Arven fra Piaget

Den metodikken som i svært konsentrert form er beskrevet over, bygger i stor grad på Jean Piagets forskning . I løpet av de siste tiårene er det imidlertid oppstått stor tvil om deler av Piagets konklusjoner, eller det er avvist som direkte feil. Dessverre ser det ut til at det er nettopp de delene av hans forskning som ikke er blitt stående som gyldig, som har vært retningsgivende for matematikkundervisningen i skolen, mens de delene som fortsatt står sterkt, ikke har fått samme gjennomslag.

Begynneropplæringen i matematikk bygger i særlig grad på Piagets påstand om barns svake evne til konservasjon og desentrering, og på hans oppfatning at læring oppsto som et resultat av arbeid med konkreter. Arbeid med konkreter er ifølge Piaget det primære, språket kommer som et resultat av dette. Flere forskere har nå vist at Piagets konklusjoner er tvilsomme på enkelte områder . Mary Donaldson viste at barn er langt flinkere til desentrering enn Piaget hadde erkjent. Senere forsøk har også vist at barn kan konservere på et langt tidligere tidspunkt enn det Piaget trodde.

Hans slutninger på disse punktene synes å ha sammenheng med de forsøksbetingelsene han brukte. Piaget var opprinnelig biolog og brukte en eksperimentell metode som passet til dette faget. Han satte barna foran seg ved et bord og utførte ulike forsøk. Han startet for eksempel med en rekke brikker som lå forholdsvis tett innpå hverandre.

Deretter la han dem ut med større avstand og spurte barna om det var like mange som før.

                                 

Barn svarte at det var "flere" inntil de var bortimot seks år gamle, og Piaget trakk den (naturlige) slutningen at de ikke klarte å konservere, det vil si at de ikke klarte å se at antallet var like stort i begge tilfellene.

I dag tror vi det er andre årsaker til at barna svarte som de gjorde. Noen helt enkel forklaring kan det være vanskelig å gi, men det er nokså sikkert at barna lot seg påvirke av selve forsøkssituasjonen. Barn er veldig vare for sosiale situasjoner, og deres tanker kan ha vært noe slik som dette: "Når en voksen person spør etter det samme en gang til, må det være noe galt et sted. Jeg svarer derfor at det er annerledes nå enn før". Barnet ønsker å tilfredsstille den voksne og lar seg styre av de forventninger det har til den voksne personen. Dessuten har ikke barn det samme forholdet til telling som voksne har. For dem er ofte det å telle en lek med ord, mer enn å finne et antall eller størrelsen av en mengde. Det er først når det kommer i skolen at denne forståelsen festner seg. Dersom et barn blir presentert for to mengder gjenstander som er spredt utover et område, er det naturlige for barnet å gjøre et overslag, ikke å telle objektene i mengdene. Da er det ikke så rart at en større spredning mellom gjenstandene kan føre til feilslutninger. En tredje ting er at barn ikke er så flinke til å skille mellom mer – mindre, flere – færre og større - mindre, som vi voksne er. Brian Butterworth mener at barn i fire- til femårsalderen befinner seg i en konflikt mellom å subitisere (se senere) og det å telle . I mange situasjoner vil de subitisere, men da blir resultatet gjerne unøyaktig når antallet er større enn 3.

Andre sider ved Piagets forskning står imidlertid fortsatt sterkt. Det gjelder hans ideer om assimilasjon og akkommodasjon, hans bruk av begrepet skjema, og hans skille mellom figurativ og operasjonell forståelse. For at forståelsen skal være operasjonell, må den være internalisert, den må være reversibel, det vil si å kunnes både framlengs og baklengs, og den må kunne settes inn i en sammenheng. Operasjonell forståelse er et innfløkt begrep, men jeg skal forsøke å forklare min tolkning av det, slik jeg mener det passer inn i en matematikkdidaktisk sammenheng.



