene spiller mindre rolle. Det er mengden av avsløringer og om de viser vesentlige detaljer, som er det avgjørende.

Denne metaforen er selvfølgelig ikke fullstendig. Under innlæring av matematiske begreper vil mange "avsløringer" være uklare, og misforståelser florerer og er sannsynligvis uunngåelige. Dessuten er ikke begrepene statiske. Vi vet alle hvordan begreper kan få utvidet betydning med tiden. Personlig lærte jeg opprinnelig mange fremmedord gjennom matematikken og oppdaget først senere at ordene ble brukt like mye i andre sammenhenger. Et eksempel kan være ordene divergere og konvergere, som for meg i første omgang handlet om tallfølger og geometriske rekker, men som jeg nå vet kan brukes i mange sammenhenger. Begrepene har fått en utvidet betydning.

Vi kan tenke oss at et begrep bygges opp omtrent som på figur 1. Nye elementer kommer til etter hvert og knyttes til tidligere elementer. Etter hvert fylles bildet ut og danner et sammenhengende hele.

Å knytte forbindelser mellom de ulike elementene er avgjørende for at kunnskapene skal bli operasjonelle. Dessverre er dette noe som det syndes svært mye mot i skolen. Matematikken blir ofte fremstilt som en mengde med enkeltbrokker uten sammenheng. I stedet for en oppfatning av at matematikk er et fag det er mulig å forstå, bygges det opp en kultur der hukommelse av løsrevne enkeltkunnskaper blir det dominerende.

Snorre Ostad er opptatt av kvaliteten på kunnskapene. Han hevder at vi i norsk skole har vært altfor opptatt av kvantitet, det vil si mengden av kunnskaper, mer enn av hvordan kunnskapen er konstruert og befestet . I sin argumentasjon henviser han til Bruner, som har diskutert bruk av representasjoner i læring. Bruner opererer med tre former for representasjon:



i. Enaktiv

ii. Ikonisk

iii. Symbolsk

I det enaktive stadiet foregår det et samspill mellom konkreter og oppbygging av begreper (skjema), mens i det ikoniske stadiet dannes det indre bilder. Etter hvert som disse indre bildene bygges opp, kan læringen bygge på dem, og det er unødvendig å gå tilbake til konkretene. Bruner opererer også med et tredje trinn, det symbolske. Det er litt verre å få tak i hva han mener her, men min tolkning er at det er dannet en direkte kobling mellom symboler i form av lyder eller tegn og slike begrepsstrukturer som omtalt over. Ostad mener en forutsetning for at kunnskaper skal kunne etablere seg på det høyeste stadiet, er at det knyttes forbindelser mellom de ulike kunnskapsbrokkene, eller elementene i begrepsstrukturene. Han illustrerer dette ved å sammenligne kunnskapslageret i hjernen med kuler i en krukke. Dersom man bare legger vekt på kvantitet, vil man få et lager uten forbindelser mellom kulene. En forutsetning for å bygge opp operasjonell kunnskap er at det knyttes forbindelser mellom kulene, eller sagt på en annen måte, mellom kunnskapselementene. Forskning i England viser da også at de mest effektive lærerne er de som klarer å knytte forbindelser mellom ulike aspekter av matematikken , og som hele tiden er opptatt av nettopp dette. Det er også interessant å se den nære forbindelsen mellom Bruners kategorier og Piagets forutsetninger for operasjonell kunnskap. Piagets krav om at kunnskapen skal være internalisert, kan godt tolkes som et uttrykk for at bruk av symboler skal utløse bruk av kunnskapen som ligger lagret i skjemaene eller begrepsstrukturene. Vi vet også fra forskning av bl.a. Alan Schoenfeld at en viktig forskjell mellom eksperter og noviser i matematikk er at ekspertene kan trekke veksler på større mengder kunnskaper på én gang . Det er tydelig at ulike begreper med tiden har grodd sammen til større, sammenhengende skjemaer.

