Den følgende teksten består av punktvise, korte oppsummeringer av synspunkter gitt av en del kjente matematikkdidaktikere. Mye er sakset fra forelesningsnotater. Det har derfor en litt spesiell stil, med punktvise oppdelinger og med henvisninger til mange ulike forskere. Tankene til så sentrale personer burde ikke presenteres så summarisk. Når jeg likevel velger å ta det med, så er det fordi jeg mener at stoffet gir mange innspill til refleksjon og ettertanke.
Lærerens syn på matematikk
Kunnskap om faget er ikke nok. Undervisningen avhenger i fundamental forstand av lærernes trossystem, spesielt med hensyn til matematikkens hensikt og natur og på deres modeller for undervisning og læring av matematikk.
Lakatos (1976) diskuterer hva matematikk er. Som en metode laget han en dialog mellom studenter. Han sier at matematikere lager en prosess med bevisst gjetting om forholdet mellom størrelser og former.
§ Utarbeidelse av bevis følger ei sikk-sakk rute som starter fra antakelser og beveger seg mot gransking av premissene via bruk av moteksempler og forkastelser.
§ Dette arbeidet er annerledes enn det som til slutt skrives ned som bevis. Prosessen kommer ikke fram i det deduktive beviset.
§ Kunnskapen er ikke endelig, for grunnlaget - aksiomene - vil fortsatt være åpne for diskusjon. Dette har ført til at faget har vokst og endret seg gjennom tiden.
§ Ting som før har vært udiskutabelt kan bli revurdert på grunnlag av at man finner nye konsekvenser som ikke kan godtas.
§ Den som gjør en gjetning tar en risiko og innrømmer at ens premisser kan diskuteres, at ens innsikt har vært begrenset eller at konklusjonene har vært tvilsomme.
Polya (1954) mente at mot og beskjedenhet var egenskaper som vesentlige for matematikere, som etter hans mening måtte tenke induktivt. De måtte tørre å stille spørsmål ved både observasjoner og generaliseringer. Både induksjon fra observasjoner og deduksjon fra det generelle til konkrete, må brukes. Det må sies "kanskje" i tusen varianter. Dette krever intellektuelt mot, intellektuell ærlighet og klok tilbakeholdenhet.
Hersch sier følgende:
Matematikk handler om idéer. Alle som har det aller minste innblikk i matematisk virksomhet, vet at matematisk arbeid er arbeid med idéer.
§ Symboler brukes som hjelpemidler, akkurat som musikere bruker noter. Musikken kommer først, notene etterpå.
§ Notene kan aldri bli et fullt uttrykk for komponistens tanker.
§ På samme måten er aksiomer og definisjoner et forsøk på å beskrive hovedegenskapene i en matematisk idé.
§ Men det kan alltid gjenstå aspekter som vi bruker implisitt, som vi ikke har formalisert fordi vi ennå ikke har sett et moteksempel som gir oss grunn til å tvile på dem.
Fagmatematikeren derimot må være i stand til å ta et steg vekk fra sitt arbeid, vurdere tidligere antakelser, argumentere omkring grunnlaget for deres legitimitet og være villig til å la andre gjøre det samme.
Synet bygger på en sosiologisk analyse av matematisk kunnskap basert på matematikeres pågående praksis.
§ Matematikk blir her beskrevet som en mental aktivitet, en sosial konstruksjon som inneholder antakelser, bevis og motbevis, og hvis resultater er underlagt revolusjonær endring og hvis gyldighet må ses i et sosialt og kulturelt lys.
§ Praktisk utøvende matematikere utfordrer den forestillingen at matematisk kunnskap er á priori og ufeilbarlig. De sier at matematisk kunnskap i virkeligheten kan inneholde feil, og at den i virkeligheten ligner på naturvitenskapene.
§ Et underliggende premiss i dette synet er at å kunne matematikk er det samme som å lage matematikk.
