Når telling er på plass, kan ulike tellestrategier for addisjon og subtraksjon utvikle seg. Dette er beskrevet i detalj av Snorre Ostad[1] og andre. Her skal jeg bare nevne noen hovedmomenter[2]. La oss tenke oss at barn skal legge sammen to tall, for eksempel 3 + 5. Før barnet har kommet så langt at det kan regne dette i hodet, tyr det gjerne til å telle på fingrene. Den mest primitive strategien som barn benytter seg av, er først å telle til tre på fingrene. Så telles det opp fem fingrer til. Til slutt teller barnet opp alle fingrene som er brukt (reist opp). De teller alt fra begynnelsen igjen. Denne strategien erstattes vanligvis ganske fort av det å telle videre fra første tall. I vårt eksempel vil da barnet først telle tre fingrer og så telle videre 4, 5, 6, 7, 8, på de neste fem fingrene. For å få til dette må barnet klare å holde styr på hvor mange tall som brukes når det telles videre. Etter en stund oppdager også mange barn at det kan lønne seg å starte med det største tallet. Dette er jo spesielt lurt hvis det ene leddet er mye større enn det andre. Også når det gjelder å subtrahere, finnes det ulike strategier. Den metoden som barn pleier å ty til først, er å telle opp det hele (minuenden), ta vekk det som skal trekkes fra (subtrahenden) og telle opp det resterende. Neste steg er gjerne å telle nedover. Da teller barnet nedover fra minuenden så mange ganger som størrelsen av subtrahenden tilsier. Legg merke til at barnet samtidig må holde orden på hvor mange ganger det telles (= subtrahenden). En litt mer sofistikert metode er å telle oppover. Her starter man med subtrahenden og teller forover inntil man har nådd minuenden. Differensen er lik antall tall man har telt opp. Denne strategien er lite brukt, men mange forskere mener at den bør undervises mer i skolen. Å beherske den synes å ha en positiv effekt på kunsten å beherske subtraksjon. Resnick[3] mener at mangel på undervisning i denne teknikken i stor grad kan forklare hvorfor så mange elever har større problemer med subtraksjon enn med addisjon.Etter hvert er det imidlertid et mål at elevene kan regne i hodet. Det må da etableres et hukommelseslager der eleven kan hente informasjon, for eksempel summer og differenser mellom tall under 20 og gangetabellene. Når det gjelder multiplikasjon og divisjon, kan vi ofte se strategier som er en kombinasjon av telling og hukommelse. Rekketelling kan plasseres hit. Hvis en elev skal finne ut hvor mye for eksempel 6 x 8 er, kan han telle 6 – 12 – 18 ... (eller 8 – 16 – 24…). Andre kan huske at 6 x 6 = 36 og telle videre derfra, 36 – 42 – 48. Her kan det finnes mange varianter. Lignende ting kan man finne for divisjon. En vanlig taktikk er da å telle framover, og så forsøke å holde styr på hvor mange steg man har brukt. Slike tellestrategier som er nevnt over, karakteriseres av Snorre Ostad som backupstrategier. Betegnelsen brukes om ulike tellestrategier, mens strategier som går ut på å hente informasjon fra hukommelsen, kalles retrievalstrategier[4]. Ostad har påvist at elever som kun bruker backupstrategier ved utgangen av andre årstrinn på skolen, gjerne blir hengende ved disse strategiene. Disse elevene stagnerer som oftest i sin utvikling, blir hengende etter de andre, og får store vansker med matematikk videre i skolen. De elevene som klarer å utvikle en mer fleksibel bruk av strategier, får sjelden slike problemer. Det å kunne lagre en del tallfakta og bruke dette på en fleksibel måte, er følgelig av avgjørende betydning for elevens videre utvikling i matematikkfaget. Dette skal jeg komme tilbake til senere.
