De fleste av oss er så vant til å se de algoritmene (regnereglene) vi lærte på skolen at vi har problemer med å tro at utregninger med de fire regningsartene kan gjøres annerledes. Alle ser ut til å bruke dem, og vi ser nesten aldri andre metoder i bruk. Like fullt er det et faktum at det finnes et vell av regnemetoder rundt omkring på kloden, og vi trenger ikke gå lenger enn til England for å finne andre varianter enn våre egne. Alle disse algoritmene har selvfølgelig sin forhistorie, og de har ikke alltid vært slik som nå.
Litt historikk
De standardalgoritmene som blir undervist i skolen, ble i sin tid utviklet for å kunne regne mest mulig effektivt for hånd. Den gang det tallsystemet vi bruker kom til den arabiske verden omkring 800 e.Kr., representerte de et stort framskritt. I Damaskus i år 952 utga Al-Uqlidisi en bok om bruk av disse tallene[1] hvor han skrev følgende:
De fleste skrivekyndige vil måtte gå over til det indiske systemet fordi det er enkelt og raskt å bruke, og det krever ikke mye forsiktighet. Du får svaret raskt, og det er ikke nødvendig å holde hjertet særlig aktivt under arbeidet, som i så stor grad foregår ved hjelp av hendene at selv om han må snakke, så vil ikke arbeidet bli ødelagt. Og hvis han forlater arbeidet for å gjøre noe annet, vil han finne det igjen og kunne fortsette der han slapp når han kommer tilbake. Han kan spare seg arbeidet med å huske det utenat. Dette er ikke tilfelle med annen aritmetikk, som krever bøying av fingrer og andre teknikker. De fleste som regner, vil måtte bruke den indiske metoden med tall som er for store til å behandle med hånden.
Boken der dette ble nedskrevet, er den første kjente boken der de indiske tallene ble beskrevet. Der beskriver også Al-Uqlidisi bruken av desimaler. Sannsynligvis hadde en annen arabisk matematiker, Al-Samawal, tatt i bruk desimaler noen år tidligere, men det er i alle fall på denne tiden desimaler ble innført. I Europa ble de ikke tatt i bruk før belgieren Simon Stevin tok dem i bruk på slutten av 1500-tallet. Resten av tallsystemet, som i dag kalles det hindu-arabiske systemet, hadde imidlertid på det tidspunktet vært kjent lenge også her i Europa, selv om vi lå et godt stykke etter araberne.
Etter romerrikets fall i 476 C .E var det generelle kunnskapsnivået lavt i Europa. Den matematiske aktiviteten lå nede, men det antikke pensum, quadrivium (aritmetikk, geometri, musikk og astronomi) ble likevel beholdt der det ble gitt undervisning (klosterskoler). Det viktigste matematiske spørsmålet for kirken var kalenderen, spesielt plassering av påsken. En viss interesse for faget ble vekket omkring tusenårskiftene. Tidens mest kjente matematiker, Gerbert d’Aurillac, ble pave i år 999 under navnet Sylvester II[2]. Han var interessert i landmåling og astronomi. Han arbeidet også med tellebord, hvor tallene var delt i potenser av 10 (vårt posisjonssystem).
Fra et stykke ut på 1100-tallet og utover kom det flere oversettelser av arabiske matematiske skrifter, både klassiske skrifter og rent arabiske[3]. Disse oversettelsene dannet grunnlaget for den senere utviklingen i Europa. Det vil føre for langt å gå inn på de ulike personene som tok opp matematikk som tema i denne tiden, men jeg vil nevne ett navn, Leonardo av Pisa (ca. 1170-1240).
Leonardo er i dag mest kjent under navnet Fibonacci (sønn av Bonaccio). Faren var kjøpmann i Pisa, og sønnen reiste i ungdommen mye, mest sannsynlig i forbindelse med farens handelsvirksomhet. Han ble da godt kjent med arabernes matematikk. Omkring år 1200 begynte han å skrive om det han hadde lært, noe han drev med i 25 år. Hans mest kjente verk er boka «Liber abbaci» - kunsten å regne.
Leonardo begynte sin tekst med å innføre de hindu-arabiske tallene. Siden viser han løsningen av diverse problemer. Det mest kjente er det såkalte kaninproblemet: Hvor mange kaniner kan du få fra ett par kaniner i løpet av et år? Han antok da at kaniner kunne få avkom etter 1 måned, og at alle par ga opphav til et nytt par hver måned[4]. Etter utgivelsen av denne boken kom arabertallene gradvis i bruk, selv om det tok sin tid. En hel yrkesgruppe, abakistene, levde av å regne for andre og de følte seg naturlig nok truet. Bruk av romertallene og regning på abakus holdt seg derfor lenge i mange sammenhenger.
