Affektive forhold spiller en viktig rolle i matematikklæring. Det er imidlertid ikke helt enkelt å definere og begrense det affektive området. I matematikkdidaktikken tar vi som oftest med både forestillinger, holdninger og følelser. I det følgende vil jeg forsøke å klargjøre hvordan disse begrepene brukes.
Affekt varierer ikke bare i intensitet, men også i retning (positiv eller negativ). Affektive reaksjoner varierer også i stabilitet. Forestillinger og holdninger er relativt stabile, mens følelser kan forandre seg raskt. Gjentatte følelser kan bli mer stabile og etter hvert bli en holdning. En elev som til stadighet opplever nederlag i matematikk, vil utvikle et negativt syn på faget som vil være stabilt og vanskelig å endre. Resultatet vil være en holdning som gjør at eleven alltid blir engstelig i møte med faget.
Tidligere ble det skilt klart mellom affekt og kognisjon[1]. Dette skillet er nå i ferd med å viskes ut og disse tingene må sees i sammenheng. Elevers suksess eller mangel på suksess er avhengig av flere faktorer enn hvilke kunnskaper en har i matematikk. Kognitive handlinger er ofte et resultat av bevisste eller ubevisste forestillinger.
Graden av affekt og kognisjon som er knyttet til forestillinger, holdninger og følelser varierer. Grovt sagt kan vi si at hvis vi bruker begrepene i den rekkefølgen vi har her, altså forestillinger - holdninger - følelser, så vil graden av affekt og intensiteten øke, mens graden av kognisjon og stabiliteten avta.
Det affektive området er vanskelig å beskrive fordi de samme ordene ofte brukes forskjellig. Psykologer bruker gjerne affekt til å indikere sterke emosjonelle reaksjoner, mens det her altså brukes annerledes. Et annet vanskelig ord er ordet angst. Av og til brukes det synonymt med redsel, altså en intens og følelsesladet reaksjon. Andre ganger brukes det om et mer vedvarende problem, og av og til brukes det om mindre intense følelser.
Forestillinger
I begrepet forstillinger kan vi legge inn slike ting som meninger, verdier, normer og forventninger. Schoenfeld (1985) og Silver (1982) beskriver systemer av forestillinger som en persons «matematiske verdenssyn». Som nevnt over, kan vi si at en forestilling har både en kognitiv og en affektiv side. Den har også en atferdskomponent, da den kan føre til handlinger.
Thompson (1992) diskuterer forskjeller mellom forestillinger og kunnskaper. Hun sier det kan være vanskelig å skille mellom disse to. Forestillinger kan innehas med varierende grad av overbevisning. Kunnskap stiller krav til bevis. Det er derfor mulig å vurdere gyldigheten av kunnskap. Når ny kunnskap dukker opp, kan imidlertid tidligere kunnskap betraktes som forestillinger.
Nye forestillinger blir satt inn i et system av forestillinger, slik at en forestilling aldri opptrer isolert fra andre forestillinger. Nye forestillinger blir satt sammen med andre. Et individ vil på denne måten konstruere sine egne systemer av forestillinger, for eksempel om matematikk. Her vil det lett opptre en selvforsterkende effekt, idet det er enklest å etablere nye forestillinger som lett passer inn med de gamle. Dette fører til at forestillingene ikke alltid er logiske, slik som kunnskap er ment å være.
Elevers forestillinger i matematikk
Vi kan peke på mange faktorer som bidrar til å skape forestillinger om matematikkfaget hos elever. Det kan være innholdet i faget, bruk av undervisningsmateriell eller måten det blir undervist på. Disse faktorene er innbyrdes avhengige av hverandre. Elevene samhandler også med medlever og med andre utenfor klasserommet. Det kan være venner, foreldre, andre slektninger eller andre lærere. Alle disse kan påvirke elevens holdning til faget. På tross av at forestillingene om faget altså dannes etter påvirkning fra flere hold, viser det seg at det finnes et sett av forestillinger som er nokså typiske[2]. Vi skal i det følgende se på hva enkelte forskere sier,
Lampert (1990) skriver : «Vanligvis er matematikk forbundet med sikkerhet, og vite og være i stand til å komme fram til riktig svar raskt. Disse kulturelle antakelsene er formet av erfaring fra skolen; hvor det å utføre matematikk betyr å følge reglene bestemt av læreren; å kunne matematikk betyr å huske den rette regelen når læreren stiller et spørsmål; matematisk sannhet er bekreftet når læreren bekrefter svaret. Forestillinger om hvordan man utfører matematikk og hva det betyr å kunne matematikk i skolen tilegnes gjennom med å se, lytte og øve».
