Etter hvert vil mange andre strategier være aktuelle. En av dem er doblinger. Denne strategien kan brukes til mange former for videreutvikling. For eksempel er 6 + 6 = 12. Da kan man fort få med elever flest til å forstå at 5 + 6 eller 6 + 5 må være 11, dvs. en mindre enn 12.
Det kan være smart å bruke doblinger og avledninger av den strategien som øvelse for elever med spesielle matematikkvansker. Som ellers er det all grunn til å tro at det som er en god strategi for elever med slike vansker, også er god strategi for andre elever. I tillegg bruker hun spesielle fakta om å regne med 10 og med 9. Mange elever vil lage slike eller lignende strategier selv. Oppsummert kan anbefalingene se slik ut:
Addisjon
§ + 1 og + 0 – prinsippet: Legge til 1 eller 0 til et hvilket som helst tall.
§ Forbindelsene 2 + 2, 3 + 3, 4 + 4, 5 + 5, 6 + 6, 7 + 7, 8 + 8, 9 + 9.
§ Samme forbindelsen som over + 1:
2 + 3, 3 + 4, 4 + 5, 5 + 6, 6 + 7, 7 + 8, 8 + 9.
2 + 3, 3 + 4, 4 + 5, 5 + 6, 6 + 7, 7 + 8, 8 + 9.
§ Samme forbindelser + 2:
2 + 4, 3 + 5, 4 + 6, 5 + 7, 6 + 8, 7 + 9.
2 + 4, 3 + 5, 4 + 6, 5 + 7, 6 + 8, 7 + 9.
§ + 10 – prinsippet:
2 + 10, 3 + 10, 4 + 10, 5 + 10, 6 + 10, 7 + 10, 8 + 10, 9 + 10, 10 + 10.
2 + 10, 3 + 10, 4 + 10, 5 + 10, 6 + 10, 7 + 10, 8 + 10, 9 + 10, 10 + 10.
§ Fakta om + 9:
2 + 9, 3 + 9, 4 + 9, 5 + 9, 6 + 9, 7 + 9, 8 + 9, 9 + 9.
2 + 9, 3 + 9, 4 + 9, 5 + 9, 6 + 9, 7 + 9, 8 + 9, 9 + 9.
§ Gjenstående summer (som må læres separat):
2 + 5 2 + 6 2 + 7 2 + 8
3 + 6 3 + 7 3 + 8
4 + 7 4 + 8
5 + 8
Direkte retrieval, dvs. å hente informasjon direkte fra et kunnskapslager, forekommer hyppigere når man har bygget opp slike forbindelser.
Når barn har fått smaken på å arbeide med slike sammenhenger, vil de ofte finne på nye selv. Man har for eksempel sett elever som regner ut 7 + 4 ved å ta det dobbelte av 4 pluss 3. For å få til dette må de ha ganske mange ting i hodet samtidig.
En vanlig strategi er å bruke 10 som mellomtrinn. 8 + 5 regnes da ut ved å si at 8 + 5 = 8 + 2 + 3 = 10 + 3 = 13[1]. Femmeren splittes slik at den ene delen pluss 8 blir lik 10. En annen strategi er å telle i trinn: 13 + 15 = 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 3 = 25 + 3 = 28. Ved regning med tosifrede tall er det naturlig å gruppere tallene i tiere og enere, for eksempel slik:
35 + 26: 3 + 2 = 5 (tiere); 5 + 6 = 11; 50 + 10 = 60; 60 + 1 = 61, eller
25 + 14 = (25 + 10 + 4 =) 25… 36… 37… 38… 39.
Det er et faktum at barn sjelden gjør feil når de bruker sine egne strategier. Når det blir for mange ting å holde styr på, kan likevel feil oppstå, slik som i de to siste eksemplene over.
35 + 26: 3 + 2 = 5 (tiere); 5 + 6 = 11; 50 + 10 = 60; 60 + 1 = 61, eller
25 + 14 = (25 + 10 + 4 =) 25… 36… 37… 38… 39.
Det er et faktum at barn sjelden gjør feil når de bruker sine egne strategier. Når det blir for mange ting å holde styr på, kan likevel feil oppstå, slik som i de to siste eksemplene over.
