Innholdet i teksten over bygger på forestillingen om at å lære tallspråket og å skrive tall er prosesser som kan forsterke hverandre. Når tellingens ulike aspekter er på plass, vil hoderegning være det viktigste middelet til å opparbeide tallfølelsen. Tall er abstrakte enheter, lagret i hjernen. Derfor er variert hoderegning trolig mer effektivt enn å regne utfyllingsoppgaver i ei lærebok. Sannsynligvis er det dessuten mer effektivt å la elevene skrive regnestykkene selv. For elever med skriveproblemer kan man i våre dager bruke elektroniske medier som hjelpemiddel.
Å kunne tallspråket er nøkkelen til å kunne bryte beregninger ned til mindre steg. Nøkkelfaktorer i hoderegning er å regne fra venstre mot høyre og alltid å lese størrelsesordenen på sifrene. Legg merke til at plassverdikort støtter opp under denne strategien, noe som ikke gjelder andre konkretiseringsmidler.
Hva vil det si å forstå et tall?
Mange lærerstudenter som har vært ute i praksis, kommer tilbake med en formening om at elever i 1. klasse ikke har forutsetninger for å forstå større tall enn 10. Noen mener tydeligvis også at tallene må læres ett og ett og nedenfra. Disse meningene gjenspeiler sannsynligvis noe som er vanlig forestilling i norske skoler. Større tall skal etter dette være vanskeligere å forstå enn små tall. Hensynet til de svake elevene tilsier ut fra denne tankegangen at man ikke må arbeide med større tall enn 10 i første klasse, ihvertfall ikke med de svake elevene (om man klarer å differensiere undervisningen).
Hva vil det så egentlig si å forstå et tall? Når forstår man for eksempel tallet 35? Er det nok å kunne si tallet, eller å assosiere en mengde eller en størrelse med tallet når man hører det? Må man kunne skrive det med arabiske sifre, eller er det nok å kunne si det? Bør man kanskje kunne alle tallene som er mindre og kunne telle fra én og opp til tallet? Er det når man vet at 35 er én mer enn 34, to mindre enn 33 osv., og at det er én mindre enn 36, to mindre en 37 osv. Eller er det nok å vite at mor er 35 år gammel, og at hun er litt yngre enn far, som er 38? Må man vite at 35 = 20 + 15 = 19 + 16 = 18 + 17 = …? Eller at 35 = 5 × 7, at det er halvparten av 70, eller at det er 5 mindre enn 40? Må man vite at 5 × 7 er den eneste mulige faktoriseringen (hvis man ikke regner med komplekse tall)? Hvorfor bør man ikke også kunne skrive tallet i tallsystemer med andre baser, eller vite hvordan menneskeheten har skrevet mengden trettifem ved hjelp av en rekke andre tallsystemer enn det hindu-arabiske, og helst kunne noen av dem? Kanskje man ikke forstår 35-tallet fullt ut før man vet at det betyr
De færreste mennesker kjenner alle disse betydningene. For folk flest stopper innsikten en god stund før vi er ved slutten av oppramsingen over. Like fullt vil de fleste synes at de forstår hva 35 er for noe. I tillegg til det som er nevnt over, vet folk flest at 35 er omtrent en tredel av hundre, at det kan være en gjengs alder for foreldre til førsteklassinger, at det ligger midt mellom 30 og 40 osv. En elev i første 1. eller 2. klasse vet kanskje noe av dette, og han kan synes det er morsomt å lære mer. Kanskje bestefar er 73, og at han er ganske gammel, mye eldre enn mor, som altså er 35; kanskje dobbelt så gammel? Eller han har sett sidenummereringen i læreboka og er nysgjerrige på det.
Poenget er at innsikten i tallbegrepet øker med erfaring. Vi kan ikke forvente at de yngste elevene i skolen skal ha noen dyp innsikt i tallenes verden, men det er ikke til hinder for at de skal arbeide med tallene, kanskje tvert imot.
