Konkretisering

I et tidligere avsnitt fortalte jeg om en episode der jeg skulle forsøke å lære en gruppe tredjeklassinger firegangen. Gruppen bestod av fem elever. På grunn av at noen av dem var så opptatt av å teste ut meg og mine evner til å regne med store tall, fikk vi dårlig tid til å gjøre det vi egentlig skulle. Jeg hadde fått utdelt et antall flaskekorker og skulle illustrere firegangen ved hjelp av disse. Jeg oppfattet det slik at meningen med å bruke korkene måtte være å legge dem i grupper på fire og fire og telle opp antall korker etter hvert som vi beveget oss oppover i firegangen. Det var imidlertid vanskelig å få elevene, som på dette stadiet var nokså ukonsentrerte, til å interessere seg for dette, så jeg gikk raskt over til ren telling, samtidig som jeg skrev på et ark foran meg, slik at elevene kunne se det: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 … 35 36 37 38 39 40. Det gikk ikke lang tiden før et par av elevene uoppfordret lekset opp tallene 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40, mens andre prøvde seg og fikk det noenlunde til. Dessverre gikk tiden ut midt oppe i arbeidet, så jeg fikk ikke kontrollert hvor mye hver enkelt hadde fått med seg av det vi drev med, men noen hadde i hvert fall kommet langt. Minst én av elevene kunne det sannsynligvis fra før.


Hovedpoenget mitt er at bruk av konkreter i denne situasjonen heller hindret enn fremmet innlæring av firegangen. Korkene så ut til å være et forstyrrende element, mer enn et forklarende. En slik konklusjon synes å få stadig sterkere støtte i nyere forskning. For eksempel sier den engelske forskeren Alan Wigley at konkretiseringsmateriell ikke synes å være så effektivt som man har trodd når det gjelder å undervise om plassverdi . Det er en voksende forståelse av at plassverdisystemet er noe som må gi mening i seg selv og ikke via noen ytre representasjon. Tallene er i seg selv abstrakte, og tallsystemet må internaliseres. Strukturen må framstå som indre bilder eller som en symbolsk representasjon. Mye tyder på at barn lærer systemet samtidig som de bruker konkretene og legger kunnskapen på materiellet, heller enn omvendt, slik som forutsetningen skal være. Jeg vil tro at det samme skjer i mitt eksempel med korker for å illustrere firegangen. For å telle opp korkene må man ty til samme type telling som jeg illustrerte over. Samtidig skal barna holde oversikt over korkene. Min tolkning er at dette virker som en ekstra utfordring i tillegg til det å lære firegangen. Det bør også sies at Piagets krav om at kunnskap skal være internalisert for å kunne være operasjonell, sier det samme. At kunnskapen er internalisert betyr jo nettopp at den kan brukes uten bruk av konkreter.

En annen måte å betrakte forholdet mellom abstrakt tenkning og bruk av konkreter i matematikken på, er å si at elever må lære seg å bruke tallene som substantiver, ikke som adjektiver. Tall er mentale objekter, og det er en forutsetning for å regne at man bruker disse mentale objektene i regneprosessen. Dersom barn bare skal forholde seg til konkreter, er det fare for at de aldri kommer forbi det stadiet at de teller i stedet for å regne. Eller for å bruke Bruners kategorier: de kommer ikke forbi det laveste stadiet med enaktiv representasjon. Derimot ser det ut til at vi ikke klarer å løsrive oss helt fra forbindelsen mellom de abstrakte tallene og symbolene for dem. Dette er en av grunnene til at barn bør lære symbolene samtidig med at de lærer å telle og regne.

At erfaringer er et nødvendig grunnlag for kunnskap, har vært et anerkjent prinsipp i vestlig pedagogikk fra Aristoteles via Francis Bacon og til John Dewey. I matematikken er imidlertid erfaring alene ikke tilstrekkelig. Matematikk handler om å se strukturer og mønstre. Dette krever abstraksjon og generalisering, og man kan ikke forvente at skoleelever finner matematiske strukturer uten hjelp eller påvirkning. Vi kan si som Hans Freudenthal at å undervise i matematikk er å drive ledet gjenoppdagelse . I dagens samfunn har mye av den type aktiviteter som gir bakgrunnserfaring, blitt overført fra hjemmet og nærmiljøet til skolen. Fenomener som lek i skolen og uteskole er eksempler på dette. Inntil de siste tiårene av nittenhundretallet kunne skolen i større grad bygge på erfaringer elevene hadde med seg til skolen. I dag må barnehager og skoler i langt større grad selv bidra til å gi barna disse erfaringene. Det er imidlertid en fare for at man glemmer at skolen skal gjøre noe mer, nemlig å bruke denne erfaringen til å skape systematisert kunnskap. Det er ikke uten grunn at elever syntes å få gode kunnskaper også den gang man gikk på skolen annenhver dag .


