HODEREGNING

Kunnskap om summer av to tall som gir 10 som resultat, såkalte tiervenner, er det fornuftig å automatisere tidligst mulig, det vil si senest i 2. årstrinn. Det er også en stor fordel å kunne alle summer av to tall som gir resultater fra 2 til 10, og etter hvert også fra 11 til 20. Men det siste er ikke nødvendig før noe senere. I mellomtiden er det mest fornuftig å legge vekt på hoderegning når det gjelder slike summer. Etter hvert kommer hoderegning med tosifrede tall. Hoveddelen av hoderegningen i perioden før man begynner å jobbe for alvor med algoritmer, vil dreie seg om regning med de tosifrede tallene.

         At man bedriver hoderegning, behøver ikke bety at det er forbudt å skrive noe. Det er imidlertid et poeng at regnestykkene skal skrives horisontalt når man driver med hoderegning. Det gjelder også når man opererer på tosifrede tall. Vertikal skriving brukes kun når man bruker algoritmer. En annen ting er at det er tvilsomt om det gir særlig læringseffekt å skrive side opp og side ned med regnestykker som bare tester hukommelse, men som ikke byr på noen problemer. Da er det sannsynligvis bedre å gjøre grovarbeidet i rent muntlig form. Senere skal vi se litt på hvordan man gjør dette i Japan. Der planlegger man nøye og arbeider systematisk, men bygger likevel på elevenes løsninger. Man er også nøye med å bruke elevenes erfaringer. Heller ikke tror jeg det å telle elementer av ulike objekter i en tegning gir særlig mye bidrag til å utvikle tallfølelsen.

I slutten av første og begynnelsen av andre årstrinn må man forutsette at de fleste elevene kan telle. I tråd med Vygotskij og andre bør man til enhver tid forsøke å bevege seg innen det området som elevene nesten kan, men ikke helt, det vil si det Vygotskij kaller den proksimale eller nærmeste utviklingssonen. Da vil hoderegning med små tall være aktuelt i første og andre årstrinn. Etter hvert som elevene behersker tallene opp til 10, går man raskt over til tall opp til 20 og større. Om man innfører tallsystemet slik som beskrevet over, kan det også være morsomt og interessant å arbeide med hele hundrer og tusener.

Fra Freudenthalinstituttet i Nederland har det kommet en ny idé som er i ferd med å bre om seg. Det er å bruke umerkede tallinjer, det vil si tallinjer uten forhåndsmarkerte enheter. Dette hjelpemiddelet vil bli beskrevet lenger ute i teksten.

Addisjon

Den første store utfordringen er selvsagt å takle tieroverganger. Til å begynne med kan man nøye seg med ensifrede addender, men der summen blir tosifret, det vil si fra 11 til 18. Etter hvert går man over til tosifrede addender, med og uten tieroverganger. Når barn får prøve å løse slike problemer på egne premisser, oppdager man fort at det er stor forskjell på elevene, og at det dukker opp mange måter å regne på. Det følgende bygger delvis på forskning fra England, gjennomført av Carpenter og Moser, og på artikler av Ian Thompson[1]. Noe er også hentet fra Japan.

Telle videre

Dette er den mest direkte metoden. Når en elev skal regne ut 5 + 6, teller han 5… 6… 7… 8… 9… 10… 11. Litt mer sofistikert er det å starte på 6 og telle 5 videre. Metoden kombineres gjerne med å telle på fingrene. Ei jente som skulle legge sammen 11 og 12 så for seg imaginære fingrer, men ga opp dette når hun kom til 22. Da "la hun bare til en til".

Denne metoden faller naturlig for mange, men vi skal huske at det nettopp er elever som ikke tar i bruk andre metoder etter hvert, som gjerne får problemer med matematikken. En annen ting er det at telling også brukes som deler av andre metoder.

Doblinger

Dette synes å være en svært vanlig strategi, men det avhenger trolig av at elevene har jobbet med doblinger eller rekketellinger. Hvis oppgaven er å finne 5 + 6, vil eleven regne 5 + 5 = 10 for så å legge til 1, eller ta 6 + 6 = 12 og trekke fra 1.