Generelt sett er det viktig å arbeide med addisjoner og subtraksjoner opp til 20. Dette gir grunnlag for å arbeide fritt med tosifrede tall og høyere tall. Målet er imidlertid ikke å bare pugge regning med tall opp til 20, men å bygge opp fleksible strategier.
Senere skal vi se at man i Nederland har utnyttet slike regnestrategier til å utføre beregninger på en umerket tallinje.
Subtraksjon
Det er viktig at barna lærer å se sammenhengen mellom addisjon og subtraksjon. Når en elev for eksempel har lært seg at 7 + 4 = 11, er det viktig at eleven også får med seg at da må jo 11 minus 7 være lik 4 og 11 minus 4 lik 7. Det er lærerens oppgave å sørge for at disse sammenhengene blir synliggjort og bevisstgjort.
Slike sammenhenger kan så brukes som en del av en strategi for å utføre subtraksjoner. En elev skulle for eksempel regne ut 14 – 8 og sa at ”to sjuere er 14, …så du tar vekk en til” (og får 6). Eleven har her brukt at 8 er én mer enn sju, og derfor må 8 + 6 (én mindre enn sju) være like mye som 7 + 7.
Under observasjon av barn i tidlig skolealder har man naturlig nok sett andre strategier i bruk. Ian Thompson har beskrevet fant fire strategier som barna brukte[2]:
1. Telle ut. Minuenden vises med fingrene og så fjernes subtrahenden.
Ved bruk av denne metoden brukes ofte fingrene. Noen forestiller seg bruk av konkreter i hodet.
Enkelte barn tar i bruk både fingrene og andre ting, for eksempel andre kroppsdeler eller andre ting i nærheten.
Ved bruk av denne metoden brukes ofte fingrene. Noen forestiller seg bruk av konkreter i hodet.
Enkelte barn tar i bruk både fingrene og andre ting, for eksempel andre kroppsdeler eller andre ting i nærheten.
2. Telle ned fra minuenden. Denne metoden er sikrere ved høyere tall enn 10, men metoden innbærer telling baklengs, og barnet må derfor ha oversikt over hvor mange ganger det telles ned. Dette kan føre til feil.
3. Telle opp fra subtrahenden.
4. Bruk av 10 som mellomtrinn. Eks.: 15 – 9 = 15 – 5 – 4. 23 – 9: ”Tre og seks er ni ...jeg tok vekk tre og fikk tjue,… og jeg hadde seks slik at det blir fire… så det blir fjorten.”
Ifølge Resnick[3] behersker oftest barn i 9-årsalderen både metode 2 og 3, men telle ned-teknikken observeres hos barn helt fra 3 til 13 år. Han mener at telle opp-teknikken bør undervises mer i skolen enn det som er vanlig. Han mener at mangel på slik undervisning i stor grad kan forklare hvorfor så mange elever har større problemer med subtraksjon enn addisjon. Dette synet støttes av observasjoner gjort av andre forskere.
Multiplikasjon og divisjon
Observasjonene som er gjengitt her[4], ble gjort med barn som ikke hadde arbeidet med multiplikasjon. De ble likevel bedt om å løse noen enkle multiplikasjonsproblemer. Noen eksempler på svar:
1. Telling på fingrene.
2. 3 x 4: 8… 9…10…11…12 (dobling pluss telling).
3. 6 x 6: 6 – 12 – 24 og så telling til 36.
4. Stegtelling.
5. Stegtelling kombinert med å telle videre.
6. Kombinasjoner med bruk av kjente fakta. Eks.: 6 x 9:
”Femtien; seksti og så ni nedover.”
(Dette ble feil fordi hun telte 9 nedover i stedet for 6).
”Femtien; seksti og så ni nedover.”
(Dette ble feil fordi hun telte 9 nedover i stedet for 6).
Noen eksempler var ganske innviklede.
Lærere må se forskjell på barn som ikke klarer å bruke annet enn enkel telling og barn som bruker telling i et mer utviklet mønster av strategier. Lærere må også lytte til barnas forklaringer på det de gjør. Observasjonene gir imidlertid god støtte for det synet at man bør innføre alle fire regningsartene allerede fra skolestart.
