Innlæring av tallsystemet

Når det gjelder matematikkundervisning, har diskusjonene bølget fram og tilbake om hvorvidt man skal legge vekt på forståelse eller pugg. Diskusjonen har vært internasjonal. I Norge har den vært mer avdempet enn mange andre steder, men ikke helt fraværende. På sytti- og nittitallet sto vektlegging av forståelse sterkt, mens åttitallet var preget av den såkalte ”back to basics”-bevegelsen. Spesielt i USA og Storbritannia har diskusjonen i stor grad vært politisk. Her hjemme har ikke de politiske skillelinjene vært like fremtredende, men de har opplagt vært til stede.

I det fagdidaktiske miljøet er denne diskusjonen langt på vei lagt død. De fleste innser nå at det ikke er et spørsmål om enten-eller, men mer et både-og. Det er imidlertid grunn til å mene at praksis i skolene har vært nokså upåvirket av denne diskusjonen og av de internasjonale bølgebevegelsene. I de første årstrinnene har denne praksis vært preget av pugg av tallfakta, kombinert med telling av antall elementer i mengder. Disse mengdene har gjerne blitt illustrert med tegninger av ulike objekter som forventes å være velkjente for elevene. Dessuten har norsk matematikkdidaktikk vært preget av sterk tro på bruk av konkretiseringsmateriell. I dette regimet har det blitt lagt liten vekt på å bruke tallfakta til å utvikle tallfølelsen. Jeg tror dette ble bedre ivaretatt i min skoletid på femtitallet. I hvert fall regnet vi på den tiden mye i hodet. Men det kan nok også hende at vi brukte tall oftere utenom skolen. I dagens spillverden, som for en stor del foregår på elektroniske medier, er det lite regning. Den gang vi spilte mye kort, yatzy eller ulike former for brettspill, fikk vi bedre trening i å regne med små tall.

Forskning og erfaringer fra England

I det følgende skal vi i hovedsak følge ideene til engelskmannen Alan Wigley[1]. Etter mangeårige diskusjoner om begynneropplæring, skolenes frihet og nasjonale tester, startet man i England i 1999 opp det såkalte National Numeracy Strategy Project (Strategiprosjektet for nasjonal tallkyndighet). Prosjektet gir stramme føringer for både innholdet i begynneropplæringen i matematikk og for hvordan undervisningen skal legges opp, fulgt opp av nasjonale tester. Innholdet i faget bygger på følgende forutsetninger og prinsipper:

·        Man har forlatt en begynneropplæring som bygger på Piaget. Man bygger nå på den forutsetningen at selv små barn kan utføre vanskelige operasjoner med tall, og at de kan behandle store tall på et langt mer komplisert nivå enn lærere vanligvis har trodd.

·        Man har også forlatt Piagets tro på den ensidige konkretiseringens velsignelse. I England sier man nå at tall ikke behøver å bli presentert i en konkret setting, dvs. en situasjon som medfører manipulasjon av konkreter, for at barn skal forstå tallene. Tallene bør og kan presenteres muntlig, som språklige enheter, men gjerne som en representasjon av noe fysisk.

·        Det legges stor vekt på hoderegning, utfordrende oppgaver og arbeid på umerket tallinje (denne ideen kommer fra Nederland).

Alt dette er ideer som bryter med den norske skoletradisjonen. Der råder Piagets tanker om konkretisering grunnen alene. Barna grupperer og fargelegger, bruker et par år på å ”lære” om tallene opp til 10, og de regner i bøker med ferdigtrykte oppgaver.

         I England har man også gjennomført studier av hva som karakteriserer de lærerne som gir den mest effektive undervisningen i matematikk[2]. Man gikk ut fra to kriterier på hva man mente med en effektiv lærer. De skulle hjelpe barn til

·        å få kunnskap om og ferdighet i å bruke tall, tallrelasjoner og talloperasjoner, basert på et integrert nettverk av forståelse, teknikker, strategier og anvendelse.

·        å kunne anvende denne kunnskapen om og ferdigheten med tall, tallrelasjoner og talloperasjoner i en variasjon av sammenhenger.

