Etter hvert som kalkulatorer og datamaskiner har blitt allemannseie, har diskusjonen om bruk av disse hjelpemidlene i skolen blitt borte, og slike hjelpemidler har blitt vanlige redskaper i skolen. Blant menigmann finnes det nok likevel en god del skepsis til utbredt bruk av kalkulator eller regneark i skolen. Folk mener å registrere at barn og unge er vesentlig dårligere til å behandle tall enn de var for noen tiår siden, og da er det nærliggende å skylde på de nye hjelpemidlene. De voksne merker jo selv at hyppig bruk av kalkulator er en lettvint måte å unngå å bry hjernen på. Man føler at man sløves ned.
Kalkulatoren har opplagt ført til at folk får mindre øving i å regne for hånd eller i hodet enn de fikk i tidligere tider. Når man registrerer at ungdom som jobber i kiosker eller butikker ofte er skremmende dårlige til å behandle tall, er det naturlig å tenke på kalkulatoren som synderen. På den annen side hevder mange forskere at de ikke kan måle noen negativ effekt av at det brukes kalkulator i opplæringen. Singapore er ett av de landene som skårer aller høyest på internasjonale matematikktester, og der brukes kalkulator flittig.
Det kan være vanskelig å orientere seg i dette landskapet av ulike argumenter. Jeg vil tro det er riktig observert at regneferdighetene i befolkningen har vært på vei nedover de senere årene, men det er sannsynligvis for enkelt å legge all skylda på kalkulatoren, eller i hvert fall å tro at alt blir såre vel dersom man ikke bruker den eller andre elektroniske regneverktøy i skolen. Virkningen av å bruke kalkulator er for det første avhengig av hvordan den brukes, mer enn om den brukes. Dessuten tilsier eksistensen av disse hjelpemidlene at man må legge mindre vekt på skriftlig algoritmeregning enn før og større vekt på hoderegning. Denne utviklingen har gått altfor tregt.
Noen muligheter på kalkulator
De yngste elevene kan synes det er moro bare å skrive store tall på kalkulatoren, eller å utforske tallsystemet. For dem kan det være nok å leke med kalkulatoren og la seg fascinere av tallene. Ofte vil nysgjerrigheten være nok til at de danner seg hypoteser og tester ut, eller at de ser etter mønstre som er morsomme.
Etter hvert som de blir noe eldre og mer fortrolige med kalkulatoren, bør den tas i bruk til å regne med. Det er minst to muligheter som bør utnyttes[1]. Det ene er å bruke kalkulatoren som fasit, dvs. at barna arbeider med regnestykker som de skal forsøke å finne svaret på, og så bruker de kalkulatoren til å sjekke om de regner riktig. Dette kan gå hurtig for seg, ved at regnestykket slås inn og at barnet forsøker å utføre beregningen før det får lov til å bruke ”er lik”-tasten. En annen variant kan være at eleven selv eller en annen person holder over svaret inntil svar er avgitt. Slik sett kan man lage ulike øvinger og kombinere dem med både ren regnetrening og sosialt samspill med andre. Det didaktiske poenget vil hele tiden være at eleven får rask tilbakemelding, men at han eller hun først må regne i hodet. Det er altså ikke snakk om sløv bruk av kalkulatoren til å utføre rutineberegninger.
De fleste enkle kalkulatorer eller lommeregnere har innebygd en konstantfunksjon. Den virker på den måten at man trykker på funksjonstasten en eller to ganger, for å så trykke gjentatte ganger på ”er lik”-tasten. Hvis man for eksempel trykker tallet 2, så plusstasten og deretter bruker likhetstegnet, vil man få tallrekka 2, 4, 6, …, dvs. partallene. Trykker du 1 + 2, deretter plusstasten to ganger og deretter ”=”, vil du få tallrekka 1, 3, 5, … Hver gang du trykker på likhetstegnet legger kalkulatoren til to til det foregående tallet. Trening i stegtelling er derfor en aktivitet som fint kan brukes sammen med kalkulator.
Det er selvsagt en fare for at bruk av kalkulator kan virke sløvende, dersom kalkulatoren brukes til enkel utregning. I småskolen er det viktigste å øve opp tallfølelsen ved hjelp av hoderegning med eller uten støtte av skriftlige notater, regning på tallinje og øvelse i algoritmeregning. Utstrakt bruk av kalkulator vil derfor ikke være aktuelt på småskoletrinnet. Men brukt som et supplerende verktøy med hovedhensikt å pirre nysgjerrigheten og strekke regneferdighetene, kombinert med hurtige tilbakemeldinger, kan den absolutt ha sin funksjon.
