tirsdag 4. oktober 2016

Jeg hadde ikke ment å skrive mer på denne bloggen, da det meste er skrevet for lenge siden, men jeg fikk lyst til å skrive ned et par tanker likevel.

Hovedmålet med undervisningen,i matematikk som i andre teorifag, er å trene opp elevene til å tenke sjøl. Dette har et par viktige implikeasjoner:

1. Elevene må tilføres størst mulig forståelse. Dette betyr at målet ikke er å lære elevene å kopiere standardoppsett, eller teknikker som læreren gjennomgår.

2. Undervisningen må være problemorientert.

3. Alle løsningsforslag må diskuteres og analyseres.

Å oppfylle slike mål, krever at læreren sev har fundamental innsikt i grunnleggende matematikk. I de faglige tekstene i denne bloggen, er det derfor lagt stor vekt på grunnleggende matematikk - særlig i delen for ungdomsskolen. Den delen som er mest diskutabel, og der jeg føler meg usikker, er avsnittene om bruk av algoritmer i de fire regningsartene. De avsnittene som etter min egen vurdering  best kan gi yngre lærere, er avsnittene om brøk, prosentregning, og stoffet om sammenhenger i grunnleggende matematikk. 

onsdag 15. juli 2015

Kan noen hjelpe meg?

Jeg har et visst håp om å få gitt ut innholdet i denne bloggen i bokform, men det er megetvanskelig å få til dette. En ting jeg trenger, er en anbefaling eller en støtteerklæring fra noen som bruker bloggen. Er det noen som kan tenke seg å gi noe slikt?

onsdag 10. juni 2015

Matematikktalenter i skolen - hva med dem?

Min gode venn og tidligere kollega, Einar Jahr. har skrevet en ny bok med tittelen i overskriften, hva med matematikktalentene i skolen?

Myndighetenes løsning har vært å la dem regne videre, på pensum i høyere klasser, eller i videregående skole. Jahr mener at de flinke elevene skal jobbe med fordypning og problemløsning, ikke akselerasjon inn på høyere trinn. Jeg kan ikke være mer enig! Dette er helt i tråd med den filosofo jeg har presentert tidligere, o gjeg har prøvd det ut i praksis, med stort hell!

Boka anbefales på det varmeste!


Einar Jahr selv skriver dette:

27.-29. mai var jeg på en fagdidaktikk-konferanse i Helsingfors (NOFA 5) og deltok på en parallellsesjon om matematikktalentene i skolen, som jeg har skrevet et kapittel om i en bok som Cappelen har gitt ut. Jeg argumenterer for berikelse framfor akselerasjon, dvs. at de talentfulle elevene skal arbeide med å fordype seg i det klassen holder på med i stedet for å få matematikk på høyere klassetrinn. Jeg kjenner en 9.-klassing som tok 9.-klasseeksamen i fjor med karakter 6. I år har han arbeidet med 10.-klassepensum, men har ikke hatt en eneste time undervisning i matematikk. Nå har skolen hans endret reglementet, slik at han ikke kan ta 10-klasseeksamen i år, men må ta 9.-klasseeksamen om igjen. Han kan nemlig ikke ta 10.-klasseeksamen to ganger, i tilfelle han bare fikk 5 i år. Slik kan det bli når skolen ikke har annet å tilby talentene enn akselerasjon.
Det er flere grunner til å foretrekke berikelse:

  • Elevene skal møte hele mennesker i sin skoletid; ikke bare dem som presterer likt med dem selv.
  • Talentene skal venne seg til å la sitt talent komme også andre til gode.
  • Talentene skal møte en rikere matematikk enn den som er ment for alle. Det blir for tynt om de får det samme som de andre, bare litt tidligere.
  • Berikelse for talentene krever ikke mye ekstra tid av skolen, bare kompetanse.
  • Egne grupper for talentene kan dannes utenom skolen, slik som i idrett. Idrettstalentene tas ikke ut av klassen i gymtimene!