Olof Magnes prototyplæring

Den svenske nestor innen matematikkdidaktikk, Olof Magne, har gitt råd om hvordan man bør forholde seg til bruk av elevenes erfaringer i undervisningen. Det er da snakk om være erfaringer man har forvisset seg om at elevene har, og de kan komme fra deres hjemmemiljø eller fra erfaringer skolen har gitt dem. Det kan være snakk om praktiske erfaringer som kan understøttes av ulike typer konkretiseringsmateriell. Han kaller metoden for prototyplæring, og det ligger da i navnet hva som menes. Man skal bruke elevenes erfaring som en prototyp for systematisert læring. Magnes beskrivelse av metoden er slik (han henvender seg til den som skal lære, derfor ”du”-benevnelsen):

1. Etablering av prototypen

 Prøv forskjellige løsninger av et praktisk problem, gjerne autentiske problemer, det vil si virkelige hverdagsproblemer.

 Anvend materiale som du tror kan passe til din løsning.

 Vis (bevis) hvorfor du tror på løsningen. Men tenk på at matematikk alltid er abstrakt, aldri konkret.

 Bruk det matematiske språket. Søk gjerne flere løsninger på problemet.


2. "Gjett"

Når du møter lignende problemer ved en senere anledning, begynner du med å gjette, det vil si forsøke å løse problemet uten annet materiale.

 Uttrykk deg ved hjelp av det matematiske språket.

 Prøv så å anvende materialet som du brukte i det tidligere problemet, for å sjekke løsningen.

 Prøv en praktisk løsning hvis du er veldig usikker.

 Problemet i punkt 1 har blitt en prototyp for påfølgende forsøk.


3. Produktiv øving. Når du tror at du kan løse denne typen problemer, kan du øve deg på egen hånd med lignende oppgaver.

 Du regner for eksempel 55 + 45 i hodet.

 Velg selv oppgaver i hoderegning slik at du får summen 100.


4. Anvend aldri konkret materiale passivt ved drilløvinger, for eksempel som hjelpemiddel i addisjon.


Disse rådene gir etter min mening i konsentrert form en balansert framstilling av hvordan erfaringer og bruk av konkreter bør brukes i matematikk-undervisningen.

En annen ting er at det svært ofte er både ønskelig og nødvendig å ty til ulike typer representasjoner, så å si til "å tenke med pennen". Det kan være snakk om tallinjer, stiliserte tegninger, tabeller eller grafer. Vi vet med oss selv at når vi skal løse et litt kinkig problem, må vi støtte oss til skisser eller figurer på papiret. Dersom vi holder oss til Bruners terminologi, kan vi si at vi forsøker å synliggjøre de ikoniske representasjonene, de indre bildene vi måtte ha. Andre didaktikere vil kalle slike figurer for halvabstrakter. Man skiller da ofte mellom konkreter, halvkonkreter, halvabstrakter og abstrakter. Konkretene er gjenstandene selv, halvkonkretene er bilder av disse, halvabstraktene en stiliserte figurer eller tegninger, mens abstraktene er det som er i hodet vårt. Spesielt når et problem er nytt for oss, er det nødvendig å bruke slike halvabstrakter. Etter hvert som vi får trening i å løse samme type problemer, kan vi i noen tilfelle løsrive oss fra denne støtten og løse problemet direkte, men ofte vil vi være avhengig av dem, uansett hvor rutinerte vi blir. Slik vil det spesielt være dersom hele problemstillingen er ukjent. Fenomenet med å ta i bruk halvabstrakter i form av egne figurer synes å være et fenomen som er felles for alle aldersgrupper. Vi kan se at barn allerede i tidligste skolealder spontant gjør dette, hvis de får anledning til løse problemer på fritt grunnlag.

Vi må skille mellom materiell som er laget for å gi erfaringer eller for å bygge opp forståelse på den ene siden og slike representasjoner eller modeller på den andre siden. Under arbeidet med å løse et problem vil det ofte være både nødvendig og nyttig å lage seg en modell. Under oppgaveløsning i skolen kan man selvfølgelig også ta utgagnspunkt i en modell eller en tegning. Dette er noe annet enn å bruke konkreter for å lære seg tallsystemet eller regnealgoritmer. Slikt konkretiseringsmateriell synes ikke å være så effektivt som man kanskje har trodd. Det er for eksempel en voksende forståelse av at plassverdisystemet er noe som må gi mening i seg selv, ikke primært via en ytre representasjon. Det kan se ut for at 10-tallsystemet legges på materiellet, like gjerne som at det trekkes ut av det.



I tråd med det som er sagt over, vil jeg gjøre meg til talsmann for å basere begynneropplæringen i matematikk på følgende prinsipper:

 Innfør store tall allerede i 1. årstrinn.

 Ta i bruk alle fire regningsarter fra begynnelsen av.

 Legg stor vekt på hoderegning.

 La regning, lesing av tallsymboler og skriving av dem samvirke og støtte hverandre.

Disse prinsippene må kombineres med mer generelle matematikkdidaktiske prinsipper. Jeg tenker da på slik som synliggjøring av sammenhenger, dialog, resonnering om mening og trening i å uttrykke hva man tenker.