         Vanlig er denne strategien når det er forskjell på bare en mellom addendene, men man kan også se at en av addendene dobles, og så telles det videre. 5 + 7 regnes for eksempel som 10… 11… 12, det vil si det dobbelte av 5 og så telling to steg videre.

Bruk av tiere som bru

Her utnyttes kunnskapen om de såkalte tiervennene, det vil si to tall som har sum lik 10. Tiervennen til 6 er 4, til 7 er det 3 osv. Ei jente som skulle addere 8 og 5 sa at hun "tok vekk de to og la det dit". En gutt sa at han "gjorde om åtte til ti og telte 11, 12, 13."

For å kunne bruke denne strategien må elevene ha god innsikt i tiervennene, samtidig som de må klare å splitte en av addendene, slik at de kan bruke den ene delen til å få sum 10 sammen med den andre addenden.

Stegtelling

Dersom elevene har jobbet med stegtelling, kan de utnytte dette i addisjoner. En gutt som skulle regne ut 4 + 5 sa følgende: 4… 6… 8… 9. Han kjente tydeligvis igjen 4 som et ledd i toerrekka. Dessuten må han ha splittet 5 i 4 + 1 og videre 4 i 2 + 2. Når han skulle legge sammen 13 + 15, gjorde han noe lignende. "Jeg telte i femmere etter 15 og la til 3 til slutt." Han endte imidlertid opp med 33, det vil si fem for høyt. Han hadde tydeligvis regnet med en femmer for mye.

Denne feilen er forståelig, for det er mange ting å holde styr på her. Han hadde tydeligvis i farten tatt tre femmere i 13 også, slik han hadde gjort det i 15. Metoden kan følgelig være noe usikker. Det faktum at mange elever synes å ty til metoden på en naturlig måte, tilsier at man bør jobbe med rekketelling i begynneropplæringen, inkludert rekketelling fra ulike startpunkter, for eksempel "tell tre og tre videre fra 12."

Omgruppering

Teknikken med å bruke 10 som bru er en form for omgruppering, men metoden brukes helst når man skal regne med tosifrede tall. Addendene splittes da i tiere og enere. Disse adderes hver for seg, og til slutt legges det hele sammen. 25 + 36 regnes slik: "Tjue pluss tretti blir femti. Fem pluss seks er lik 11. Femti pluss 11 er 61." Eller skrevet med tall: 25 + 36 = (20 + 30) + (5 + 6) = 50 + 11 = 61.

Enkelte elever vil utrykke seg litt upresist og si noe slik som at "to pluss tre er fem. Fem pluss seks er elleve. Femti pluss elleve er sekstien." Dette må aksepteres, da eleven tydeligvis tenker riktig, men man kan (og bør) jo diskutere slike uttrykksmåter i klassen.

Også ved bruk av denne metoden kan man for øvrig se at telling fortsatt brukes. En elev som skulle finne summen av 27 og 28, telte enere fra 40 til 55.

Varianter av omgruppering

Omgruppering kan også gjøres på andre måter enn beskrevet over. Grovt sett kan vi si at det finnes tre hovedtyper av slike omgrupperinger.

§  Delsummer.
Dette er den teknikken som er beskrevet over. 47 + 35 regnes slik: 40 + 30 = 70. 7 + 5 = 12. 70 + 12 = 82.

§  Kumulative summer.
Her beholdes den ene addenden, mens den andre splittes. Så legges de to delene til første addend etter tur. 47 + 35 utføres slik:   

§  Under det siste steget kan det igjen bli benyttet mange strategier, i prinsippet alle de første strategiene som er beskrevet over.

§  Kumulative delsummer.
Dette er en blanding av de to foregående teknikkene. Først legges tierne sammen, men så legges enerne til hver for seg. 56 + 38 gjøres slik:
 eller
Også her kan man se at de 8 splittes i 4 + 4 eller de 6 i 2 + 4, for å bruke 90 som bru, eller liknende varianter. I det hele tatt bruker barn et vell av teknikker når de får lov til å tenke selv.
Det er ikke vanskelig å forstå at dette stiller store krav til læreren.