Frank (1998) angir følgende typiske forestillinger, tatt fra undersøkelser blant elever i de første tenårene:
1. Matematikk er beregning.
Matematikk var for elevene de fire regningsartene. For å beherske disse er det nødvendig å huske de riktige algoritmene og reglene.
2. Matematikkproblemer bør kunne løses raskt og ved hjelp av få trinn.
Matematikkproblemer skulle være rutineproblemer med kjente algoritmer og regler til å løse disse. Ikke-rutineproblemer ble sett på som ekstraoppgaver utenfor den virkelige matematikken. Dersom ikke problemene ble løst forholdsvis raskt, var det enten noe galt med oppgave eller den som løste oppgaven.
3. Målet med å utføre matematikk er å få «det rette svaret».
Matematikk blir delt inn i å være enten «helt rett» eller «helt galt». Elevene fokuserte bare på svaret, og om dette var rett eller galt. Noen mente at det bare var læreren som kunne avgjøre om svaret var riktig. Dersom svaret var galt, så var det en verdiløs erfaring.
4. Elevenes rolle er å motta matematisk kunnskap for så å vise at kunnskapen er mottatt.
Matematikk blir mottatt ved å lytte oppmerksomt i timene, lese i læreboka og jobbe med leksene. Ved å produsere de rette svarene viser du at du har mottatt matematikken. Dersom du får rett svar så forstår du stoffet, dersom du ikke forstår svaret så forstår du ikke stoffet.
5. Matematikklærerens rolle er å overføre matematikkunnskap og bekrefte at studentene har mottatt kunnskapen.
Matematikklærerne forventes å gjennomgå stoffet i læreboka. Dersom læreren er flink til dette, så vil elevene være i stand til å få de rette svarene på lekser og tester. Læreren bekrefter svarene ved å sjekke svarene for å være sikre på at de er riktige.
Liknende lister med funn finnes hos flere forskere. Paulos (1998) lister opp fem misforståesler som han kaller myter.
1. Matematikk er beregning.
De fleste elever, og de fleste voksne, er ikke i stand til å tolke grafer, forstår ikke statistiske begreper, er ikke i stand til å sette opp matematiske modeller, gjør sjelden overslag eller sammenligninger størrelser, er immune mot matematisk skjønnhet, og utvikler sjelden ren kritisk, skeptisk holdning til numeriske, romlige og kvantitative data eller konklusjoner.
2. Matematikk er et strengt hierarkisk oppbygd fag.
Vanlige forestillinger er at først så kommer aritmetikk, så kommer algebra, så kalkulus, differensiallikninger osv. Deler av matematikken viser et kumulativt aspekt, men det er mindre viktig enn mange innser.
3. Matematikk og fortellinger er forskjellige aktiviteter.
Fortellinger er like effektive i matematikk som i andre fag. Det setter faget inn i en kontekst og illustrerer fagets begrensninger.
4. Matematikk er ikke for alle, det er bare for noen utvalgte.
Det er sant at noen har et større talent i matematikk enn andre, men det gjelder jo også i andre fag. Alle kan utvikle en forståelse for matematikk,
5. Matematikk er følelsesløs.
Altfor mange mennesker tror at matematikk er uten følelser. Slike antakelser er like vanlige som de er ubegrunnet.
Kloosterman (1991) skriver at studentenes forestillinger er nøkkelen til å forstå deres atferd. Flere studier har vist sammenheng mellom selvtillit og prestasjoner («Lært-hjelpeløshet».) Elever tror det er liten sammenheng mellom hardt arbeid og suksess. Lærerne må derfor framheve hvor viktig hardt arbeid er.
Noen elever mener at det å gjøre det bra i matematikk er betyr å gjøre det bedre enn andre. En bør derfor gjøre elevene oppmerksom på at å forbedre seg selv er viktigere enn å gjøre det bedre enn andre.