Før vi ser nærmere på dette, skal jeg imidlertid si litt om hva man ikke bør legge i det ovenstående, og deretter skal vi se litt på de forkunnskapene barn flest har med seg til skolen.


På den annen side …


At man skal være forsiktig med å bruke konkretiseringsmateriell, betyr ikke at man skal operere bare på det rent abstrakte plan. Det betyr bare at man ut fra erfaringer og bruk av konkreter skal forsøke å bygge opp indre bilder og bruke dem i det videre arbeidet. Når slike bilder er på plass, faller det naturlig å bruke halvabstrakter, dvs. stiliserte figurer og til en viss grad symboler. Vi skal også huske på at bruk av fysiske modeller er en vanlig og helt nødvendig foreteelse i all teknikk og vitenskap som gjør seg nytte av matematisk modellering. I skolen kan dette gjelde areal- og volumberegninger.

I stedet for å advare mot bruk av konkreter burde vi kanskje advare mot visse typer bruk av konkreter. Bruk av konkreter eller modeller i en problemløsingsprosess er noe annet enn bruk av konkreter ved rutinearbeid. La meg ta et eksempel som kan illustrere forskjellen. I en japansk fjerdeklasse (samme alder som i Norge) fikk elevene følgende problem:

Det er i alt trettiåtte elever i Akiras klasse. Det er seks flere gutter enn jenter. Hvor mange gutter og hvor mange jenter er det i klassen?

Elevene fikk først prøve å løse problemet selv, og ulike løsningsforslag ble drøftet. Etter diskusjonen fikk hver elev to papirstrimler, den ene litt lengre enn den andre. Læreren ga beskjed om at de kunne bruke strimlene som hjelpemiddel for å løse problemet. De fikk beskjed om å legge strimlene ved siden av hverandre. Så spurte læreren hvilken strimmel som representerte guttene. Elevene svarte straks at det var den lengste, og ganske snart var det ei jente som sa at forskjellen i lengde fortalte hvor mange flere gutter enn jenter det var i klassen til Akira. Etter hvert kom løsningen fram. De klippet vekk den lengste enden, som hadde lengde seks, la sammen de to like lange strimlene, for så å dele på to. Da hadde de antall jenter i klassen. Antall gutter var selvsagt seks mer.

Legg merke til at det materialet som ble brukt, var langt på vei abstrahert, og at det ikke ga noen mulighet for bare å telle, slik man kunne gjort hvis man hadde brukt distinkte enheter for hver elev. Materialet var valgt ut med omhu for å illustrere en mer avansert løsningsmetode.



Oppsummerende merknader

Det ovenstående kan punktvis oppsummeres slik:

 Det er forskjell på konkreter. Noen er kunstige og andre er naturlige, på den måten at de finnes rundt oss i dagliglivet. Klosser, staver og mye annet laborativt materiell er i utgagnspunktet kunstig; noe som er laget for skolen. Det er overdreven bruk av denne typen konkretiseringsmidler mange forskere etter hvert er skeptiske til.

 Det som er viktig i matematikken, er at elevene kjenner seg igjen i det vi regner på. Derfor bør matematikken knyttes opp mot elevenes hverdagserfaringer; deres konkrete hverdag. Bruk av kunstige konkreter er mer tvilsomt.

 Slike konkreter brukes likevel ofte i for eksempel japansk skole, men der settes bruken inn i en sammenheng med aktiv problemløsing; altså ikke som illustrasjon for lærerstyrte forklaringer eller passive innlæringsmetoder. Spørsmålet er kanskje mer hvordan konkretene brukes, enn om de brukes.

 Det finnes grader av konkretisering. Elevene behøver ikke være ute på skoleplassen for å utføre beregninger som gjelder den samme. Det kan være nok med en tegning. Ofte er dette en stor fordel, da man ved å bruke slike halvkonkreter eller halvabstrakter kan fjerne forstyrrende elementer.

 Mye av den leken og de uteaktivitetene som foregår i skolen i dag kan gi verdifulle erfaringer, og det kan derfor være nødvendig med slike aktiviteter. Men når det gjelder å bruke disse erfaringene som middel til å lære matematikk, er det nødvendig å bearbeide og diskutere erfaringene etterpå, inne i klasserommet.

 Noe annet igjen er bruk av modeller. I anvendt matematikk er bruk av modeller helt nødvendig. (Eksempel: Utforming av oljeinstallasjoner). I skolen kan for eksempel modeller av hus være vel så bra å jobbe med som husene selv.



Når dette er sagt, skal det også sies at mange barn synes det er morsomt å arbeide med tallene i seg selv, altså som rent abstrakte enheter. Vi vet jo at svært mange mennesker liker å løse gåter, og det har alltid vært mennesker som har likt å arbeide med rent konstruerte problemstillinger i matematikk. Også denne formen for nysgjerrighet bør brukes som er verdifull ressurs i skolen. (Se punktet om utforskning i den videre teksten.)