lørdag 18. september 2010

Hjelpemidler

Selv om jeg i tidligere kapitler har forsøkt å bremse troen på konkretisering som hjelpemiddel, forstår jeg at det i begynneropplæringen er nødvendig å ta i bruk hjelpemidler som kan synliggjøre hvordan de skrevne tallene våre bygges opp. Vanligvis legges det stor vekt på å illustrere posisjonenes rolle i systemet. Til dette kan det brukes ulike typer materiell, helt konkret, halvkonkret eller halvabstrakt. Man kan for eksempel bruke pinner eller fyrstikker og strikk og lage tierbunter, eller man setter opp pinner som man trer kuler eller ringer på. Man lar da pinnen lengst til høyre være enere, den foran tiere og den foran der igjen være hundrer. Et annet kjent materiell er Cuisenaire-staver og Dienes-klosser.  Felles for dem er at man forsøker å synliggjøre veksling av ti enere til en tier, ti tiere til en ener osv. Dette materiellet er svært populært, men flere og flere stiller seg tvilende til nytten av det. Den amerikanske barnepsykologen Judy S. DeLoache har arbeidet med barns forståelse av symboler og gjenstander brukt som representasjon for andre ting[1]. Hun og en kollega, Meredith Amaya, prøvde å lære 6-7-åringer subtraksjon med tierovergang. En gruppe brukte slikt materiell, mens den andre brukte papir og blyant. De som bare brukte blyant og papir lærte dette dobbelt så fort som barn i den første gruppen. Ei lita jenta sa det slik: ”Har dere tenkt på å lære bort dette med å bruke papir og blyant? Det er mye lettere.”
Det er denne typen materiell man etter hvert har blitt mer skeptisk til, fordi man tror situasjonen er den at barna like gjerne må forstå posisjonssystemet for å forstå materiellet, som at barna lærer posisjonssystemet av materiellet. Man bør nok likevel holde åpen den muligheten av disse to aspektene kan forsterke hverandre gjensidig. Uansett, Wigley anbefaler en litt annen type materiell. Han mener man bør bruke noe han kaller plassverdikort. For tallet 2538 ser de slik ut:


2
0
0
0

5
0
0

3
0

8





Erfaringer med bruk av disse kortene er positive. Når man legger kortene oppå hverandre, vil man få tallet 2538. Det er tydeliggjort at 2538 = 2000 + 500 + 30 + 8.
Tankegangen bak dette valget kan være litt vanskelig å få tak i med en gang, for materiellet ser ved første øyekast ut til å bygge på nøyaktig samme prinsipper som det øvrige materiellet. Det er likevel en viktig distinksjon her. Wigley mener at elevene oppfatter de store tallene som mengder. Barn oppfatter altså 2000 som mengden ”to tusen”, ikke som det multiplikative 2 · 1000. Mengdene ”to tusen” pluss mengden ”fem hundre” blir til sammen mengden ”to tusen fem hundre”. Barna oppfatter etter hans mening mengdene ganske lett, mens posisjonenes mening er langt vanskeligere.
Hvis Wigley har rett, kan det være fristende å anta at svært mange elever aldri helt forstår posisjonssystemet fullt ut, på tross av all den bruken av konkretiseringsmateriell de arbeider med for å forstå det. Erfaringer med lærerstudenter tyder på at dette synet er riktig. Et stort antall studenter blir forundret over at vi kan skrive 2538 som 2·1000 + 5·100 + 3·10 + 8 = 2·103 + 5·102 + 3·10 + 8. Selv om de på en måte ”vet” dette, så synes det å være noe som er ufordøyd; noe de aldri har klart å ta helt inn over seg.
Det kan være nyttig å ta i bruk slike kort i forbindelse med steg 2 over, når man innfører hundrene. Man kan da lære elevene å si tallene fra 100 til 109, 200 til 209 og tilsvarende oppover. Samtidig som man øver på uttalen av disse tallene, kan man bruke to posisjonskort. Det er selvfølgelig ikke noe i veien for å ta i bruk andre hjelpemidler, som kalkulator eller regneark.
Når elevene blir litt eldre, kan man utvide tallområdet, for eksempel ved å føye til tre rader i tabellen, slik:


1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10 000
20 000
30 000
40 000
50 000
60 000
70 000
80 000
90 000
100 000
200 000
300 000
400 000
500 000
600 000
700 000
800 000
900 000







På et ikke altfor sent tidspunkt kan man jo også snakke litt om større tall. Mange barn vil synes det er moro å vite slikt, ikke minst for å kunne imponere litt. Systemet er slik:

1 million = 1 000 000 = 106
1 billion = (106)2 = 1012 (tolv nuller)
1 trillion = (106)3 = 1018 (atten nuller)
1 kvadrillion = (106)4 = 1024 (tjuefire nuller)

Systemet kan utvides ved å bruke kvint-, sekst-, sept-, okt- osv. (for dem som kan latin!) som forstavelse. Slike tall er imidlertid så lite i bruk at det er liten vits i å lære det bort, men noen synes jo det er morsomt å ha sett slike ting. Det vanlige i dag er å bruke potensene.
         Det er et problem at amerikanerne bruker et annet system. De bruker billion for 109 og trillion for 1012. Betegnelsene med -illiard brukes ikke i USA. De kaller altså vår milliard for billion, noe som kan skape forvirring. Med den amerikaniseringen som finnes i Norge, skal vi ikke se bort fra at vi før eller senere kommer til å adoptere det amerikanske systemet, selv om vårt eget er mer systematisk og logisk.
         Ellers finnes det jo også et annet system, der man bruker forstavelsene hekto (hundre), kilo (tusen), mega (million), giga (milliard), tera (billion) osv. Dette systemet er faktisk mer i bruk i dagliglivet, slik som når man for eksempel snakker om så og så mange megabyte eller gigabyte minnekapasitet i datamaskiner. Også for tall mindre enn én finnes det slike forstavelser. De minste kjenner de fleste av oss, slik som desi (tidel = 10-1), centi (hundredel = 10-2), milli (tusendel = 10-3), mikro (milliondel = 10-6), og etter hvert nano (10-9) og kanskje piko (10-12). I tabell 3 under finnes en litt større oversikt.



 

På ett eller annet tidspunkt vil mange skoleelever høre disse navnene og synes det er morsomt å kjenne noen av dem. De som er nærmest én brukes jo i mange måleenheter, og i de senere årene brukes også mange av de større og mindre i vanlig dagligtale. Vi snakker for eksempel om så og så mange terawattimer energi, eller vi diskuterer de mulighetene som brukes i nanoteknologien. Selv om ikke elevene helt ut forstår størrelsen av tallene (hvem gjør det, forresten?), kan det være greit å fortelle dem litt om dette. Men da må de kunne overskue litt mer av tallsystemet enn vi har innført over.
         I de tabellene vi har innført i teksten over, får man tallene i en rad ved å gange tallene i raden over med 10. Man kan innføre desimaltallene på samme måte, dvs. ved å innføre rader der man deler tallene under med 10. Vi får da denne matrisen, som godt kan lages som plakat og slås opp i klasserommet:


0,001
0,002
0,003
0,004
0,005
0,006
0,007
0,008
0,009
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
200
300
400
500
600
700
800
900








Forskning har vist at misforståelser om desimaltall er svært utbredt blant elever på mellom- og ungdomstrinnet. Ved å innføre desimaltallene tidlig, og på en slik måte som nevnt her, kan man kanskje forebygge noen av disse misforståelsene. Jeg skal ikke gå i detalj på slike misforståelser her, men vil nevne at de vanligste bygger på at elevene ikke synes å ha innsikt i sammenhengen mellom heltallsdelene og desimalene i tallet. Sifrene foran og bak kommaet synes å leve hver sine liv i mange elevers tankeverden, slik at de tror at 0,12 er større enn 0,2, eller at 2,4 + 3,8 = 5,12. Noen få elever har oppfattet noe om at de siste desimalene er de minste, og trekker den feilslutningen at tallene er mindre jo flere desimaler de har.
Det kan være lurt å lese hvert siffer for seg i begynnelsen. Man leser ”null komma null null fem” for tallet 0,005. Samme lesemetode bør man bruke for andre tall også, som for eksempel å lese tallet 3,45 som ”tre komma fire fem”. Bare når man bruker penger, kan man gjøre dette annerledes.
Penger synes for øvrig å være det viktigste konkretiseringsmiddelet når man skal innføre desimaltall i skolen. Dette er sannsynligvis ingen god strategi. Elevene oppfatter kommaet som et skille mellom kroner og ører, noe som kan lede til nettopp den type misforståelse som vi ser er svært vanlig. Å bruke målinger av ulike slag, er sannsynligvis bedre. På en god linjal for eksempel, vil man lettere kunne se overgangene mellom de dekadiske enhetene.




[1] DeLoache 2005. I Scientific American, 293, 2, 60-65.

Ingen kommentarer:

Legg inn en kommentar