Elever med positive forestillinger gjør det bedre i matematikk, og elever som gjør det bra i matematikk har mer positive forestillinger. Det er derfor viktig å å la elevene føle at de har suksess. For å få slutt på den forestillingen at feil ikke er ønskelige i matematikk, bør elevene få utfordrende problemer slik at de ser at feil er en del av læringsprosessen.
Stodolsky m.fl. (1991) sammenlignet elevenes forestillinger og holdninger til samfunnsfag og matematikk. De fant at i samfunnsfag jobber elever mer i grupper, utfører undersøkelser og jobber mer med oppgaver som er samsvarende med høyere ordens tenkning. I matematikk, på den andre siden, bruker elevene mye mer tid på tavleundervisning etterfulgt av oppgaveregning. Elevene karakteriserte positive og negative erfaringer i matematikk etter deres prestasjoner og evner, mens i samfunnsfag ble disse knyttet til om de finner det kjedelig eller gøy. Flere elever trodde de kunne lære samfunnsfag på egenhånd enn matematikk. Matematikkerfaringer ble spesielt omtalt med følelser av angst, skam og utilstrekkelighet.
Schoenfeld har gjennomført flere undersøkelser. I 1985 ga han følgende eksempler på forestillinger hos elever:
Forestilling 1: Formell matematikk har lite eller ingenting med virkelig tenkning og problemløsing å gjøre.
Konsekvens: I et problem som krever undersøkelser, vil ikke formell matematikk bli benyttet.
Forestilling 2: Matematikkproblemer kan løses i løpet av 10 minutter, hvis de kan løses i det hel tatt.
Konsekvens: Hvis problemet er uløst etter 10 minutter, vil eleven gi opp.
Forestilling 3: Bare genier er i stand til å oppdage eller skape matematikk.
Konsekvens 1: Dersom en elev glemmer noe, så er det ikke noe å gjøre med det, fordi det er bare genier som er i stand til å utlede noe på egenhånd.
Konsekvens 2: Elever aksepterer algoritmer og prosedyrer og prøver ikke å forstå hvorfor disse virker. Prosedyrene kommer jo tross alt fra autoritetspersoner som kan dette.
Schoenfeld beskriver også et arbeid fra flere års observasjoner i geometriklasser i high-school. Disse dataene viser blant annet at:
· ingen av klassene løste det vi kan kalle problemer, kun øvingsoppgaver som krevde kunnskap i små deler av emneområder
· hjemmeleksene besto i å løse fra 18 til 45 «problemer»
· en typisk test som ble gitt, ga studentene to minutter og ti sekunder på hver oppgave.
Den underliggende beskjeden er at hvis du forstår stoffet, så kan du løse oppgavene. Hvis du derimot ikke kan løse dem innenfor et rimelig tidspunkt, så forstår du ikke stoffet.
V kan si at forestillingene kan deles inn i fire underklasser[3]:
1. Forestillinger om matematikk.
2. Forestillinger om en selv som matematikkelev og bruker av matematikk.
3. Forestillinger om hvor matematikk kommer fra.
4. Forestillinger om hvordan matematikk bør undervises og læring.
Ut fra disse funnene synes det påkrevd å utforme en pedagogikk som skaper andre forestillinger. Dette er et vanskelig prosjekt, og det er også nødvendig å arbeide med læreres forestillinger om faget. Det reiser seg også pedagogiske spørsmål knyttet til dette som det ikke er plass til å drøfte her. En del sentrale ting bør det likevel være mulig å fastslå som ønskelige:
§ Det er viktig at elever blir klar over og reflekterer over sine egne forestillinger og mulige alternativer til disse.
§ Matematikkundervisning burde inneholde aktiviteter som oppmuntrer til å undersøke matematiske emner; utvikle og forbedre egne ideer, utvikle strategier og metoder og reflektere over disse og diskutere matematiske begreper og ideer.
§ Disse spørsmålene bør diskuteres i i små eller store grupper.
§ Matematikklæreren bør være mer en tilrettelegger og diskusjonsleder og mindre en informasjonsspreder.
Holdninger
Holdninger er mindre stabile enn forestillinger, men mer stabile enn følelser. De er mer intense enn forestillinger og mindre intense enn følelser[4]. Et eksempel på en holdning kan være noe slik som at «Jeg liker geometri».