INNLEDNING

Denne boka er skrevet ut fra den forutsetningen at manuelt regnearbeid er mindre viktig enn før, men at god evne til å behandle tall i hodet og til å forstå numeriske opplysninger er minst like viktig som noen gang. Opparbeidelse av en god tallfølelse er derfor viktig. Dessuten er innsikt i hva som ligger i de ulike regningsartene og sammenhengen mellom dem, av avgjørende betydning for å bli flink med tall. Boka legger derfor stor vekt på hoderegning og på å presentere regnealgoritmer som støtter opp under hoderegningen, og som i struktur er mest mulig lik de teknikkene som brukes der. I boka finnes det av disse grunnene forslag til nye algoritmer til erstatning for de tradisjonelle, eller som en myk innledning til å ta i bruk disse.


Norske elever har gjennom flere år skåret lavt i matematikk i en rekke internasjonale tester. Dersom testene hadde målt kunnskaper i en abstrakt og virkelighetsfjern matematikk, kunne man kritisert testene for at de måler kunnskap som er irrelevant for store deler av elevgruppen. Faktum er imidlertid at testene i matematikk i all hovedsak bruker oppgaver med problemstillinger hentet fra nær virkelighet. De dårlige resultatene må derfor tas på alvor. Denne boka bygger på den forestillingen at intim kunnskap om og fortrolighet med bruk av tall er viktige forutsetninger for å kunne løse praktiske hverdagsproblemer. Bruk av tall i praktiske sammenhenger vil øke på gjennom siste del av barnetrinnet, men denne boka omhandler kun matematikk til og med 4. klasse.

Kunnskap om tallene må bygges opp systematisk og bevisst, og det må arbeides mye med abstrakte tall, ikke bare med praktiske problemer. Det kan for øvrig lages mye fin lek med abstrakte tall. Jeg har også brukt en god del plass på å vise utviklingen av vårt tallsystem, og til sammenligning mellom dette tallsystemet og andre tallsystemer. Grunnen til det er at jeg tror barns ideer om tall til en viss grad reflekterer den historiske utviklingen av tallsystemene.

Troen på konkretisering som et generelt tryllemiddel synes å stå svært sterkt i norsk skole. Selv har jeg et mer nyansert syn på dette, og mener at ukritisk bruk av konkreter like gjerne kan ha negative effekter. Matematikken foregår i hodene våre, og det er nødvendig å abstrahere og generalisere særtrekkene ved ulike strukturer og systemer før det blir matematikk av det.

Mange undersøkelser viser at barn flest er flinke til å telle når de begynner på skolen, og at de kan telle ganske langt. Det er derfor ulogisk å bruke lang tid på å ”lære” elevene de aller minste tallene, og utsette arbeid med tall over 20 til relativt sent, slik som det har vært vanlig i norsk skole i mange år. Jeg har viet en god del plass til å begrunne at man har lov til å stille større forventninger til elevene. I boka argumenteres det også for at man skal arbeide med problemstillinger fra alle de fire regningsartene fra skolestart av.

Det er land i Øst-Asia, spesielt Japan og Kina, som skårer høyest i matematikk på de internasjonale testene, men det finnes også vestlige land som har gode resultater . Pisaundersøkelsen viser blant annet at dette gjelder Nederland. England viste dessuten store framskritt på slutten av 1900-tallet og begynnelsen av 2000-tallet. Norges resultater sank i samme periode ganske kraftig. Vi var faktisk landet med størst tilbakgang fra 1998 til 2003, mens England gikk mest fram. Hovedgrunnen synes å være et systematisk og forskningsbasert prosjekt som ble iverksatt etter 1998, kalt National Numeracy Project, NNP. I det prosjektet hentet de blant annet ideer fra Nederland. Mye av stoffet i denne boka bygger på erfaringer og forskningsresultater fra dette prosjektet.

