I matematisk teori skiller man mellom tallenes kardinale og ordinale verdi. Ordet kardinalverdi betyr egentlig essensielle verdi, primære verdi eller hovedverdi. Tallenes ordinale verdi kommer fram når vi setter ting i rekkefølge. Vi kan si at betegnelsene første, andre, tredje osv. er tallenes ordinale verdi. Antallet i en mengde er uavhengig av hvilken rekkefølge vi teller elementene i. Antallet er lik det siste tallet vi kommer til. For å teste om et barn har oppfattet dette, kan man be det telle en viss mengde gjenstander og så umiddelbart etter at barnet har telt ferdig spørre hvor mange det var. Dersom barnet må telle på nytt, har det ikke helt fått tak i antallsbegrepet ennå. Mange forskere synes av denne grunn å mene at barn forstår rekkefølge, tallenes ordinale aspekt, før de forstår antallsbegrepet, dvs. tallenes kardinale aspekt.
Penny Munn testet 56 barn i Skottland i alt 4 ganger[1]. Gjennomsnittsalderen ved første test var 51 måneder, ved siste 64 måneder. På denne måten kunne hun se utviklingen over en periode da barna ofte utvikler sin tallkompetanse ganske mye. Munn stilte følgende spørsmål:
1) Kan du telle? Dette testet barnets kjennskap til tallordene, uten at de skal telle noen objekter.
2) Kan du telle disse klossene (maks 36). Dette målte evnen til å telle objekter.
3) Kan du gi meg (en, to, tre osv.) klosser? Dette testet kardinalitets-oppfatningen.
4) Teller du hjemme? Hva teller du? Hvorfor teller du? Disse spørsmålene ble stilt for å undersøke barnets forståelse av tall og deres oppfatning av vitsen med det å telle.
I løpet av testperioden endret naturlig nok barnas respons seg en god del. Det viste seg at evnen til å resitere tallrekka lå foran evnen til å telle klosser. Utviklingen i evnen til å uttrykke tall fulgte et nokså fast mønster. Først kunne de si tallordene opp til ti. Ganske kort tid etterpå kunne de si dem opp til tjue eller tjueni. Så gikk det gjerne ganske lang tid før de kunne si tallordene videre oppover, fra tretti til femti eller seksti. De husket da rekkefølge av ”-ti”-tallene. I løpet av samme periode ble barna også flinkere til å koordinere bruk av ord og det å peke på klosser mens de telte. Evnen til å angi antall vokste gjennom perioden. Det var likevel tydelig at det var en mye langsommere utvikling i evnen til å forstå tallenes kardinalitet enn i evnen til å resitere tallene. Barna kunne telle langt, noen av dem til over 100, selv om de ikke klarte å plukke ut og gi fra seg mer enn 6 – 10 klosser som svar på spørsmål c.
Undersøkelsen viste at barn sjelden forstår hvorfor voksne teller før de begynte på skolen. På spørsmålet om hvorfor man teller, var det sjelden å høre barn svare ”For å vite hvor mange det er”, selv om de etter alle solemerker kunne telle. Dette med å telle opp antall gjenstander i en mengde var noe barna begynte å tenke på først etter at de begynte på skolen. Det var altså skolen som brakte med seg denne tanken. Ei lita jente på 48 måneder svarte at ”Å telle er vel bare å si ordene?” da hun ble spurt om hva hun telte hjemme. På tross av denne mangelen på praktisk nytte av å telle mente barna at de kunne telle. Svarene på hvorfor man teller, kunne deles inn i fire kategorier:
1) Telle for moro skyld. ”Fordi jeg vil”, ”Fordi jeg gjør det” (teller). Svarenes innhold var egentlig koblet fra selve tellingen.
2) For å tilfredsstille andres forventninger. ”Fordi mamma og pappa vil at jeg skal telle” eller ”min kusine ber meg om det”.
3) For å lære. ”For å kunne tallene”
4) For å kunne telle hvor mange det er. ”For å vite hvor mange leker det er”.
Det tar lang tid før barn utvikler forståelse for telling som en målrettet aktivitet, og selv etter at dette er på plass, har mange barn oppfatninger om telling som ikke er helt som hos voksne, selv om det er nær kontakt mellom barn og voksne når barna lærer å telle. Tellingen foregår gjerne på en måte preget av lek, og den voksne måten å betrakte hensikten med telling på kommer ikke fram. På spørsmålet om hva de telte, kunne svarene fra barn som hadde begynt på skolen[2] deles i tre kategorier:
1) Telling som en verbal aktivitet
Disse svarene indikerte at telling fortsatt ble betraktet som en løsrevet aktivitet.
Disse svarene indikerte at telling fortsatt ble betraktet som en løsrevet aktivitet.
2) Knyttet til objekter
Dette viste den samme tankegangen som den voksne formen for telling.
Dette viste den samme tankegangen som den voksne formen for telling.
3) Å lese og skrive sifre
Disse barna mente at det å lese eller skrive tall var det samme som telling.
Disse barna mente at det å lese eller skrive tall var det samme som telling.
Det er tydelig at barns forståelse av telling er et resultat av sosial påvirkning.
Telling som fenomen har mange fasetter som barn etter hvert må beherske. Effie Maclellan gir følgende oversikt[3]:
1) Telleprinsippet (hvordan telle)
a. En-til-en-korrespondanse. Hvert objekt i en samling tildeles ulike tallord. Det går altså ikke an å telle tre objekter ved å telle 1, 2, 2.
b. Prinsippet om fast orden. Tallordene må alltid brukes i samme rekkefølge. Noen barn opererer i en periode med en annen rekkefølge enn den vanlige, men de kan likevel forstå dette prinsippet dersom de er konsekvente. Det kan faktisk være et tegn på at de mestrer dette prinsippet bedre enn andre. Etter hvert må de imidlertid lære seg de konvensjonelle ordene, av hensyn til kommunikasjon med andre.
c. Kardinalitet. Barnet må lære at telling er ikke bare en prosess, men at det også gir et resultat; at det siste tallordet i tellingen angir antallet. Forståelsen kan testes ved å se hvordan barnet reagerer på spørsmålet ”hvor mange?” Hvis de bare gjentar det høyeste telleordet, har de forstått dette. Dersom de må telle på nytt, har de sannsynligvis ikke skjønt det.
2) Hva som telles
a. Abstraksjonsprinsippet. Dette er forståelse av at tallene kan brukes til å telle hva som helst, både fysiske og ikke-fysiske ting, også tallordene selv.
b. Telling uavhengig av konkreter. Prinsippet om at man kan telle objektene i en mengde i hvilken som helst rekkefølge. Når forståelse av dette prinsippet er på plass, behersker vanligvis barnet telling godt.
c. De fleste barn har forståelsen av disse prinsippene inne når de begynner på skolen.
Når barn har disse prinsippene på plass, er barna også klare til å addere og subtrahere. For barn som ikke kan finne summer eller differenser ved hjelp av hukommelsen, eller som har andre metoder for å løse slike problemer, gjenstår bare telling som metode. Mange barn står på det nivået når de begynner på skolen, men det er også mange eldre barn som må ty til telling. Det er disse som gjerne får store problemer med matematikk i skolen.
Ingen kommentarer:
Legg inn en kommentar