Subtraksjon

Den viktigste informasjonen barna kan få når det gjelder subtraksjon, er at subtraksjon er det inverse av addisjon; at addisjon og subtraksjon er motsatte regningsarter. Enhver addisjon gir opphavet til to subtraksjoner. Når 8 + 7 = 15, må 15 – 7 = 8 og 15 – 8 = 7. Disse sammenhengene får man ikke presisert for ofte. De har ikke bare betydning for subtraksjon, men også overføringsverdi til algebra og annen logisk tenkning.

         Kjennskap til denne sammenhengen forhindrer ikke at barn kan bruke andre sammenhenger enn man forventer. Ei jente skulle regne ut 14 – 8 og fikk helt korrekt 6 til svar. Hun forklarte regnemåten sin slik: "Det dobbelte av sju er fjorten, så jeg bare tok vekk én." Hun har tydeligvis tenkt at når 8 er én mer enn 7, må hun gjøre om 7 + 7 til 8 + 6.

         Til å begynne med vil barn bruke ulike telleteknikker når de skal subtrahere. I teksten over og i appendiks 2 er det gjort rede for ulike teknikker barn bruker for å subtrahere. Jeg vil likevel gi en oversikt, og supplere med en del nytt.

Telle ut differensen

Metoden kombineres med bruk av hjelpemidler, helst fingrene. Hele minuenden, det vil si det tallet man skal trekke noe vekk fra, holdes opp. Så fjernes subtrahenden, det som skal trekkes vekk, og til slutt telles differensen, eller den leses direkte ut av fingerkonstellasjonen. Til å begynne med kan metoden kreve inntil tre tellinger, men barn lærer fort å lese direkte på fingrene hvor mange det er.

         Noen barn bruker mentale bilder i stedet for fingrene. "Jeg bare veltet tre kjegler, så var det fire igjen."  Han som sa dette er midt inne i prosessen med å abstrahere tallene. Fremdeles må han bruke indre bilder for å kunne beregne 7 – 4, men han har gjort seg uavhengig av konkreter, og det er derfor unødvendig å gi ham konkreter å telle på.

         Teknikken byr på problemer når tallene blir større enn ti, men en del barn fortsetter å bruke metoden og viser stor oppfinnsomhet når det gjelder å finne hjelpemidler. Ian Thompson forteller for eksempel om Anna som skulle finne hvor mye 11 – 5 var, og som tydelig brukte fingrene. På spørsmål om hvordan hun hadde gjort dette, sa hun at hun hadde brukt ei avis som tilfeldigvis lå i nærheten som gjenstand nummer elleve. Senere brukte hun fem innbilte objekter. En annen jente brukte kroppsdeler, merker på klær osv. I prinsippet er dette den samme løsningen som har blitt brukt i mange kulturer uten skriftspråk.

Telle ned

Dette er mer effektivt når tallene blir litt større. Metoden er imidlertid mentalt krevende. La oss si at man skal regne ut 17 – 8. Tellingen går da 16… 15… 14… 13… 12… 11… 10… 9, eller alternativt fra og med 17 til og med 10. Barnet må klare å telle baklengs fra et bestemt tall, denne tellingen må gjøres korrekt, og det må holdes styr på antall steg bakover. Det brukes faktisk to tellinger samtidig, en som går nedover, i eksempelet over fra 16 til 9, og en som går oppover, fra 1 til 8. Det er derfor ikke rart at barn av og til gjør feil når de bruker denne metoden. Dessuten er dette med "fra – til" en vanskelig sak. Det er veldig fort gjort å forveksle dette med "fra og med – til og med". Fra 1 til 2 er det ett steg, men fra og med 1 til og med 2, er det to![2] I eksempelet over er det fort gjort å starte på 17 og ende på 10. I og med at tellingen begynner "fra og med 17", kan den ikke slutte før til og med det niende steget (ett steg mer enn 8), det vil si på 9, dersom svaret skal bli korrekt.

Telle opp fra

I denne strategien telles det opp fra subtrahend til minuend. For eksempel regnes 9 – 5 ved å telle (5…) 6… 7… 8… 9… det vil si fire tall, og svaret er 4. Dette er en krevende måte å telle på, for man må både regne oppover og holde oversikt over antall trinn. Man kan imidlertid se at barn holder opp fingrer etter hvert som de teller seg oppover, uten at de behøver å telle fingrene som holdes opp.