Regneark og tallmønstre
I de nyeste versjonene av Excel regneark har det blitt svært enkelt å lage tallrekker av ulike slag. Programmet er laget slik at hvis man skriver inn tall i to naboruter og merker av begge to med skrivemerket, vil programmet se på sammenhengen mellom tallene og gjette på at de tilhører et bestemt mønster. Dersom man nå kopierer ved å dra skrivemerket til andre ruter, vil programmet bruke mønsteret og skrive de neste tallene i henhold til mønsteret. I figuren under kan vi se nærmere hvordan dette foregår.
I kolonne A ble først 2 og 4 skrevet opp. Rutene A1 og A2 ble så merket på samme måte som vi ser i rutene G1 og G2 på figuren. Ved å gripe tak i det lille svarte kvadratet nederst i merkingen og dra det nedover, teller programmet selv om 6, 8, …, dvs. partallene. I kolonne B er oddetallene laget på samme måten. I kolonne C og D ser vi tregangen og firegangen. Der startet vi med henholdsvis 3 og 6, og 4 og 8. I rutene G1 og G2 står det 1 og 5. Hvis vi kopierer nedover nå, vil vi få en tallfølge der det er en forskjell på 4 mellom tallene, dvs. at vi får tallfølgen 1, 5, 9, 13, 17, … På denne måten kan vi enkelt framstille alle gangetabellene, og vi kan gå så langt utover i rekka som vi ønsker.
Ideelt sett bør vi beflitte oss på å la elevene gjette på hvilke tall som kommer i rutene under, før vi lar dem få se resultatet. Denne måten å arbeide på er et viktig element i det å bruke de elektroniske hjelpemidlene til å stimulere tankeaktivitet og nysgjerrighet, i stedet for å passivisere elevene.
På et senere tidspunkt kan regnearket være fint å bruke for å utforske desimaltall. Vi kan for eksempel starte med 0,25 i rute A1 og i neste rute ta A1 + 0,25. Deretter kan vi kopiere formelen. Eller vi kan starte med 0,125 og navnet på ruta + 0,125 i neste rute. Vi vil da få fram følgende mønster (horisontalt eller vertikalt etter eget ønske):
0,25 | 0,5 | 0,75 | 1 | 1,25 | 1,5 | 1,75 | 2 |
0,125 | 0,25 | 0,375 | 0,5 | 0,625 | 0,75 | 0,875 | 1 |
Dersom elevene ikke er fortrolig med dette fra før, vil mange av dem synes at resultatene er uventede, ja noen vil ha store problemer med å akseptere dem til å begynne med. Å gjøre en slik øvelse kan derfor føre til livlige og lærerike diskusjoner. Mulighetene til å eksperimentere med ulike desimaltall er store.
Man kan også bruke regnearket til å utforske sammenhenger mellom tall. Hvis vi for eksempel lager en multiplikasjonstabell, slik som på figuren under, kan man leke med ulike typer mønstre.
2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 | 18 |
6 | 9 | 12 | 15 | 18 | 21 | 24 | 27 |
8 | 12 | 16 | 20 | 24 | 28 | 32 | 36 |
10 | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 | 40 | 45 |
12 | 18 | 24 | 30 | 36 | 42 | 48 | 54 |
14 | 21 | 28 | 35 | 42 | 49 | 56 | 63 |
16 | 24 | 32 | 40 | 48 | 56 | 64 | 72 |
18 | 27 | 36 | 45 | 54 | 63 | 72 | 81 |
20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 | 80 | 90 |
Én mulighet er å ta ut små kvadratiske utsnitt fra tabellen[1]. Man kan merke utsnitt og kopiere dem over til et eget sted på arket, slik at man får isolert det man vil studere. Det kan for eksempel bli seende ut som her:
62 | 58 | |||
12 | 16 | 20 | ||
15 | 20 | 25 | ||
18 | 24 | 30 | ||
360 | 360 |
50 | 49 | ||
20 | 25 | ||
24 | 30 | ||
600 | 600 |
I de grønne rutene står summen av tallene i diagonalene, mens de rosa rutene viser produktet av tallene i motsatte hjørner. For en 2 x 2 – matrise er forskjellen mellom diagonalsummene lik 1, for en 3 x 3 – matrise lik 4. I begge tilfellene blir produktet av tallene i hjørnene det samme. Når dette oppdages, kan man ta andre utsnitt av samme størrelse og se om det er samme mønster overalt, og man kan se på stadig større utsnitt, som i tilfellet under.