Implikasjoner for undervisningen
Konstruktivismen står i dag sterkt i den matematikkdidaktiske tenkningen. Denne retningen oppsto som en motreaksjon på behaviorismens overbevisning om at mennesket kan betraktes som et passivt subjekt styrt av stimulanser utenfra. Hovedideen i konstruktivismen er at barn konstruerer sine egne matematiske kunnskaper, og at felles forståelse må skje gjennom samhandling og diskusjon[5]. Selv om man stiller seg tvilende til noen sider ved konstruktivismen som teori, bør det være mulig for de fleste å slutte seg til en del av de prinsippene som konstruktivismen står for. Konstruktivismen oppfattes ofte som en undervisningsforskrift. Tanken er et dersom man klarer å lage en konstruktivistisk undervisningssekvens, så vil elevene selv konstruere gyldig kunnskap. 
Denne tankegangen er imidlertid for enkel. Det er mer fruktbart å se på konstruktivismen som en forklaring på hva som alltid skjer nå mennesker lærer, dvs. at det som formidles alltid påvirkes av mottakeren. Men man har ingen garanti for at resultatet av bearbeidelsen er fullgod og fornuftig. Matematikken er innviklet og finurlig, og elevene kan fort etablere feiloppfatninger og misforståelser, eller de kan ha gått glipp av sentrale aspekter ved stoffet. Derfor er debatt og avklaring av mening grunnleggende viktig. Et anerkjent prinsipp er at opplæringen bør bygge på hva barna faktisk vet fra før. Hvis vi skal ta dette prinsippet på alvor, kan vi ikke fortsette å begrense 1.- og 2.-klassingenes arbeid med tall til tallene under 20. Det er jo et utvilsomt faktum at de aller fleste elevene kjenner til større tall enn dette, og mange av dem behersker tallsystemet ganske godt. Dessuten bør vi ta i bruk alle fire regningsarter fra starten av. Barn kjenner jo godt til det å dele ting mellom seg, og dermed vil de også ha mulighet til å forstå sum av like ledd. I dag starter barna i Norge på skolen når de er seks år gamle. De yngste er bare fem og et halvt år. Etter læreplanen fra 1997 skulle første årstrinn være preget av lek og forberedelse til vanlig skolelæring. Men i LK06 stilles det krav om mer systematisk opplæring allerede fra starten av. Lærerne vil møte elever som befinner seg på svært ulike utviklingstrinn med hensyn til tallforståelse. Det er ikke noe nytt for lærere, men dersom man skal leve opp til prinsippet om at elevene skal få utvikle seg fra der de står, vil det være spesielt viktig å gjøre seg kjent med elevenes forkunnskaper. Penny Munn[6] gir følgende råd:
¡ Undersøk barnets oppfatninger om det å telle før du begynner å arbeide med addisjon, subtraksjon og sammenligning av mengder. Man må undersøke om barnet har oppfattet at det kan være noen sammenheng mellom telling og kvantifisering.¡ Ta barnas telling på alvor. Man må løsne opp på kriteriet for hva det å telle er for noe. Barnets telling har ofte en rent sosial funksjon. Samtale om høye tall bør oppmuntres; det har også en sosial funksjon.¡ Fortell ungene i klartekst hva vitsen med å telle er.
Dataene fra Munns forskning støtter Vygotskijs tanker om at læring er en sosial aktivitet. Først etter en lang periode med støtte fra voksne internaliseres de voksnes tellekultur. I England legger man vekt på å telle videre fra et vilkårlig sted i kjeden. Dette bereder grunnen for å bruke ”telle videre-strategien”, som er det første skrittet mot utvikling av fleksibel bruk av regnestrategier. Etter hvert blir tallordene i seg selv tellbare objekter for barna, noe som utvider mulighetene til å bruke ulike muligheter for å addere og subtrahere. Konkretisering brukes minst mulig. I Nederland og Frankrike har man gjort mye for å gi elevene problemer som er knyttet til deres hverdag utenfor skolen. Man forsøker således å bevege seg bort fra bruk av bøker eller opplegg med hovedvekt på sortering, fargelegging og ren telling.
[1] Ostad 1999: 37 - 38, 55 – 56. Thompson 1997: 53 - 62[2] En detaljert oversikt er gitt i Appendiks 2[3] Thompson 1997: 39[4] Ostad 1999: Se Appendiks 2[5] Paul Cobb og Erna Yackel i Seeger, Voigt & Waschescio 1998: 159 – 185. [6] Munn i Thompson 1997: 16 - 18
Når telling er på plass, kan ulike tellestrategier for addisjon og subtraksjon utvikle seg. Dette er beskrevet i detalj av Snorre Ostad[1] og andre. Her skal jeg bare nevne noen hovedmomenter[2].