         Det har vært diskutert i hvilken grad denne metoden faller naturlig for barn. Svaret synes å være at forholdsvis få bruker denne metoden spontant, noe som henger sammen med forstillingen om at subtraksjon går ut på å trekke vekk noe fra en mengde eller et tall. Metoden kan kanskje føles mer naturlig dersom det gis problemstillinger som er utformet på en måte som passer for å tenke oppover.

Bruke tiere som bru

Her brukes en kombinasjon av omgruppering og bruk av tiervenner. For å regne ut for eksempel 26 – 9, tas det først vekk 6 for å komme til 20. Deretter tas det vekk 3 til, og man ender på 17. Vi ser at 9-tallet er delt i 6 + 3. Denne delingen er gjort fordi 26 – 6 blir 20. Deretter utnyttes kunnskapen om tiervenner for å bestemme at 20 – 7 blir 13. Legg imidlertid merke til at det er mulig å utføre det siste trinnet uten å bruke kunnskap om tiervenner, idet det går an å telle nedover fra tieren. Noen barn vil nok gjøre det.

En blandingsvariant

For å regne ut 17 – 8 kan man dele 17 i 10 og 7. Deretter kan man trekke vekk 8 fra 10, for så å telle opp det man har igjen, det vil si 2 og 7, til sammen 9. Her splittes minuenden, ikke subtrahenden, slik som i metoden over. Deretter adderes to tall, noe som selvsagt også kan gjøres på ulike måter. I Japan kalles denne metoden subtraksjon-addisjonsmetoden, mens metoden med å splitte subtrahenden kalles subtraksjon-subtraksjonsmetoden[3].

En felles utfordring når det gjelder å øve opp elevene til å regne i hodet, er å regne med større tall enn i eksemplene som er brukt i teksten over. Lettest vil det være å regne med tall uten tierovergang, deretter der det er tierovergang, men med ensifret resultat, for eksempel slik som 55 – 48. Så kommer problemer med tierovergang og tosifret svar, slik som 55 – 28. Når man kommer så langt, kan bruk av umerket tallinje være et godt hjelpemiddel.

Regning på umerket tallinje

Nederland er som sagt før et av de landene som ligger langt framme når det gjelder matematikkopplæring på begynnerstadiet. I TIMSS-undersøkelsen fra 2003 lå nederlandske fjerdeklassinger to år foran de norske. Årsakene til disse forskjellene er sikkert mange og kompliserte, men selve undervisningsmetodikken i faget må vel også bety en del. Ett av de grepene som er gjort i Nederland, og som mange i England ønsker å adoptere, er bruk av umerket tallinje når man starter å addere eller subtrahere med tosifrede tall. Jeg skal ta noen eksempler på hvordan dette gjøres. Stoffet er hentet fra boka “Enhancing primary mathematics”, et kapittel skrevet av Laurie Rousham[4].

         Utgangspunktet for eksemplene under er en tegning av en storfamilie, der alderen på de ulike familiemedlemmene er oppgitt[5]. Første eksempel viser hvordan man kan finne aldersforskjellen mellom en bestemor på 91 og et barnebarn på 37. Nedenfor kan vi se fire løsningsmetoder. Eksemplene er hentet fra en skoletime og viser forslag til løsninger som barna selv foreslo. Det viser seg likevel at de løsningsmetodene som ble foreslått, er metoder som er kategorisert på en systematisk måte, og som undervises spesielt.

Løsning nr. 1 (N10)

Løsningsmetoden kalles “Number  10” (N10): Første tall  tiere  siste ener. På norsk kunne vi kalle metoden ”Tall  10” - T10.

         Når eleven skal trekke fra 37, starter han med å trekke fra tre tiere, en og en om gangen. Deretter trekkes de sju siste vekk. I eksempelet over er det siste gjort i to trinn, da den hele tieren 60 er brukt som bru. Legg merke til at man starter på 91. Minuenden beholdes altså intakt.

Løsning nr. 2 (A10)

“Add to the nearest ten” (A10): Legg til (trekk fra) så mye at du får nærmeste tier. Norsk navn kan være ”Adder eller subtraher til nærmeste tier” – AS10.

         Her trekker man først fra så mye at man kommer ned til nærmeste hele tier. Deretter trekkes tierne fra. (Dette kunne selvsagt også vært gjort i sprang på ti og ti.) Til slutt trekkes de ubrukte enerne fra.