104 | 94 | ||||
12 | 15 | 18 | 21 | ||
16 | 20 | 24 | 28 | ||
20 | 25 | 30 | 35 | ||
24 | 30 | 36 | 42 | ||
504 | 504 |
For å få til dette må elevene lære å bruke formelsystemet i regnearket. Det er ingen grunn til å tro annet enn at selv elever i de laveste årstrinnene lærer dette fort. I dag er det flere muligheter for å sette sammen formler. For å finne tallet 104 i matrisen over kan man sette skrivemerket i den ruta der man vil ha svaret, trykket på knappen for autosummer, dvs. Σ – tegnet på verktøylinja. Så kan man merke av rute for rute, dvs. rutene der det sår henholdsvis 12, 20, 30 og 42, og skrive + mellom for hver gang. Man kan også skrive alt på tastaturet. For å finne produktet av hjørnene skriver man først = - tegnet, og så merker man av tallet 21 (eller 12), skriver * for gange og merker av tallet 24 (eller 42). Barn lærer sannsynligvis dette lynhurtig.
Har man først kommet i gang med denne typen bruk av regnearket, kan man variere i mange retninger. Elevene kan lage seg hypoteser av mange slag og hurtig teste dem. Og man kan bruke andre tallmatriser av ulike slag. Alan Bell forteller om ei jente som studerte månedskalendere. Hun laget seg to L – formede utsnitt og så på summen av tallene i dem. For juli 2006 ville det se slik ut:
Summen av tallene i de grønne rutene er lik 102, av de rosa 58. Forskjellen mellom de to summene er 44. Selv om de to L – ene flyttes, blir forskjellen den samme, dvs. 44.
I andre tabeller finner man andre mønstre, eller man kan danne seg hypoteser som ikke stemmer. Det fine med å bruke regneark på slike ting, er at man kan sjekke hypoteser rakst.
Å leke med tall på denne måten for å se etter mønstre og sammenhenger, utgjør en kjerneaktivitet i matematikken. Matematikkens vesen er jo nettopp det å beskrive mønstre og sammenhenger. Dessuten har denne formen for aktivitet stor overføringsverdi til algebra, eller det kan brukes som innfallsvinkel til algebra. Dersom man vil bevise sine hypoteser, må man jo ty til algebra. Dette er derfor en type aktivitet som man med fordel kan ta fram igjen på høyere årstrinn.
De fleste vil forbinde regneark med rene tallberegninger knyttet til praktiske oppgaver og med grafiske framstillinger, slik som søylediagrammer, sirkeldiagrammer eller andre typer diagrammer. Dette er vel og bra, men det vil være trist om dette blir den eneste måten regnearket brukes på. Det finnes mange andre muligheter, og noen av dem er nevnt over. Denne boka handler om matematikk på småskoletrinnet, så jeg skal ikke bruke plass til å gå særlig inn på bruk av regnearket på høyere årstrinn. La meg likevel gi noen små hint.
En av de største fordelene med å bruke regneark er at alle beregninger gjøres om automatisk hvis man endrer på tall som inngår i beregningene. Dette kan utnyttes til å studere sammenhenger og strukturer. La meg ta et eksempel. Hvis du kjøper en vare som er priset med en enhetspris, som for eksempel frukt i en butikk, finner du beløpet du må betale, kjøpesummen, ved å multiplisere mengde du kjøper med enhetsprisen. Du kan lett lage et regneark som viser hvordan kjøpesummen varierer med innkjøpt mengde. Her må man utnytte regnearkets muligheter til å lage formler ved hjelp av rutehenvisninger (noe jeg her forutsetter kjent). Et lite regneeksempel kan se slik ut:
Pris per kg: | kr 19,90 |
Innkjøpt mengde (kg) | Kjøpesum |
0,500 | kr 9,95 |
0,750 | kr 14,93 |
1,000 | kr 19,90 |
1,250 | kr 24,88 |
1,500 | kr 29,85 |
1,750 | kr 34,83 |
2,000 | kr 39,80 |
Grunnen til at nettopp et slikt oppsett kan være nyttig, er at mange elever kan ha problemer med å regne på samme måte med desimaltall mellom 0 og 1, som med andre tall. Dette skyldes en utbredt misforståelse om at man alltid får mer når man ganger og mindre når man deler. Her får man synliggjort selve strukturen i beregningene svært godt, og at samme struktur må brukes uavhengig av tallene. Lignende oppsett kan man bruke på mange strukturer, og kanskje aller best i målingsdivisjoner, slik som i eksempelet under.