Operasjonell forståelse

Den tradisjonelle skolematematikken bygger gjerne på den forestillingen at kunnskapene i faget må læres sekvensielt, og at de bygger logisk på hverandre. Man bygger stein på stein, for eksempel ved at man tar seg god tid og lærer tallene ett og ett, fra én og oppover. Forestillingen om skjemaer eller begrepskart tilsier at denne oppfatningen er for enkel. En vel så god metafor som det å bygge stein på stein kan være å se for seg et større bilde som avsløres bit for bit, slik som vi har sett det i gjettekonkurranser på TV. Etter hvert som flere og flere biter faller på plass, blir bildet klarere og klarere. Rekkefølgen på avsløringene spiller mindre rolle. Det er mengden av avsløringer og om de viser vesentlige detaljer, som er det avgjørende.

Denne metaforen er selvfølgelig ikke fullstendig. Under innlæring av matematiske begreper vil mange "avsløringer" være uklare, og misforståelser florerer og er sannsynligvis uunngåelige. Dessuten er ikke begrepene statiske. Vi vet alle hvordan begreper kan få utvidet betydning med tiden. Personlig lærte jeg opprinnelig mange fremmedord gjennom matematikken og oppdaget først senere at ordene ble brukt like mye i andre sammenhenger. Et eksempel kan være ordene divergere og konvergere, som for meg i første omgang handlet om tallfølger og geometriske rekker, men som jeg nå vet kan brukes i mange sammenhenger. Begrepene har fått en utvidet betydning.

Vi kan tenke oss at et begrep bygges opp omtrent som på figur 1. Nye elementer kommer til etter hvert og knyttes til tidligere elementer. Etter hvert fylles bildet ut og danner et sammenhengende hele.

Å knytte forbindelser mellom de ulike elementene er avgjørende for at kunnskapene skal bli operasjonelle. Dessverre er dette noe som det syndes svært mye mot i skolen. Matematikken blir ofte fremstilt som en mengde med enkeltbrokker uten sammenheng. I stedet for en oppfatning av at matematikk er et fag det er mulig å forstå, bygges det opp en kultur der hukommelse av løsrevne enkeltkunnskaper blir det dominerende.

Snorre Ostad er opptatt av kvaliteten på kunnskapene. Han hevder at vi i norsk skole har vært altfor opptatt av kvantitet, det vil si mengden av kunnskaper, mer enn av hvordan kunnskapen er konstruert og befestet . I sin argumentasjon henviser han til Bruner, som har diskutert bruk av representasjoner i læring. Bruner opererer med tre former for representasjon:



i. Enaktiv

ii. Ikonisk

iii. Symbolsk

I det enaktive stadiet foregår det et samspill mellom konkreter og oppbygging av begreper (skjema), mens i det ikoniske stadiet dannes det indre bilder. Etter hvert som disse indre bildene bygges opp, kan læringen bygge på dem, og det er unødvendig å gå tilbake til konkretene. Bruner opererer også med et tredje trinn, det symbolske. Det er litt verre å få tak i hva han mener her, men min tolkning er at det er dannet en direkte kobling mellom symboler i form av lyder eller tegn og slike begrepsstrukturer som omtalt over. Ostad mener en forutsetning for at kunnskaper skal kunne etablere seg på det høyeste stadiet, er at det knyttes forbindelser mellom de ulike kunnskapsbrokkene, eller elementene i begrepsstrukturene. Han illustrerer dette ved å sammenligne kunnskapslageret i hjernen med kuler i en krukke. Dersom man bare legger vekt på kvantitet, vil man få et lager uten forbindelser mellom kulene. En forutsetning for å bygge opp operasjonell kunnskap er at det knyttes forbindelser mellom kulene, eller sagt på en annen måte, mellom kunnskapselementene. Forskning i England viser da også at de mest effektive lærerne er de som klarer å knytte forbindelser mellom ulike aspekter av matematikken , og som hele tiden er opptatt av nettopp dette. Det er også interessant å se den nære forbindelsen mellom Bruners kategorier og Piagets forutsetninger for operasjonell kunnskap. Piagets krav om at kunnskapen skal være internalisert, kan godt tolkes som et uttrykk for at bruk av symboler skal utløse bruk av kunnskapen som ligger lagret i skjemaene eller begrepsstrukturene. Vi vet også fra forskning av bl.a. Alan Schoenfeld at en viktig forskjell mellom eksperter og noviser i matematikk er at ekspertene kan trekke veksler på større mengder kunnskaper på én gang . Det er tydelig at ulike begreper med tiden har grodd sammen til større, sammenhengende skjemaer.