Nå har historiens hjul rullet videre, og i løpet av de siste tiårene har mulighetene til å gjøre raske beregninger gjennomgått en ny revolusjon. Lommeregnere og datamaskiner finnes overalt. De er langt raskere og sikrere enn oss mennesker til å regne. Pålitelige er de også, hvis man bare sørger for å taste inn riktige opplysninger. Dette kan det imidlertid skorte på, så det er best å være oppmerksom.
Hva betyr så denne utviklingen for skolematematikken? Sannsynligvis vil det fremdeles gå lang tid før vi finner et endelig svar på det, og foreløpig synes det som om skolen ikke har tatt særlig hensyn til utviklingen. Bruk av nyere regneverktøy er riktignok innført, men andre konsekvenser er lite drøftet. I tidligere tider har et av de viktigste målene i matematikkopplæringa å gjøre elevene til effektive regnere. Drill av gangetabell og algoritmeregning har hatt en stor plass. Nå i dag kan man lure på om dette aspektet er så viktig lenger. Er skolen i samme situasjon som middelalderens abakister?
Personlig tror jeg ikke sitasjonen er riktig så dramatisk, men det finnes også likhetspunkter. Vi mennesker kan ikke konkurrere med de elektroniske hjelpemidlene når det gjelder regneferdigheter, så det er liten hensikt i å legge samme vekt på ferdigheter i å regne på papir som man gjorde før. På den annen side vil nødvendigvis størstedelen av lærestoffet i grunnskolen handle om problemstillinger der man bruker de fire regneartene. Selv om elever og lærere bruker elektroniske hjelpemidler, vil det utvilsomt være en fordel å kunne regne, og kanskje aller mest i hodet. Fortsatt må man regne med at vi ved gjennomgang av stoff, ved diskusjoner om løsninger, ved oppsummering av en problemløsningssekvens og klargjøring av løsningsprinsipper, vil gjøre en del beregninger manuelt. Elever som ikke kan gangetabellene eller som er svake til å addere og subtrahere, vil fort få problemer. Dessuten vil det å kunne vurdere resultater betinge at man har god tallfølelse og tallbeherskelse. Det samme gjelder i situasjoner der man er avhengig av, eller har nytte av, å kunne gjøre raske overslag, noe som for eksempel kan være aktuelt når man er ute og handler. Derfor er det like viktig som før at elevene behersker tallregning, inkludert å kunne gangetabellen.
Derimot vil det være mindre viktig å beherske akkurat den type algoritmeregning som man kjenner fra før. Disse algoritmene er jo spesiallaget for å regne fort for hånd, noe som det i og for seg kunne være nyttig å beholde, men de er laget slik at det er svært krevende å forstå hva man egentlig gjør når man bruker dem, og dessuten har ferdighet i å bruke dem liten overføringsverdi til andre typer matematikk. Personlig tror jeg derfor at vi med fordel kunne vektlegge sterkere bruk av algoritmer som er mer i tråd med slik vi regner i hodet – og slike algoritmer finnes. Det skal vi se på snart. I hvor stor grad man også skal gi opplæring i de tradisjonelle algoritmene, er etter min vurdering et åpent spørsmål.
I skolen finnes det en del elever som har spesielle vansker i matematikk. Vanskene kan være av ulike slag, men en stor del av disse elevene har problemer med tallfakta. I tidligere tider har mye av spesialundervisningen overfor disse elevene vært preget av endeløs drill av ting som de aldri lærte seg å mestre. I mange tilfelle har dette nærmet seg overgrep mot elever. I dag kan vi la dem bruke elektroniske hjelpemidler. På den måten kan de få del i kunnskap om andre matematiske forhold, selv om tallbeherskelsen er dårlig. Man kan ikke regne med at slike elever blir flinke i hoderegning eller til å gjøre overslag, men det må ikke forhindre oss i å undervise dem i for eksempel kjøp av varer, målinger eller arealer og volumer. Andre mennesker har andre funksjonshemminger, og ingen vil forvente at de fungerer som funksjonsfriske i alle sammenhenger. Likevel må det være et mål å la dem få delta i et normalt liv så langt det er mulig. Det samme prinsippet må gjelde for elever med spesielle matematikkvansker. Derfor må de få bruke kalkulator som hjelpemiddel, selv om de kan ha problemer med å vurdere resultatene like godt som andre. Slike elever vil sannsynligvis også finne det lettere å lære algoritmer som er i tråd med det de naturlig vil tenke, enn å lære våre tradisjonelle standardalgoritmer. De svake elevene er ikke mindre avhengig av å forstå det de driver med enn de flinke, heller tvert imot.
Et grunnproblem ved valg av algoritmer vil alltid være hensynet til foresatte. Mange vil synes det er vanskelig å hjelpe barna sine når skolen bryter med de tradisjonene de er vant til. Dette problemet vil gjelde alle algoritmer som omtales i teksten under. Det er likevel et spørsmål om ikke tiden er moden for en revisjon av våre regnemetoder.
Ingen kommentarer:
Legg inn en kommentar