Hver person får (liter) | Antall personer som kan få brus |
2 | 2 |
1 | 4 |
0,5 | 8 |
0,25 | 16 |
0,2 | 20 |
0,1 | 40 |
Her får vi raskt synliggjort at svarene øker etter hvert som utdelt mengde brus per person minker, og at regnemåten er den samme også når mengden ligger mellom 0 og 1.
De elektroniske verktøyprogrammene innholder et vell av muligheter, langt flere enn folk flest har anelse om eller behersker. Slik er det også med regnearkene. I skolen kan man bare snuse på noen av mulighetene, men det bør være et mål å ikke bare lage tabeller og diagrammer. På høyere årstrinn kan man for eksempel ta i bruk tilfeldig-funksjonen i forbindelse med sannsynlighetsregning, og man kan framstille funksjoner ved hjelp av xy-diagrammer.
Hovedhensikten med å bruke kalkulator eller regneark i skolen må som sagt være å gjøre ting som det er vanskelig, eller i hvert fall mer arbeidskrevende, å gjøre uten disse hjelpemidlene. Det kan selvsagt dreie seg om å utføre tunge beregningsoppgaver, men dette er ikke så aktuelt på småskoletrinnet. Regnearket kan selvsagt også brukes for å framstille ting på en skikkelig måte, slik som nettopp å vise oversikter i tabeller og illustrere ved hjelp av diagrammer. Slike framstillinger kan også kopieres og legges inn i vanlige tekstfiler. I det hele tatt burde skolen legge vekt på å lære elevene å lage presentasjoner og rapporter av ulike slag ved hjelp av elektroniske medier. Mulighetene er jo svært store i dag, og man kan trygt gå ut fra at de elektroniske hjelpemidlene vil være nærmest enerådende i elevenes senere arbeidsliv.
Geometriprogrammet Cabri
Cabri er et elektronisk konstruksjonsprogram laget spesielt for skolen. Programmet er billig i innkjøp, og inngangsterskelen for å ta det i bruk er lav. Det bør ikke være noe i veien for at elever på småskoletrinnet skal kunne ta det i bruk så snart de klarer å lese menyene, eller kanskje enda tidligere. Det finnes symboler på verktøyknappene, og unger er jo flinke til å eksperimentere og prøve seg fram med slike ting.
Programmet byr på mange muligheter til å eksperimentere med figurer, former og farger, på en måte som bør passe godt for småskoletrinnet. Bare det å lage figurer for så å leke med dem, kan sikkert være morsomt nok på dette nivået. Cabri har en spesiell ”dra og slipp”-funksjon, som gjør at man kan ta tak i punkter og endre på figurene etter ønske og behov, eller bare for eksperimentets skyld. Dessuten er det enkelt å variere på linjefarger og fyllfarger. Man kan også skjule elementer som brukes i konstruksjonene, slik at man til slutt får enklere figurer fram på skjermen.
Programmet inneholder selvfølgelig mange andre muligheter, men det vil nok være naturlig å utsette bruken av mange av dem til høyere årstrinn. Jeg vil imidlertid nevne spesielt mulighetene til å foreta speilinger, som en interessant aktivitet til bruk i småskolen. I figuren under ser vi hvordan skjermbildet ser ut hvis vi ønsker å speile et kvadrat om ei linje.
Ved å starte med ulike figurer for så å speile dem om linjer eller punkter, kan elevene eksperimentere med tesseleringer, dvs. fylle ut planet med like figurer. De kan se hvilke typer figurer som tesselerer, dvs. fyller planet, og hvilke som ikke gjør det. Samtidig kan de leke seg med farger, om de så ønsker.
Det finnes en vel utviklet teori om hvilke figurer, og hvilke sammensetninger av figurer, som tesselerer. Vi skal ikke gå nærmere inn på dette her, bare peke på et par eksempler.
I figur 13 ser vi at regulære femkanter ikke fyller planet. Det gjør imidlertid likesidede trekanter og kvadrater. Også andre trekanter
tesselerer, men da må vi speile dem om midtpunktet på sidene, ikke bruke sidene som speilingsakser (se figur 14).
Å drive systematisk opplæring i geometri ved hjelp av Cabri, har liten hensikt i småskolen. Programmet byr imidlertid på muligheter som bør utnyttes. Gjennom eksperimentering og lek med programmet kan elevene få verdifulle erfaringer som de kan trekke veksler på senere i skolegangen. De vil kunne venne seg til terminologien ved å bruke menyknappene og gjennom samtaler, og de kan bli fortrolige med de geometriske grunnfigurene på en fin måte.
[1] Bell 1995
Ingen kommentarer:
Legg inn en kommentar