Disse kulepunktene er hovedinnholdet i mitt kapittel i boka; i tillegg gir jeg eksempler fra forskjellige klassetrinn.

Den 9.-klassingen jeg skriver om, er Hildes sønnesønn Christopher. Han har hatt en del fravær i det siste på grunn av infeksjon i en nedgrodd tånegl og en mislykket operasjon. Nå har matematikk"læreren" hans stilt ultimatum om at han må ta 9.-klasseprøven, "ellers gir jeg deg en femmer"! Jeg tror jeg vil spørre om dokumentasjon for denne femmeren, som skal annullere sekseren fra i fjor! Jeg kunne ha lyst til å anmelde skolen for brudd på opplæringslova, der det står:

§ 1-3.Tilpassa opplæring og tidleg innsats

Opplæringa skal tilpassast evnene og føresetnadene hjå den enkelte eleven, lærlingen og lærekandidaten.

onsdag 7. januar 2015

En meget kortfattet oppsummering

Jeg har egentlig sluttet å skrive nye ting på denne bloggen for lenge siden, men fikk lyst til å lage en kort oppsummering:

1. Det aller viktigste prinsippet i matematikkundervisning er å anspore elevene til å tenke selv. De skal bli problemløsere, tenkere og selvstendige mennesker, ikke kopister! Dette medfører blant annet at elevene må anstrenge seg. Det hele er akkurat som med idrett - uten hardt arbeid, kommer du ingen steder! Kunsten blir derfor å komme i en situasjon der arbeidet gir belønning i form av mestringsfølelse. Dette er den suverent beste form for motivasjon.

2. Det er ganske sikkert mulig å bruke ulike angrepsmidler for å oppnå dette, men min formening er at systematisert problemløsning som metode, er den beste metoden.

3. Elever må få imidlertid hjelp til å tenke riktig. Det er en feiloppfatning å tro at de kan tilegne seg matematikken på egenhånd. Faren for misforståelser og feiloppfatninger er altfor stor. (Det er her diagnostisk undervisning kommer inn som et viktig tiltak.)

4. Jeg mener også at såkalt konfronterende undervisning er et nødvendig virkemiddel. Feiloppfatninger og misforståelser skal fram i dagen og brukes konstruktivt.

5. Dette foregå best i åpne diskusjoner i en klasse eller større gruppe, der alle drar veksler på hverandres innsikt og kunnskap. Læreren skal være diskusjonsleder og den faglige autoriteten! Dette er grunnen til at jeg mener at den beste arenaen for god undervisning er gammeldagse klasser. Forestillingen om at man må ha færrest mulig elever tilstede, slik at "alle kan få den hjelpen den trenger", er etter min mening kunnskapsløst politikerprek.


P.s. Jeg hadde håpet å få trykt det stoffet som ligger på denne bloggen i bokform, men det er visst ikke bra nok.La meg få komme med et motangrep: mange av de metodene som folk er så glad i, bærer preg av å være fikse løsninger - en slags vidundermedisin der elevene skal få matematikken gratis, uten å måtte anstrenge seg. Derfor tillater jeg meg å være litt skeptisk til mye av det.

torsdag 27. mars 2014

Internaliseringsprosessen


For at matematisk kunnskap skal bli operasjonell, må den internaliseres. Dette krever tid og arbeid, og med unntak av noen helt spesielt begavede, krever det veiledning. Denne internaliseringsprosessen er helt essensiell for å lære matematikk. En problembasert undervisning, slik som omtalt senere i dette manuset, gir gode muligheter til å hjelpe elever på ulike ferdighetsnivåer til å komme gjennom slike prosesser. Anna Sfard (Sfard 2000b) gir imidlertid en klar advarsel om at slike prosesser langt fra er enkle, og at utforming av den matematiske diskurs som brukes i klasseromsdiskusjoner, langt fra er en gitt størrelse; noe som det er enkelt å bruke. Dette skyldes både fagets egenart og elevenes opplevelse av det. Sfard (personlig samtale) gjør det også klart at å lære matematikk krever tid og innsats og at ingen undervisningsmetode kan eliminere dette. Når Olof Magne fremhever betydningen av å legge til side konkretene etter en tid og arbeide med de abstrakte strukturene, tolker jeg det dit hen at han ser på det som nødvendig for å internalisere kunnskapen. Dette stemmer over ens med mine egne erfaringer, både fra min egen tid som elev og fra mine mange år som lærer i ungdomsskolen.