La oss tenke oss at barn skal legge sammen to tall, for eksempel 3 + 5. Før barnet har kommet så langt at det kan regne dette i hodet, tyr det gjerne til å telle på fingrene. Den mest primitive strategien som barn benytter seg av, er først å telle til tre på fingrene. Så telles det opp fem fingrer til. Til slutt teller barnet opp alle fingrene som er brukt (reist opp). De teller alt fra begynnelsen igjen. Denne strategien erstattes vanligvis ganske fort av det å telle videre fra første tall. I vårt eksempel vil da barnet først telle tre fingrer og så telle videre 4, 5, 6, 7, 8, på de neste fem fingrene. For å få til dette må barnet klare å holde styr på hvor mange tall som brukes når det telles videre. Etter en stund oppdager også mange barn at det kan lønne seg å starte med det største tallet. Dette er jo spesielt lurt hvis det ene leddet er mye større enn det andre.
Også når det gjelder å subtrahere, finnes det ulike strategier. Den metoden som barn pleier å ty til først, er å telle opp det hele (minuenden), ta vekk det som skal trekkes fra (subtrahenden) og telle opp det resterende. Neste steg er gjerne å telle nedover. Da teller barnet nedover fra minuenden så mange ganger som størrelsen av subtrahenden tilsier. Legg merke til at barnet samtidig må holde orden på hvor mange ganger det telles (= subtrahenden). En litt mer sofistikert metode er å telle oppover. Her starter man med subtrahenden og teller forover inntil man har nådd minuenden. Differensen er lik antall tall man har telt opp. Denne strategien er lite brukt, men mange forskere mener at den bør undervises mer i skolen. Å beherske den synes å ha en positiv effekt på kunsten å beherske subtraksjon. Resnick[3] mener at mangel på undervisning i denne teknikken i stor grad kan forklare hvorfor så mange elever har større problemer med subtraksjon enn med addisjon.
Etter hvert er det imidlertid et mål at elevene kan regne i hodet. Det må da etableres et hukommelseslager der eleven kan hente informasjon, for eksempel summer og differenser mellom tall under 20 og gangetabellene. Når det gjelder multiplikasjon og divisjon, kan vi ofte se strategier som er en kombinasjon av telling og hukommelse. Rekketelling kan plasseres hit. Hvis en elev skal finne ut hvor mye for eksempel 6 x 8 er, kan han telle 6 – 12 – 18 ... (eller 8 – 16 – 24…). Andre kan huske at 6 x 6 = 36 og telle videre derfra, 36 – 42 – 48. Her kan det finnes mange varianter. Lignende ting kan man finne for divisjon. En vanlig taktikk er da å telle framover, og så forsøke å holde styr på hvor mange steg man har brukt.
Slike tellestrategier som er nevnt over, karakteriseres av Snorre Ostad som backupstrategier. Betegnelsen brukes om ulike tellestrategier, mens strategier som går ut på å hente informasjon fra hukommelsen, kalles retrievalstrategier[4]. Ostad har påvist at elever som kun bruker backupstrategier ved utgangen av andre årstrinn på skolen, gjerne blir hengende ved disse strategiene. Disse elevene stagnerer som oftest i sin utvikling, blir hengende etter de andre, og får store vansker med matematikk videre i skolen. De elevene som klarer å utvikle en mer fleksibel bruk av strategier, får sjelden slike problemer. Det å kunne lagre en del tallfakta og bruke dette på en fleksibel måte, er følgelig av avgjørende betydning for elevens videre utvikling i matematikkfaget. Dette skal jeg komme tilbake til senere.
Implikasjoner for undervisningen
Konstruktivismen står i dag sterkt i den matematikkdidaktiske tenkningen. Denne retningen oppsto som en motreaksjon på behaviorismens overbevisning om at mennesket kan betraktes som et passivt subjekt styrt av stimulanser utenfra. Hovedideen i konstruktivismen er at barn konstruerer sine egne matematiske kunnskaper, og at felles forståelse må skje gjennom samhandling og diskusjon[5]. Selv om man stiller seg tvilende til noen sider ved konstruktivismen som teori, bør det være mulig for de fleste å slutte seg til en del av de prinsippene som konstruktivismen står for.
