onsdag 29. september 2010

Multiplikasjonstabellen

Å lære multiplikasjonstabellen er vanskelig. Vi kjenner alle til elever som har store problemer med å lære denne tabellen, og voksne som har problemer med deler av tabellen. Det er minst to årsaker til dette. Når vi skal pugge matematiske fakta, må vi ta i bruk deler av hjernen som egentlig er ment til noe annet. Blant psykologer kalles dette det deklarative langtidsminnet. Det er der enkeltfakta plasseres. For mange kan det være vanskelig å holde styr på alle de faktaene som inngår i gangetabellen, spesielt hvis de ikke får tak i den systematikken som ligger der. Dessuten er det veldig lett å blande sammen enkelte deler av tabellen. Noen deler av tabellen er vanskeligere å huske enn andre. Verst synes 7 x 8 eller 8 x 7 å være, men også 7 x 9, 6 x 9, 6 x 8 og 8 x 9 synes å være vanskelig. Dette skyldes at hjernen vår i denne sammenhengen fungerer som en assosiasjonsmaskin. Det er så mange like tall ute og går at man veldig lett assosierer dem med hverandre og blander dem sammen[1].
Egentlig inneholder ikke multiplikasjonstabellen mange fakta.  Hvis vi kutter ut multiplikasjoner med 0, 1 og 10, vil den komplette tabellen se slik ut:

Denne matrisen inneholder 64 elementer. Nå er multiplikasjon kommutativ (a · b = b · a). Det medfører at matrisen er symmetrisk om hoveddiagonalen (kvadrattallene), så vi kan godt fjerne den ene (øvre eller nedre) delen uten at vi mister noe informasjon.

Nå består matrisen av bare 36 elementer eller data. Det er ingen stor datamengde. Dessuten er 2-gangen og 5-gangen nokså opplagte. På det tidspunktet elever i skolen skal lære dette, kan de fleste barn til sammenligning mange tusen ord, kanskje 15 000 eller mer. Man skulle derfor ikke tro at det var noen heksekunst å lære gangetabellen. Det viser seg altså at det likevel er vanskelig. En viktig årsak er det at elementene i tabellen består av tre ledd som stokkes sammen i ulike rekkefølger, samt at disse leddene finnes på ulike steder i tabellen. For å forstå hvorfor dette er vanskelig, kan vi sammenligne med de tre setningene under:

Jon Arne bor i Trond Einars gate
Trond Vidar bor i Geir Arnes gate
Geir Einar bor i Trond Arnes gate

Det er alt annet enn lett å holde disse tre faktaene fra hverandre. Vi blander sammen fakta fordi de har en del fellestrekk. Samme fenomen gjør seg gjeldende når man skal lære gangetabellen. Vår hjerne er laget for å kjenne igjen mønstre. Derfor har vi lett for å assosiere, eller knytte sammen, fenomener med hverandre. Hvis vi ser en gammel bil, kan det hende vi begynner å tenke på en ferietur med foreldrene våre. Slike assosiasjoner gjør vi flere ganger om dagen. Men hvis stimulansene blir for like, får vi en slags interferens, og ting blandes sammen.
         Når det gjelder gangetabellen, kunne man kanskje anta at det er hukommelsen som svikter, ikke at det er interferensproblemer som gjør seg gjeldende. Men hvis vi tenker over hvilke feil folk gjør, vil vi fort oppdage at det ikke er hukommelsen som svikter. Da ville vi ikke kunnet gi noe svar, eller vi ville gitt nokså tilfeldige svar. Slik er imidlertid ikke virkeligheten. De svarene som gis, finnes nesten alltid et eller annet sted i gangetabellene, selv om svaret skulle bli feil. En svært vanlig feil er å si at 7 · 8 er lik 54, aldri 53 eller 57.
Når det gjelder divisjon, finnes det i prinsippet to typer: delingsdivisjon og målingsdivisjon. Den første varianten er den naturlige delingen i mindre mengder, der vi skal finne hvor mye det er i hver mengde. Hvis tre barn skal dele tolv drops likt mellom seg, vil de få fire hver. Dette er en enkel situasjon som de fleste barn forstår intuitivt. Verre er det med målingsdivisjon, der man skal finne antall delmengder, ikke størrelsen av hver enkelt. Man dividerer da i de fleste situasjoner med et måltall (benevnt tall). Rent formelt kan man definere delings- og målingsdivisjon slik:

Produkt: multiplikator · multiplikand = produkt
Delingsdivisjon: Produkt : multiplikator = multiplikand
Målingsdivisjon: Produkt : multiplikand = multiplikator

Det er tvilsomt om denne definisjonen er særlig klargjørende, og når man opererer med sammensatte enheter, eller når man regner arealer, blir skillet mellom delings- og målingsdivisjonen opphevet, men det kan jo være greit for lærere å kjenne den.


Det er viktig å introdusere eksempler på målingsdivisjon så tidlig som mulig i skolen. Eksemplene kan være enkle. ”Hvis vi har seks kaker og dere skal ha to kaker hver, hvor mange av dere vil få kake?” ”Hvis vi skal male 21 m gjerde og en liter maling dekker 3 m, hvor mange liter maling trenger vi?” Slike eksempler er spesielt viktige som en forberedelse til å regne med desimaltall. Når vi deler med et tall mellom 0 og 1, blir kvotienten større enn dividenden, noe som er umulig å forstå uten at man bruker målingsdivisjon. Svært mange elever tror at man alltid ”får mindre” når man deler. Bruk av målingsdivisjon har derfor stor overføringsverdi til senere matematikk, og det kan bidra til å forebygge misforståelser som vi vet er svært vanlige. Det er ikke vanskelig å få elever til å forstå at jo mindre glass vi heller en mugge saft i, jo flere glass kan vi fylle, og jo kortere biter vi klipper opp ei snor i, jo flere biter blir det.
Multiplikasjon og divisjon er i det hele tatt langt mer omfattende og innviklet enn addisjon og subtraksjon. De to siste regningsartene brukes på et begrenset antall situasjoner, mens bruk av multiplikasjon og divisjon er nærmest ubegrenset.




[1] Devlin 2000: 58 - 64

Ingen kommentarer:

Legg inn en kommentar