 

De mange forsøk på å gå snarveier


Slik jeg opplever matematikkundervisningen i norsk skole og blant norske didaktikere, representerer mange av de mest brukte og de mest populære metodene forsøk på å finne snarveier gjennom den nødvendige internaliseringsprosessen. I tidligere tider ble hovedvekten lagt på å «forklare» matematikken ved hjelp av den tradisjonelle lærergjennomgangen av stoffet. Man gikk da gjerne rett på deduktive bevis eller abstrakte forklaringer. Senere har man hatt en tilbøyelighet til å falle i motsatt grøft, ved å legge ensidig vekt på konkretiseringer.

Ofte snakker man om kjeden konkreter – halvkonkreter – halvabstrakter – abstrakter. Konkretene er da de faktiske gjenstander eller strukturer man skal regne på, mens halvkonkretene er stiliserte modeller. Halvabstrakter er figurer eller andre representasjoner, mens abstraktene er de indre bildene eller begrepene man danner seg. Det har lenge eksistert en sterk tro på at elevene lærer raskest og mest ved å arbeide med konkreter og halvkonkreter, og at dette har vært en nødvendighet. Selv mener jeg at dette er en for lettvint tankegang. Dette standpunktet kan til en viss grad skyldes at min generasjon tok med seg langt flere erfaringer fra det praktiske inn i skolen, enn det dagens elever gjør, og at behovet for å arbeide med konkreter i skolen derfor langt på vei var overflødig.

Semiotikk – systematiseringen av halvabstraktene


I de senere årene har begrepet semiotikk fått en sterk stilling i matematikkdidaktikken. Semiotikken er læren om tegn og representerer således en systematisering av halvabstrakter. Eksempler på slik tegn er ulike tallsymboler, ikoniske tegn (slik som tegn for vinkel eller trekant) og andre symboler og figurer. Bruk av slike semantiske tegn er opplagt en viktig og nødvendig del av læringsprosessen i matematikk. Alle lærere vet at det å bruke stiliserte figurer, symboler og ulike tegn er helt nødvendig i arbeidsprosessene. Erfaring viser også at elever ofte går rett på det halvabstrakte nivået og hopper over det konkrete trinnet når de skal løse problemer av ulike slag. Det foreligger imidlertid en risiko her, dersom lærere tror at det å arbeide med semantiske tegn er en ny snarvei i internaliseringsprosessen. Det finnes ingen slike snarveier.

 

Utematematikk


Å lære matematikk utenfor klasserommet har blitt en populær metode, og har sikkert mye for seg. Teorien bak metoden er imidlertid etter min mening nokså tvilsom. Den bygger på forestillingen om at musklene «husker». Det kan kanskje ha noe for seg når det gjelder fysisk aktivitet, men at dette skal hjelpe oss i internalisering av matematiske begreper, synes å være litt søkt. Metoden står for meg som nok et forsøk på å finne en snarvei gjennom noe som man i virkeligheten ikke kan komme gjennom uten konsentrert og gjentatt innsats over lengre tid. 

 

Hinna, K. R.C., Rinvold. R.A., Gustavsen, T.S. (2011). QED, 5-10. Norge. Høyskoleforlaget.

Sfard, A. (2000b). On reform movement and the limits of mathematical discourse. Mathematical Thinking and Learning, 2(3), 157-189

Sfard, A.& Linchevski, L. (1994) . The gains and the pitfalls  of reification: The case of  algebra. Educational Studies in Mathematics , 26, 191-228. Reprinted in P. Cobb (ed.), Learning Mathematics -- Constructivist and Interactionist theories of mathematical development.(pp. 87-124). Dordrecht: Kluwer Academic  Publishers.