Konstruktivismen oppfattes ofte som en undervisningsforskrift. Tanken er et dersom man klarer å lage en konstruktivistisk undervisningssekvens, så vil elevene selv konstruere gyldig kunnskap.
Denne tankegangen er imidlertid for enkel. Det er mer fruktbart å se på konstruktivismen som en forklaring på hva som alltid skjer nå mennesker lærer, dvs. at det som formidles alltid påvirkes av mottakeren. Men man har ingen garanti for at resultatet av bearbeidelsen er fullgod og fornuftig.
Matematikken er innviklet og finurlig, og elevene kan fort etablere feiloppfatninger og misforståelser, eller de kan ha gått glipp av sentrale aspekter ved stoffet. Derfor er debatt og avklaring av mening grunnleggende viktig.
Et anerkjent prinsipp er at opplæringen bør bygge på hva barna faktisk vet fra før. Hvis vi skal ta dette prinsippet på alvor, kan vi ikke fortsette å begrense 1.- og 2.-klassingenes arbeid med tall til tallene under 20. Det er jo et utvilsomt faktum at de aller fleste elevene kjenner til større tall enn dette, og mange av dem behersker tallsystemet ganske godt. Dessuten bør vi ta i bruk alle fire regningsarter fra starten av. Barn kjenner jo godt til det å dele ting mellom seg, og dermed vil de også ha mulighet til å forstå sum av like ledd.
I dag starter barna i Norge på skolen når de er seks år gamle. De yngste er bare fem og et halvt år. Etter læreplanen fra 1997 skulle første årstrinn være preget av lek og forberedelse til vanlig skolelæring. Men i LK06 stilles det krav om mer systematisk opplæring allerede fra starten av. Lærerne vil møte elever som befinner seg på svært ulike utviklingstrinn med hensyn til tallforståelse. Det er ikke noe nytt for lærere, men dersom man skal leve opp til prinsippet om at elevene skal få utvikle seg fra der de står, vil det være spesielt viktig å gjøre seg kjent med elevenes forkunnskaper. Penny Munn[6] gir følgende råd:
¡ Undersøk barnets oppfatninger om det å telle før du begynner å arbeide med addisjon, subtraksjon og sammenligning av mengder. Man må undersøke om barnet har oppfattet at det kan være noen sammenheng mellom telling og kvantifisering.
¡ Ta barnas telling på alvor. Man må løsne opp på kriteriet for hva det å telle er for noe. Barnets telling har ofte en rent sosial funksjon. Samtale om høye tall bør oppmuntres; det har også en sosial funksjon.
¡ Fortell ungene i klartekst hva vitsen med å telle er.
Dataene fra Munns forskning støtter Vygotskijs tanker om at læring er en sosial aktivitet. Først etter en lang periode med støtte fra voksne internaliseres de voksnes tellekultur.
I England legger man vekt på å telle videre fra et vilkårlig sted i kjeden. Dette bereder grunnen for å bruke ”telle videre-strategien”, som er det første skrittet mot utvikling av fleksibel bruk av regnestrategier. Etter hvert blir tallordene i seg selv tellbare objekter for barna, noe som utvider mulighetene til å bruke ulike muligheter for å addere og subtrahere. Konkretisering brukes minst mulig. I Nederland og Frankrike har man gjort mye for å gi elevene problemer som er knyttet til deres hverdag utenfor skolen. Man forsøker således å bevege seg bort fra bruk av bøker eller opplegg med hovedvekt på sortering, fargelegging og ren telling.
[1] Ostad 1999: 37 - 38, 55 – 56. Thompson 1997: 53 - 62
[2] En detaljert oversikt er gitt i Appendiks 2
[3] Thompson 1997: 39
[4] Ostad 1999: Se Appendiks 2
[5] Paul Cobb og Erna Yackel i Seeger, Voigt & Waschescio 1998: 159 – 185.
[6] Munn i Thompson 1997: 16 - 18
Ingen kommentarer:
Legg inn en kommentar