I siste del av boka har jeg gitt en oversikt over de arbeidsmetodene og de utviklingsmekanismene som brukes i japansk skole. De samme arbeidsmetodene brukes også i stor grad i Kina. Jeg er klar over at matematikk har høyere status i disse landene enn det som er tilfelle i Vesten, og at det å prestere godt i skolen synes å bety mer enn det som etter hvert har blitt vanlig hos oss. Det er derfor ikke mulig å kopiere alle aspekter ved undervisningen i disse landene. Jeg mener like fullt at vi har mye å lære av den systematikken de bruker der. Der legges det stor vekt på problembasert læring, på diskusjon og dialog, på systematisk utviklingsarbeid, og på at lærerne samarbeider om utvikling av undervisningen. Og det er ikke slik at undervisningen er preget av kadaverdisiplin, slik mange synes å tro, selv om de muligens har sterkere sanksjonsmuligheter i japansk og kinesisk skole enn det vi ville akseptere i Norge.

I norske læreplaner legges det stor vekt på å finne arbeidsmetoder som virker motiverende på elevene. For småskolens del har man stor tro læring gjennom lek. Etter L97 skulle store deler av undervisningen være temabasert. Dette kravet er fjernet i den nye læreplanen, LK07. Nå er det opp til den enkelte skole hvordan undervisningen organiseres. Erfaringene med den temabaserte undervisningen har tydeligvis vært blandede, så det er god grunn til å vente at den i stor grad vil falle vekk. Tverrfaglige arbeider, prosjekter eller storyline er vanlige arbeidsformer. Siste skudd på stammen er uteskole. Dette er vel og bra, for all læring må bygge på erfaringer, men jeg undrer på om vi ikke i iveren etter å finne engasjerende undervisningsmetoder har glemt en del grunnleggende fakta om læring. Det er fortsatt slik at læring krever konsentrasjon, repetisjon og systematikk. Jeg mener det kan være grunn til å spørre om ikke deler av undervisningen i norsk skole er for springende, og at det brukes for liten tid til å systematisere og konsolidere kunnskapen. Det går i tilfelle ut over et fag som matematikk.

Nyere hjerneforskning gir kraftig støtte til de gamle prinsippene som er nevnt i avsnittet over. Nobelprisvinneren i Fysiologi eller Medisin i år 2000, Eric R. Kandel, gjør dette klart . For at ny kunnskap skal festne seg i det eksplisitte langtidsminnet (det vi er oss bevisst), eller i det implisitte langtidsminnet (det som er ubevisst), må det dannes nye synapser i hjernecellene. Før det kan skje, må cellen gjennom en omfattende prosess. I eksisterende synapser dannes det dopamin (eksplisitt hukommelse) eller serotonin (implisitt hukommelse). Dette utløser produksjon av diverse stoffer som påvirker gener i cellekjernen. Dette igjen utløser produksjon av proteiner som brukes for å bygge nye synapser. Alt dette tar tid. Hvis ikke denne prosessen får gå sin gang, vil kun kortidshukommelsen aktiviseres, og kunnskapen vil ikke konsolideres. Og det er ikke slik at det å ha lagret kunnskaper i langtidsminnet kan erstattes med en eller annen form for ”forståelse”. Forståelse og begrepsdanning kan ikke bygges opp uten et kunnskapslager.

Det mest effektive er læringssekvenser av begrenset varighet og med repetisjoner. Dessuten trengs det ro og fred, med fravær av forstyrrende elementer, etter at innlæring har funnet sted. Man kan derfor lure på om vårt flimmersamfunn utgjør et viktig hinder for læring, ikke minst for et fag som matematikk. Skolen oppgave må være å motarbeide mangel på ro og konsentrasjon, samtidig som elevenes motivasjon opprettholdes. Nettopp dette synes å være vel ivaretatt i de land der barn lærer matematikk best.