Løsning nr. 3 (N10C)

“Number  10 + compensate” (N10C): Gå hele tiere fram og gå så tilbake når du har kommet et skritt for langt. Vi kunne kalle metoden ”Gå til nærmeste tier og kompenser” – N10K.

         Subtrahenden, 37, rundes av oppover til nærmeste tier, dvs. til 40. Så trekkes de 40 fra 91. Nå har man trukket fra tre for mye. Til slutt legges disse tre til igjen.

Løsning nr. 4 (“Count on”)

“Count-on”: Man teller oppover fra subtrahend til minuend.

Dette er slik man gjør i kiosken eller butikken når man gi tilbake penger. Metoden er en svært vanlig og naturlig måte å regne på.

Eksemplene over dreier seg alle om subtraksjon. Metodene fungerer selvsagt like godt for addisjon. Legg merke til at splitting av første tall ikke brukes, heller ikke ved addisjon. Det fører nemlig til problemer i subtraksjon. En forutsetning for bruk av metodene er at ungene behersker ”tiervenner”. I Nederland lærer ungene de fire metodene som er illustrert over. N10 er hovedmetoden som alle skal lære.

Multiplikasjon og divisjon

Barns første erfaring med multiplikasjon kommer når de danner like store grupper og innser at de kan telle antall grupper i stedet for å telle opp alle elementene. Dette er lettest når det finnes en naturlig gruppering, slik som et par sko eller et sett med dekk på en bil. Dagligdagse aktiviteter som å sette på dekketøy på et bord innebærer gruppering, og disse kan telles. En annen innfallsvinkel kan være når de er med og handler mange like ting, dvs. at man skal betale samme beløpet mange ganger. Barn får også øvelse i deling når de skal dele ting likt mellom seg, og mye av språkbruken er felles for multiplikasjon og divisjon. Arbeid med grupper og gruppering vil øve opp kjennskapet til det matematiske språket[6].

Før man begynner å bruke ord som ”multiplisere” og ”dividere”, kan man bruke uttrykk som ”så og så mange ganger”, ”så og så mange mengder av”, ”like deler”, ”dele likt” og lignende.

Ved siden av å jobbe med språket må man begynne å lære tellesekvenser som 2, 4, 6, … og andre slike sekvenser. Både rytmisk telling og stegvis telling (sekvenser) vil være nyttig for å lære multiplikasjon og divisjon. Rytmisk telling med trykk på enkelte tall vil være en bro mellom disse to. Også tierne (og femmerne) kan læres på denne måten.

Til å begynne med kan også dette gjøres ved å telle konkreter. I tråd med det som er sagt tidligere, går man etter hvert over til å bruke bare telleordene. Én måte å gjøre dette på kan være å vise barn en mengde ordnet i rekker, og så skjule mengden før man spør hvor mange det var.

Det er observert mange måter barn bruker fingrene på for å telle opp slike usynlige mengder. Denne formen for telling innbærer at barnet må holde styr på en eller annen faktor i hodet. Dette problemet kan reduseres eller elimineres hvis barnet er fortrolig med tellesekvenser.

Det viser seg at barn ofte har problemer med det voksne språket som er knyttet til multiplikasjon. Dette er alvorlig, for det er som sagt tidligere en svært nær sammenheng mellom språkforståelsen og den muligheten man har til å forstå den matematiske strukturen. Man må derfor jobbe mye med språket når man driver med multiplikasjon. Multiplikasjon som fenomen er dessuten et svært rikt begrep, som kan varieres i det uendelige. Multiplikasjon betyr mangfoldiggjøring, og gjentatt addisjon er derfor den grunnleggende definisjonen av multiplikasjon. Men multiplikasjon brukes i mange andre sammenhenger, der det er nødvendig å utvide forståelsen av hva begrepet innebærer. Et velkjent eksempel kan kanskje være multiplikasjon av vektorer. Men allerede når man begynner å gange med desimaltall, er det nødvendig å utvide multiplikasjonsbegrepet.  Å hjelpe elevene til å forstå de språklige uttrykkene er derfor av overordnet betydning.