Sfard, A. (1994). Reification as a birth of a metaphor. For the  Learning of Mathematics, 14(1), 44-55

Tilpasset undervisning – individualisering eller gode kollektive undervisningsformer?


På 1990-tallet, i forbindelse med ny læreplan for grunnskolen i 1997, L97, ble begrepet differensiert undervisning erstattet med begrepet tilpasset undervisning. Etter min vurdering har dette hatt som følge at idealet har blitt for ensidig rettet mot individualisering av undervisningen. Det tok ikke lang tid før mange skoler begynte å lage individuelle læreplaner for alle elever, ikke bare dem som ble innvilget timer til spesialundervisning, slik det hadde vært inntil da. I enkelte kommuner påla skoleeierne lærerne å lage slike planer for sine elever.
 

Det er ikke vanskelig å forstå at dette var en naturlig utvikling. Differensiering gir naturlige assosiasjoner til organisering av elevene etter evner og prestasjoner. Her i Norge var dette systematisert i ungdomsskolen inntil Mønsterplanen av 1974, da kursplandelingen ble erstattet med sammenholdte klasser. Jeg sto selv midt oppe i en intens diskusjon om hvorvidt det var mulig å lykkes med undervisningen i sammenholdte klasser, og fikk være klassestyrer i det første kullet (1974-76). For meg var det en stor tilfredsstillelse å oppleve at det hele gikk bra, men var nok heldig, da jeg var heldig nok til å få styre en uvanlig god og sammensveiset klasse. Siden den gang har det ikke vært tillatt å drive systematisk nivådifferensiering i norsk skole, selv om det nok har blitt foretatt en del mer eller mindre fordekte forsøk på slik nivådifferensiering. I mange andre land, ikke minst i engelskspråklige områder, også i Tyskland, er slik differensiering vanlig. En vanlig betegnelse på fenomenet på engelsk er academic streaming. De senere årene har mange forskere stilt seg kritiske til slik streaming (f.eks. Benn, 2011). Det henvises til forskning som tilsier at både de svakeste og de sterkeste taper på nivådifferensieringen. For en del år siden var jeg på et studiebesøk i Haifa i Israel. Akkurat da diskuterte de om de skulle legge til side systemet med streaming. Jeg har også registrert at den samme diskusjonen har funnet sted i asiatiske land, som Kina.

Når vi snakker om tilpasset undervisning, er det naturlig å tenke på en undervisning tilpasset hver enkelt elev, ikke bare grupper av elever på omtrent samme faglige nivå. Slik sett er det ikke noe overraskende at man får en dreining mot individuelle opplegg. Lærerorganisasjonene og politikerne følger opp med krav om at vi må få så stor lærertetthet at «hver enkelt elev kan få den hjelpen han eller hun har krav på». Idealet synes å være et opplegg der hver enkelt elev arbeider i sitt eget tempo og med sitt eget stoff, og at læreren går rundt og hjelper elevene.

Det er interessant å observere at slike individualiserte opplegg, passer meget godt sammen med forestillingen om at elevene skulle ha ansvar for egen læring, noe som nærmest var et pedagogisk motefenomen på slutten av 1980- og begynnelsen av 1990-tallet. Denne forestillingen dannet bakgrunnen for det omseggripende opplegget med arbeidsplaner og ukeplaner i skolen. Opprinnelig var nok meningen å gi elevene mulighet til å styre sin egen tidsbruk, slik at de kunne gjøre oppgaver og utføre oppdrag på tidspunkter som passet dem selv. Den intense bruken av fritid til ulike aktiviteter, hadde ført til at det ble vanskelig å gjøre lekser på kort varsel, slik som før. Etter hvert utartet nok det hele til en forestilling om at elevene skulle ha mye av ansvaret for selve innlæringen også. Mange av oss fikk en følelse av at læreren ble bedt om å abdisere fra sin tradisjonelle rolle som kunnskapsformidler.