Når man undersøkte undervisningen til de mest effektive lærerne, bød funnene på en del overraskelser. Det viste seg blant annet at organiseringen av undervisningen ikke betydde noe særlig, verken når det gjaldt bruk av individuelt arbeid eller gruppearbeid, eller når det gjaldt vektlegging av spørre- og svare-teknikker. Bruk av aldersblandede grupper viste heller ikke noe utslag. Man fant heller ingen nær sammenheng mellom lærernes kunnskapsnivå i matematikk og deres effektivitet som matematikklærere. Den faktoren som derimot betydde noe, var graden av profesjonell kunnskap og utvikling innen det vi kaller matematikkdidaktikk, dvs. undervisningslære i matematikk. Det som særpreger disse lærerne er deres evne til å

·        trekke forbindelser mellom ulike aspekter ved matematikken, slik som for eksempel mellom addisjon og subtraksjon, mellom multiplikasjon og divisjon (eller mellom alle fire regningsartene), eller mellom brøk, desimaltall og prosenter.

·        trekke forbindelser mellom ulike representasjoner av matematikk: å kunne bevege seg mellom symboler, ord, diagrammer og objekter.

·        trekke forbindelser til barnas egne metoder og tanker, verdsette disse og være interessert i barns tanker og akseptere deres metoder.

Ifølge TIMSS-undersøkelsen (TIMSS = Trends in International Mathematics and Science Study) fra 2003 er Norge det landet som har hatt klart størst tilbakegang i matematikkunnskaper hos 4.-klassinger i perioden 1995 – 2003[3]. Det landet som har hatt størst framgang, er England. Framgangen var på omkring 47 %. Norge bør derfor ha noe å lære av England på dette feltet, særlig når det gjelder angrepsvinkel på begynneropplæringen. Vi bør ta inn over oss de funnene som er gjort om effektive lærere og hvilken type kunnskap som har gitt dem deres kompetanse.

Wigley anbefaler at man med små barn skal legge mer vekt på tallnavnene enn på å telle objekter. Dette er en muntlig aktivitet, og vil på lengre sikt bidra til å gi forståelse for at tallene egentlig er noe abstrakt. Deler av denne tankegangen kan være modell også for undervisningen i skolen.

Som allerede påpekt, mener stadig flere forskere at det er uheldig å bygge undervisningen på en gradvis og langtrukken introduksjon av de minste tallene. Når det gjelder telling, er det nødvendig å holde seg til mindre tall, men for å bygge opp forståelse for selve tallsystemet vårt, er dette uheldig. Vi vet alle at barn er fascinert av store tall. Hvorfor ikke utnytte denne fascinasjonen og introdusere større tall så tidlig som mulig i skoleløpet?

Irregulære tallnavn

I det norske språket finnes det en del irregulære tallnavn, først og fremst tallene mellom ti og tjue. Elleve og tolv er helt irregulære, mens de øvrige har endelsen –ten. Dette følger forsåvidt et greit system, men systemet gjelder ikke for større tall. Dessuten er også noen av forstavelsene irregulære. Det gjelder fjorten, sytten og atten. For små barn kan det derfor ta litt tid å lære seg tallnavnene fra elleve til nitten, selv om nok de fleste behersker dette ved skolestart eller kort tid etterpå.

         Kinesiske og japanske barn har det lettere på dette punktet. De sier, i norsk språkdrakt, ti-en ti-to, ti-tre osv. Også lengre opp i systemet bruker de helt regulære former. Tjue heter to-ti, tretti heter tre-ti, osv. På norsk er jo også en del av tiernavnene irregulære. Vi sier tjue, førti, sytti og åtti, ikke toti, fireti, sjuti[4] og åtteti. Kineserne er også svært systematiske når det gjelder å uttale store tall. Tallet 21 005 vil for eksempel bli uttrykt som ”to titusen, ett tusen, null, null, 5”. Enkelte forskere mener kinesiske og japanske barn har en fordel på grunn av dette og at det kan bidra til å forklare hvorfor barna i disse landene er så flinke i matematikk. Dette er nok en for enkel forklaring. Mest trolig er det deres forhold til hardt arbeid som er den avgjørende faktoren.