Julia Anghileri[7] har gitt noen eksempler på hvordan barn kan misforstå. Noen barn ble vist staver som var sammensatt av terninger med ulike farger. Stavene besto av fire sett med to terninger av ulik farge.

Barna ble spurt hvor mange farger det var. Mange svarte 8. Da de ble spurt etter navnet på fargene, var det noen som korrigerte svaret, men ikke alle gjorde det.

De ble så bedt om å lage en stav med fem farger og tre kuber av hver farge. En vanlig feil var å lage en stav med 5 ulike farger først og så tre like kuber til slutt:

En annen feil var å lage en stav med 3 x 3 farger:

Det var altså vanskelig for barna å forstå hvordan de to tallene tre og fem skulle brukes, og for mange barn å få tak i betydningen av ordet ”hver” i uttrykket ”… av hver farge”. Dette ordet er et nøkkelord for å kunne få tak i multiplikasjon og divisjon.

         Man kan få et inntrykk at kompleksitet i språket ved å sammenligne uttrykk som ”delt likt mellom tre”, ”delt med tre”, ”delt i tre” og ”delt i treere”. Matematisk forståelse er avhengig av at man kan skille mellom detaljene i slike uttrykk.

Multiplikasjon og divisjon kan bygges opp gradvis ved å jobbe med spørsmål som ”hvor mye er det i alt når du har fire med tre i hver?”, ”hvor mange treere er det i tolv?” osv. Det synes å være en nær sammenheng mellom utvikling av forståelsen for dette og utviklingen av barns strategier i addisjon og subtraksjon. Sammenhengene kan beskrives slik:

         Multiplikasjon er mer innviklet enn addisjon, da man må holde styr på hvor mange ganger multiplikanden gjentas. En forutsetning er at barnet behersker kardinalitet, at det siste tallet i første gruppe angir størrelsen av gruppen. Ifølge Anghileri kan svært få barn i førskolealder bruker multiplikasjonsfakta direkte, men en god del kan hente dem fram på direkte spørsmål. Å operere med flere like stor mengder synes å falle helt naturlig, og det er da også et vanlig fenomen. På samme måten er det naturlig å dele en mengde i like store delmengder. Tenk bare på barn som skal dele et kakestykke eller en pose med sukkertøy. Situasjoner som fører til multiplikasjon og divisjon er naturlige og hyppig forekommende situasjoner. Begge regningsartene bør derfor i en forsiktig form innføres allerede fra skolestart. Dette betyr ikke at man skal innføre pugg av gangetabellene på et så tidlig tidspunkt. Det er prinsippene om mangfoldiggjøring og deling som er viktige.

         Rytmisk telling med trykk på enkelte tall vil være en bro mellom regningsartene. Det samme gjelder telling i sekvenser (stegtelling). Også tiere og femmere kan læres på denne måten.

         Når det gjelder bruk av konkreter i forbindelse med multiplikasjon og divisjon, bør også her Magnes prototyplæring danne mønster. Da begynner man med konkreter, men etter hvert går man over til bare å bruke telleordene. En måte å gjøre dette på kan være å vise barn en mengde ordnet i rekker, og så skjule mengden før man spør hvor mange det er.

I slike tilfelle er det naturlig for barn å bruke fingrene. Barnet ser da den usynlige mengden for seg. Det må holde styr på en eller annen faktor i hodet. Dersom man venner barnet til å bruke stegvis telling, kan dette etter hvert overflødiggjøres.

---

[1] Thompson 1997: 39, 97 – 109, Thompson 1999: 145 – 156, Thompson 2003: 16 – 27, Fernandez & Yoshida, 2004.

[2] Jeg tror det må være dette fenomenet som lå bak når folk i mitt fødedistrikt før i tiden sa at "åtte dager" om i ei uke, mens to uker mer korrekt ble kalt "fjorten dager".

[3] Fernandez & Yoshida 2004: 47 – 48, 52 – 54, 142 - 143

[4] Rousham i Thompson 2003: 29 - 39

[5] Legg merke til at man opererer med noe barna har erfaringer med eller kan forestille seg, ikke med noe helt konkret. Man opererer på et halvabstrakt plan.

[6] Anghileri i Thompson 1997: 43 - 51

[7] Anghileri i Thompson 1997: 41 - 43