Holdninger kan oppstå på to måter. De kan være et resultat av automatisering av gjentatte reaksjoner til matematikk, eller man kan overføre holdninger fra andre områder. Det er naturlig nok ofte en sammenheng mellom atferd og holdninger, men atferd eller opplevelser kan også påvirke holdningene. For eksempel så kan en god karakter på ei prøve føre til mer positive holdninger til faget.
Det er gjennomført en rekke studier omkring ulike holdninger hos elever. Her skal vi nevne bare noen av de viktigste funnene:
§ Andelen av de som sier de liker matematikk, blir mindre etter hvert som elevene blir eldre.
§ Mange oppfatter matematikk-klasserommet som et sted for konkurranse. Dette kan virke ansporende for noen, spesielt for de som lykkes i faget, mens mindre suksessfylte elever gjerne utvikler negative holdninger. Jenter liker konkurranse mindre enn gutter.
§ Holdningene påvirkes av lærerens opptreden og hvilke undervisningsmetoder som brukes.
Det å endre holdninger, vil være en lang og tidkrevende prosess. De strategiene som foreslås, er stort sett de samme som er beskrevet i avsnittet over (om forestillinger). Poenget er at elevene skal være mer aktive, og at de skal få gjette og sette opp hypoteser.
Følelser
Matematikk er et fag der det ofte uttrykkes mye følelser. Alle har sikkert hørt utbrudd som: «Jeg hater matematikk». Under arbeidet med å løse et problem kan følelsene svinge ganske kraftig.
Følelser er som tidligere beskrevet affektive reaksjoner som har stor intensitet. De lar seg vanskelig måle på et spørreskjema. Derfor finnes det ganske få forskningsarbeider som omhandler følelser. Det viser seg imidlertid at både eksperter og nybegynnere reagerer med både positive og negative følelser på problemløsingsoppgaver, men at ekspertene er flinkere til å kontrollere følelsene sine. Eksperter har dessuten et større register av strategier å spille på, og kan derfor prøve nye tilnærminger, mens novisene gjerne stanger hodet i veggen ved å holde på den strategien som ikke virker.
Flere undersøkelser blant voksne (Buxton, 1981; Curry et al., 1996) har avslørt at svært mange reagerer på matematikk med noe som nærmest må kalles panikk. Reaksjonene beskrives også som redsel, angst og forlegenhet. Årsaken til at et slikt mønster har fått festne seg kan være mange, slik som
§ gjentatte feil i tidligere forsøk på å utføre liknende matematikk,
§ overdreven frykt for at ikke arbeidet skulle bli godkjent av læreren,
§ krav om svar som enten er helt korrekte eller gale,
§ krav om at svar skal komme raskt,
§ instrumentell undervisning uten vekt på forståelse,
§ forestillinger om matematikk som en samling av fakta og regler som bare er tilgjengelige for de få
Oppsummering
De undersøkelsene som er omtalt over er gjort for noe tid siden, og i andre land enn Norge. Alt er derfor ikke relevant for oss. Spesielt kan vi savne vurderinger som gjelder den utviklingen vi hadde etter L97, med vekt på temaer, konkretisering og lek. Likevel vil jeg tro at mange elever fortsatt utvikler negative følelser for matematikk, eller at de har blitt møtt med så små krav at kunnskapsnivået har sunket under det forsvarlige. Det framtidige målet i skolen må være å unngå å skape så mange negative følelser, holdninger og forestillinger. Nervøsitet og angst gjør det vanskelig å forstå matematikk på kort sikt. På lang sikt kommer en inn i en ond sirkel. Vonde følelser knytte til matematikktimene og gir en sperre for å lære nytt stoff. Samtidig må vi ha som mål å gi elevene best mulige kunnskaper og ferdigheter i faget. Kunsten er å skape muligheter til å få til denne kombinasjonen.[1] Kognisjon kan defineres som de mentale prosesser som ligger til grunn for kunnskapstilegnelse, bruk av kunnskaper og bearbeiding av en iakttagelse.
[2] De funnene som beskrives under er ikke hentet fra Norge, men det er god grunn til å tro at de er like ens her som i andre, vestlige land.
[3] Det er her fokusert på elevenes forestillinger. Lærernes forestillinger skal vi komme tilbake til senere.
[4] Det er mulig å bruke ulike definisjoner, og ulike forskere kan bruke begrepene ulikt.
Ingen kommentarer:
Legg inn en kommentar