Innføring og synliggjøring av tallsystemet

I norske klasserom ser vi ofte tallene skrevet med store sifre på lapper eller lignende og hengt opp over tavla eller andre steder i klasserommet. Wigley, som her bygger på den kjente didaktikeren Caleb Gattegno, anbefaler å ta med større deler av tallsystemet med en gang. Man kan for eksempel lage en matrise som ser slik ut:

1	2	3	4	5	6	7	8	9
10	20	30	40	50	60	70	80	90
100	200	300	400	500	600	700	800	900

Her har man straks introdusert en oversikt over en viktig del av tallsystemet. Om man ønsker, kan man introdusere dette gradvis. Gattegno anbefaler da å starte med enerne, for så å ta med hundrene.

Steg 1:

Først sjekker man at elevene kan si tallene. Man bør da sjekke både at de kan starte fra et tilfeldig valgt startpunkt, at de kan si dem i riktig rekkefølge, og at de kan si dem i tilfeldig valgt rekkefølge. Foreløpig ser da skjemaet ganske enkelt slik ut:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Under dette arbeidet kan man samtidig passe på å bruke ord som foran, bak og mellom, heller enn mer og mindre, som er knyttet til telling. Legg merke til at det bare kreves to nye ord for å si 999 og ett til for å si 999 999.

Steg 2:

Neste trinn blir å legge på den tredje raden:

1	2	3	4	5	6	7	8	9
100	200	300	400	500	600	700	800	900

Årsaken til at hundrene innføres før tierne, er språklig. De samme tallnavnene som for enerne får ganske enkelt tillegget ”hundre”, bortsett fra at man sier ”ett hundre”, ikke ”en hundre”. Mange elever vil ganske sikkert synes det er moro å se hundrene såpass tidlig.

Steg 3:

Mange elever vil nok være fortrolig med tierne på et tidlig tidspunkt, men det kan ikke skade å være litt grundig når man innfører tierne. Man kan for eksempel skrive opp de irregulære formene først, og så bruke litt tid på å diskutere hva de betyr

1	2	3	4	5	6	7	8	9
	20		40			70	80
100	200	300	400	500	600	700	800	900

Diskusjon om disse tallene kan bidra til å klargjøre tallsystemets struktur. Når dette synes å være klart for elevene, kan man legge til de regulære formene, og man har dette skjemaet:

1	2	3	4	5	6	7	8	9
	20	30	40	50	60	70	80	90
100	200	300	400	500	600	700	800	900

        

Tieren introduseres til slutt.

Dersom man følger denne prosedyren, har elevene et godt utgangspunkt for å forstå tallsystemet. Man bør også benytte anledningen til å snakke om at det er 10 enere i en tier og ti tiere i ett hundre. I klasser der man klarer å etablere en spørre- og diskusjonskultur, vil det sikkert også dukke opp meninger og spørsmål som gir en god anledning til å snakke om slike og andre sammenhenger.

         Etter at dette skjemaet er introdusert, kan man konsentrere oppmerksomheten om tallene fra 11 til 19. Mange av elevene vil sikkert kjenne navnene på disse tallene, men når man har gjort jobben over, vil det være større sjanse for at elevene kan se dem som en del av et større system. Når alt dette er gjort, bør det også være greit å jobbe med tallene mellom tierne, slik som tjue-en, tjue-to osv.

         Mange lærere synes også det er greit å lage en matrise over alle tallene fra 1 – 99 eller 100. Wigley anbefaler å skrive den slik:

	1	2	3	4	5	6	7	8	9
10	11	12	13	14	15	16	17	18	19
20	21	22	23	24	25	26	27	28	29
30	31	32	33	34	35	36	37	38	39
40	41	42	43	44	45	46	47	48	49
50	51	52	53	54	55	56	57	58	59
60	61	62	63	64	65	66	67	68	69
70	71	72	73	74	75	76	77	78	79
80	81	82	83	84	85	86	87	88	89
90	91	92	93	94	95	96	97	98	99

I første rad mangler 0, mens den slutter på 9. De hele tierne står rett under den tomme plassen i første rad. Dette oppsettet illustrerer strukturen i tallsystemet godt.

---

[1] Wigley i Thompson 1997: 113 – 122. Den bruken av tabeller og plassverdikort som presenteres her, er med noen tilpassinger hentet direkte fra Wigley.

[2] Reynolds & Muijs i Thompson 199: 17 – 25, Askew i Thompson 1999: 93 - 102

[3] TIMSS 2004: 8

[4] Et unntak er trysildialekten. Der sier de sjutti.