Også vi voksne har problemer med å "forstå" store tall. Vi kan for eksempel alle ha vært borti situasjoner der vi har vært usikre på om det er millioner eller milliarder vi mener. Er det plass til en million eller en milliard virus i en kubikkcentimeter? Forstår vi egentlig hvor langt 15 millioner lysår er? Er vi alltid helt sikre på den praktiske forskjellen på en stortingsbevilgning på en million og en milliard kroner? I det første tilfellet kan vi bruke ca. 3 tusen kr per dag i et år, i det siste ca. 3 millioner. Vil vi uten videre kunne avsløre at en nyhetsoppleser som sier at forsvarsbudsjettet i USA er på en trillion dollar, nødvendigvis må ta feil? (Så mye penger finnes ikke. Forklaringen er at amerikanerne bruker ordet billion for vår milliard og trillion for vår billion.) Selv om vi har vansker med helt å fatte slike tall, bruker vi dem jo. I vitenskapelig sammenheng skriver vi for øvrig helst tallene på såkalt standardform, for eksempel
Forestillingen om at tall over 10 blir vanskeligere å forstå enn tallene fra 1 - 9, er en tvilsom påstand. De befinner seg riktignok lengre ut i tallrekka, og derfor lærer barna dem etter de andre, men det er ikke noe uvanlig å lære barn å lære å telle lengre enn til 10 svært tidlig, eller samtidig med mindre tall. Det er ikke noe prinsipielt annerledes å forstå for eksempel mengden 21 enn det er å forstå mengden 7. Det er bare noen flere. Også 21 kommer etter tallet foran og før tallet etter. Det har en kardinal verdi, og det kan brukes til å bestemme en rekkefølge. Det er ikke slik at vi nødvendigvis lærer ulike aspekter ved tall best ved å lære dem nedenfra.
Det er stor sannsynlighet for at også faglig svake elever har hørt store tall i sitt hverdagsliv. Kanskje de vet at det kostet fire tusen kroner å reise på ferietur i påsken, eller at familien har kjøpt en bil til hundreogfemti tusen kroner. Det er ikke tallenes størrelse som er vanskelig for de faglig svake elever, selv om det nok kan være vanskeligere for dem å se mange aspekter ved tallene, enn det er for de flinkere elevene. Det avgjørende er om de kjenner seg igjen; at de kan knytte tallene til noe de kjenner fra hverdagen. Dessuten kan de ha vansker med å løse abstrakte eller innviklede oppgaver og problemer, men det er en annen sak.
Småstegslæring er ikke effektivt
Mye av den gjengse undervisningsfilosofien i norsk skole (og i mange andre land) er en forestilling om at matematikken er et byggeverk der man må bygge alt nedenfra. Det er denne forestillingen som ligger bak arbeidsmetoden med å innføre ett og ett tall, og at man skal jobbe bare med tallene opp til og med 9 på begynnerstadiet i skolen (og for at man skal vente i det lengste med å introdusere titallssystemet og den måten vi skriver tall på, det vil si posisjonssystemet). Forskning viser imidlertid nokså entydig at denne måten å tenke på ikke gir effektiv læring. Det er mer effektivt å betrakte matematikken som et bilde eller et landskap som blir gradvis mer opplyst og klarlagt. Da er det en fordel å ha med større deler av bildet fra begynnelsen av. Dette stemmer også bedre med tenkningen om skjemaer eller begrepskart. Og selv om vi innfører hundrene og tusenene tidlig i skolen, betyr ikke det at vi skal regne med andre flersifrede tall med en gang. Vi kan selvfølgelig regne på slike ting som 200 + 300, uten at vi behøver å regne med andre tresifrede tall.
Arbeid med tallfølelsen
I skolen har det vært lagt stor vekt på å få elever til å huske tallfakta, mens man ikke har vært like flinke til å bruke slike kunnskaper til å opparbeide god tallfølelse. Begrepet tallfølelse kan sammenlignes med idrettslig ballfølelse. Skal barn oppnå en god ballfølelse, må de leke mye med ball. Det samme gjelder for tallfølelsen; man må leke med tallene. Hvis barn blir oppmuntret til det, vil de selv utvikle ulike strategier. Bruk av slike strategier bør oppmuntres, synliggjøres og diskuteres. Målet er at elevene blir mest mulig fleksible i valg av strategier.