Individualiserte opplegg er imidlertid ikke noe nytt i norsk skole. Berømt og beryktet er det såkalte IMU-prosjektet fra 60-tallet. Jo Boaler (1997) beskriver et lignende opplegg i sin kjente bok Experiencing School Mathematics: Teaching Styles, Sex and Setting. Begge disse to tilfellene reiser alvorlige spørsmål ved hensiktsmessigheten av slike individualiserte opplegg. Mine egne erfaringer fra 26 års undervisningspraksis i ungdomsskolen peker hen mot den samme konklusjonen. Det gjør også nyere forskning. I en doktorgradsavhandling fra 2009, Individuelle versus kollektive arbeidsformer. En drøfting av aktuelle utfordringer i matematikkundervisningen i grunnskolen, kommer Ole Kristian Bergem fram til klare konklusjoner som er kritiske til at den utstrakte bruken av arbeidsprogrammer og individuelt arbeid går på bekostning av kollektive læringsformer. Det er først og fremst mangelen på diskusjoner med høyfaglig kvalitet, som er betenkelig. Hans undersøkelser støtter også opp under Boalers påpeking av at de individualiserte oppleggene fort fører til kjedsomhet, og at de gjerne fremmer instrumentell tenkning framfor operasjonell forståelse av det faglige stoffet (det viktige blir å bruke matematikkfaget som instrument for å komme inn på andre skoler.) Bergems konklusjoner er godt belagt, både teoretisk og empirisk. Det vil føre for langt å redegjøre for alt dette her, men jeg vil gjerne få gjengi følgende sitat fra hans avhandling:
 

Mathematics classrooms are more likely to be places of learning in which mathematical proficiency develops when they are communities of learners and not collections of isolated individuals. (Kilpatric, Swafford & Findall 2001, p. 425).
 

Det er læreren som initiativtaker til faglig diskurser og som den kyndige debattleder, som framstår som det viktige.
 

Min konklusjon er at mengder av forskning, egne erfaringer og teoretiske utlegnigner, gir full støtte til de synspunktene som har kommet til uttrykk hos Alan Bell og Ian Thompson, og i det jeg har beskrivet av arbeidsmetoder i japansk skole.

søndag 16. juni 2013

Overfladisk skoletenkning


Medlem av Civita, Paul Chaffey, og en studentrepresentant har skrevet om morgendagens skole i en kronikk i Dagsavisen. Bak deres synspunkter ligger det et par underliggende forutsetninger, som etter min mening er både overfladiske og grunnleggende feilaktige. For det første har de et kunnskapssyn som uterlukkende fremmer det vi kaller figurativ læring, og for det andre omtaler de skolen som en institusjon som eksisterer kun for næringslivets behov. Jeg vil gjerne kort få kommentere begge deler.

Figurativ kontra operasjonell kunnskap


Operasjonell forståelse er et innfløkt begrep, men kan litt kort forklares slik: for at forståelsen av et stoff skal være operasjonelt, må den være internalisert, den må være reversibel, og den må kunne settes inn i en sammenheng. Det motsatte kalles figurativ læring. Chaffey og Heide faller i den fellen å tro at det bare er den siste form for kunnskap som skolen skal befatte seg med. Den karakteriseres av å vær en overflatisk læring, der målet ofte bare er å huske fakta eller reprodusere noe til en prøve. Man kan oppøve ferdighet til å løse standardoppgaver, men forståelsen kan være meget mangelfull.