Prosepter
Etablering av numeriske begreper er en mangesidig prosess. Den betinger at oppmerksomheten flyttes fra fysiske gjenstander til tall og deres symboler, dvs. den aritmetiske verden. Barn som kommer gjennom denne prosessen, får et redskap for å kunne utvikle videre matematisk kunnskap. De som ikke kommer vel gjennom, står forvirret tilbake og vil synes at all videre matematikk er uforståelig. Telling er en viktig del av denne prosessen, men telling er et tveegget sverd. Dersom elevene etter at de er åtte år fremdeles bare bruker telling som regnestrategi, er de ille ute å kjøre. Det gjelder å utvikle mest mulig fleksible strategier. Når vi lærer å telle, knytter vi som oftest tallene til konkrete ting. Det er imidlertid svært begrensende å fortsette med det. Så lenge barnet beholder denne tilknytningen, vil det bruke tallordene som adjektiver: sju år, fem kaker. Aritmetikkens fulle potensial oppnås først når man klarer å bruke tallordene som rene substantiver. Numeriske uttrykk representerer både en prosess og et objekt. Man kombinerer i dag begge aspektene i noe som kalles et prosept (prosess + objekt)[5]. Eksempler:
¡ 3 + 4 representerer prosessen å legge sammen, men også summen 7.
¡ ¾ kan bety å dele, eller det kan være en brøk.
¡ 3 x 4 kan bety gjentatt addisjon av 4 eller produktet 12.
Elever som beveger seg vekk fra det rent konkrete, begynner å oppfatte tallene som mentale objekter. Da kan de etablere relasjoner mellom tallene uavhengig av andre ting. De fleste barn mestrer dette ganske tidlig, kanskje allerede i femårsalderen, mens andre henger etter. Etter hvert som tallkombinasjonene blir vanskeligere, vil de elevene som kan behandle tallene på en fleksibel måte, synes at aritmetikken er mye enklere enn de som er bundet til bare å telle.
For de som ikke mestrer annet enn dette, vil også subtraksjon framstå som en annen måte å telle seg fram på. Dette kan gå greit så lenge tallene er små, men blir håpløst når tallene er større. Barn som bruker rene tellestrategier for å addere, har en tilbøyelighet til å telle bakover når de skal subtrahere. Ei jente som skulle ta 19 – 13, telte slik: 19, 18, 17, 16, 15, 13… 14, 15… 14, 13, 12… Dette er selvfølgelig vanskelig selv om man tenker på noe konkret. Jenta oppdaget at hun var i ferd med å gjøre feil etter 15, men klarte å rette opp feilen.
Når elever har slike problemer, er det som lærer lett å ty til konkreter. Dette kan tilsynelatende gi framskritt, men det ser ut til at slike tiltak like gjerne bidrar til å fryse fast telling som eneste strategi. En annen teknikk er å bruke tallinje og la eleven telle på den. Men her oppnår man jo heller ikke noe annet enn at barnet teller. Etter min mening er det bedre å drive med litt aktiv talltrening for å oppøve tallfølelsen. Det er ikke meningen at slike talløvingsøkter skal være lange. Inntil 10 minutter kan være nok. For elever med spesielle vansker kan det være lurt å kombinere dette med å bruke kalkulator eller regneark.
Et eksempel: elever bør vite at tallet 54
· er litt mer enn halvparten av 100
· er et nummer mellom 50 og 60
· ligger nesten halvveis mellom 50 og 60 på tallinja
· kan være nummeret på et hus eller en buss
· er sida etter nr. 53 i boka og sida før 55
· er alderen på læreren
· er det beløpet du har i lomma når du har 5 tiere og 4 kronestykker
· er den strekningen du har løpt når du er litt over halvveis på en hundremeter
Det er ellers et faresignal når barn begynner å be om «vis meg hvordan jeg skal gjøre det», framfor å bruke proseptet som et fleksibelt verktøy. Å bare gi dem prosedyrer kan hjelpe på kort sikt, men straffer seg i lengden.
Ingen kommentarer:
Legg inn en kommentar