Den enkleste strategien for addisjon er å telle videre, og dette er den strategien barn først tyr til. Tidligere har jeg nevnt at det finnes flere undervarianter av ”telle videre”-strategien[1]. På nettstedet LD Online Math[2] kan man finne mange gode råd om hvordan man skal undervise elever med matematikkvansker, bl.a. fra Katherine Garnett[3]. Disse rådene kan like godt anvendes på andre elever .
1. For elever som bruker ”tell alt”-strategien:
§ Ikke hopp direkte til å be dem pugge tallfakta, selv ikke de som synes selvsagte.
§ Klargjør ”telle videre”-strategien og oppmuntre elever til å bruke den.
§ Bruk fingrene (dine egne og elevenes), ulike typer gjenstander og tallinjer mens dere øver.
§ Skap den vanen at elevene leser eller sier høyt hvert problem (oppgave).
§ Forsterk den basale telleferdigheten, både muntlig og skriftlig.
2. For elever som bruker de enkleste variantene av ”telle videre”-strategien.
§ Ikke hopp direkte til å be dem pugge tallfakta.
§ Øv mye på å finne den høyeste addenden.
§ Klargjør strategien ”å telle videre fra høyeste addend” som et triks for å komme fortere fram til resultatet.
§ Fortsett å bruke fingrer, gjenstander og tallinjer for å sikre en god forståelse av hva de gjør.
§ Uthev det kommutative prinsippet (4 + 5 = 5 + 4) både muntlig, med fingere eller gjenstander, med tallinjer og skriftlig.
§ Oppmuntre vanen med å lese oppgavene høyt og å si hva som gjøres.
§ Forsterk de basale telleferdighetene, inkludert det å telle langt, å telle 2 og 2 og å telle baklengs.
3. For elever som kan ha nytte av å videreutvikle ”telle videre”-strategien.
§ Gi utfordrende oppgaver med én addend større enn 10, for eksempel 26 + 3, 2 + 18, 35 + 4, 5 + 21 osv.
§ Fortsett å legge vekt på det kommutative prinsippet, muntlig, konkret og skriftlig.
4. For elever som bruker en blanding av mer modne strategier og retrieval-strategier.
§ Oppmuntre bruk av direkte innhenting av fakta: ”Vet jeg dette uten videre?”
§ Øv på å øke hastigheten (direkte innhenting av fakta) med få fakta om gangen, kanskje ved å starte med de enkleste forbindelsene, slik som 2 + 2, 3 + 3, 4 + 4 osv.
§ Jobb videre med problemer som enkelt kan knyttes til de forrige. Det kan være ”kjente forbindelser + 1 (tenk på at 5 + 5 = 10 og så at 5 + 6 er 1 mer, det vil si 11) og regning med 9 (5 + 10 = 15, så 5 + 9 er 1 mindre, det vil si 14).
§ Bruk om nødvendig konkreter for å illustrere strategier. Bruk for eksempel ei 10-ramme med 9 gjenstander i og 5 gjenstander utenfor. Eleven flytter inn én gjenstand og får 14 (10 + 4).
§ Bland øvelser i å øve enkle koblinger med et økende antall oppgaver med mer kompliserte koblinger.
§ Provoser fram diskusjoner blant elever om de ulike strategiene de bruker på ulike kombinasjoner.
§ Fortsett å fokusere på det kommutative prinsippet
§ Oppretthold vanen med å lese oppgavene høyt og å si hva som gjøres.
Et solid fundament for godt og hurtig arbeid er på plass når elevene
1. raskt kan vise eksempler med konkreter eller på tallinja
2. vanemessig bruker det kommutative prinsippet
3. kan bruke en del faktakunnskaper fort
4. har en viss evne til å tenke fleksibelt
5. rutinemessig kan verbalisere løsningsmetoden.
Ingen kommentarer:
Legg inn en kommentar