Særlig i fag som matematikk og andre tunge realfag er kronikørenes læringssyn problematisk. Fagmatematikere tenker gjerne på sitt fag etter to hovedlinjer: som problemløsing og som et presisjonsspråk som beskriver mønstre og sammenhenger. Å mestre dette faget er noe langt mer enn å løse standardoppgaver. De to nevnte kronikørene synes å mene at det kun er regneferdigheter det hele går ute på. Det synet passer for øvrig godt sammen med et snevert syn på kunnskap, der skolen kun tildeles rollen med å skaffe næringslivet arbeidstakere som kan utføre rutineoppgaver. Slike rutineoppgaver finnes det jo fortsatt mange av, selv i et høyteknologisk samfunn. Svært mye ingeniør- og IT-arbeid går ut på å gjenta de samme typer beregninger og oppgaver. Men når det gjelder forsknings- og utviklingsarbeid, holder ikke denne holdningen til faget mål. Da må man ha nettopp operasjonell kunnskap. I våre dager er det dessuten en sjeldenhet at noen driver med slikt arbeid alene. Man må kunne samarbeide, noe man bør få trening til i skolen. Det er på bakgrunn av dette mange av oss didaktikere mener at M87 var den beste læreplanen Norge har hatt.

I den læringsteorien som kalles radikal konstruktivisme, sies det at elever alltid danner seg sine private oppfatninger av ting. Faren for misoppfatninger og rene misforståelser er stor. Den beste måten å rette opp dette på, er faglige diskusjoner og oppklaringer. Dette foregår best i et kollektiv. I land der elevene lærer mest matematikk, er man bevisste på nettopp dette. Har man privatlærer, kan selvsagt diskusjonen og oppklaringene foregå mellom elev og lærer. Det er langt verre å diskutere med en datamaskin.

Skolens formålsparagraf


Det synes å ha blitt et fellestrekk for de fleste politiske aktører som diskuterer skole, at de ikke bryr seg om hva skolens, og særlig grunnskolens, oppgave egentlig er, slik det er vedtatt i skolens formålsparagraf. Der sies det ikke noe om at landet trenger ingeniører, eller noen annen yrkesgruppe for den del. Formålet dreier seg om det vi i pedagogiske kretser kaller dannelse. Kort sagt kan dette forklares ved å si at skolens hovedoppgave er å få elevene til å forstå mest mulig av både den fysiske, historiske, sosiale og kulturelle verden. Paragrafen lyder slik:

Opplæringa i skole og lærebedrift skal, i samarbeid og forståing med heimen, opne dører mot verda og framtida og gi elevane og lærlingane historisk og kulturell innsikt og forankring.

Opplæringa skal byggje på grunnleggjande verdiar i kristen og humanistisk arv og tradisjon, slik som respekt for menneskeverdet og naturen, på åndsfridom, nestekjærleik, tilgjeving, likeverd og solidaritet, verdiar som òg kjem til uttrykk i ulike religionar og livssyn og som er forankra i menneskerettane.

Opplæringa skal bidra til å utvide kjennskapen til og forståinga av den nasjonale kulturarven og vår felles internasjonale kulturtradisjon.

Opplæringa skal gi innsikt i kulturelt mangfald og vise respekt for den einskilde si overtyding. Ho skal fremje demokrati, likestilling og vitskapleg tenkjemåte.

Elevane og lærlingane skal utvikle kunnskap, dugleik og holdningar for å kunne meistre liva sine og for å kunne delta i arbeid og fellesskap i samfunnet. Dei skal få utfalde skaparglede, engasjement og utforskartrong.

Elevane og lærlingane skal lære å tenkje kritisk og handle etisk og miljøbevisst. Dei skal ha medansvar og rett til medverknad.

Skolen og lærebedrifta skal møte elevane og lærlingane med tillit, respekt og krav og gi dei utfordringar som fremjar danning og lærelyst. Alle former for diskriminering skal motarbeidast.

Formålsparagrafen viser med all tydelighet at skolen handler om langt mer enn næringslivets behov. Det dreier seg også om å gi elevene kunnskaper som kan anvendes til deltakelse i samfunnslivet, i politiske og andre demokratiske organer, fagforeninger, frivillige lag og organisasjoner. Dette gjelder også matematikkfaget og andre realfag.

Når man ser på skolens formålsparagraf og det læringssyn som må ligge til grunn for å fremme den, kan man trygt trekke den slutningen av læreren aldri vil bli overflødig. Læringsmaskiner og dataprogrammer kan aldri erstatte læreren.