§ Dette peker mot en matematikkutdanning hvor elever deltar i meningsfylte aktiviteter som kommer fra problemsituasjoner og som
o krever resonnement og kreativ tenkning,
o oppdage, finne opp og kommunisere idéer og
o teste disse ideene gjennom kritisk refleksjon og argumentasjon
§ Dette synet fornekter imidlertid ikke nytten av å kunne begreper og prosedyrer.
NCTM, National Council of Teachers of Mathematics, USA, 1989: Vi mener ikke at informasjon ikke har noen verdi, bare at dens verdi ligger i dens bruk i hensiktsrettet aktivitet.
§ Det er klart at fundamentale konsepter og prosedyrer fra de matematiske grenene bør være kjent av alle elever/studenter.
§ Men instruksjon bør alltid poengtere "å lage" heller enn "å vite at".
I skolen gjelder vanligvis følgende: (I den typiske skolematematikken kommer notene, men musikken kommer aldri.)
§ I klasserommet forteller vanligvis læreren det riktige svaret.
§ Få lærere lar elevene delta i en åpen diskusjon om de antakelsene de har brukt for å finne fram til sine svar.
§ Selv når lærerene gir sine forklaringer, inviterer de ikke elevene til å undersøke forutsetningene som ligger bak forklaringene, og de gjør det heller ikke selv.
§ I konvensjonell matematikkundervisning tror elevene at læreren vet hvilke svar som er riktige, og læreren tror at veien til disse svarene kan finnes i bøkenes regler.
§ Å stille spørsmål ved disse, kan forstyrre den følelsesmessige balansen hos både lærer og elev.
Ernest (1988) sier at det finnes tre hovedsyn på matematikk:
1. Det dynamiske, problemdrevne synet. Matematikk som et kontinuerlig ekspanderende område, oppfunnet av mennesket. Faget er en spørre- og få vite-prosess. Resultatene er åpne for revisjon. (Problemløsingssynet.)
2. Matematikk som en statisk, men helhetlig mengde kunnskap. Matematikk er et krystallinsk system av sammenbundne strukturer og sannheter, bundet sammen av tråder av logikk og forståelse. Matematikk blir oppdaget, ikke oppfunnet. (Det platoniske synet.)
3. Det synet at matematikken er ei verktøykasse, satt sammen av fakta, regler og ferdigheter som kan brukes av den trente utøveren. Matematikk er da en mengde regler og fakta, ofte uten indre sammenheng. (De instrumentalistiske synet.)
§ Til problemløsningssynet kan vi knytte hjelperen. Han bidrar til å stille problemer og støtter elevene under arbeidet med å løse dem.
§ Til det instrumentalistiske synet kan vi knytte den typiske instruktøren. Han legger vekt på ferdigheter i å bruke regler og prosedyrer og på korrekte svar.
§ Det platoniske synet kan knyttes opp mot den som forklarer. Han legger vekt på begrepsforståelse og sammenhengende kunnskap.
I skolen blir som oftest matematikk assosiert med den absolutte sikkerhet, å "vite det" og å produsere svaret fort.
§ Å gjøre matematikk betyr å følge reglene som er gitt av læreren.
§ Å kunne matematikk betyr å huske og å anvende den riktige regelen.
§ Den matematiske sannheten bestemmes når svaret ratifiseres av læreren.
§ Denne troen tilegnes gjennom år av lytting, observering og øvelser.
§ I klasserommet er læreboka og læreren autoritetene, og matematikk er ikke et fag hvor ting skapes eller utforskes. Det er ikke noen sikk-sakk bevegelse mellom antakelser og argumenter, og man kan knapt forestille seg ordet kanskje i en time.
Utdanningsreformatorer arbeider ut fra et helt annet sett av antakelser om hvordan matematisk kunnskap er og kan læres.
§ De anbefaler at elevene skal gjøre antakelser, abstrahere matematiske egenskaper, forklare sin tenkemåte, begrunne sine standpunkter og diskutere og stille spørsmål ved sin egen og andres tenkning.
§ Både elever og lærere må tenke annerledes om matematisk kunnskap.
Skemp (1978) påsto at det er to typer oppfatninger om hva som utgjør matematikken, som forklarer ulike vektlegginger i undervisningen:
1. Relasjonell forståelse.
2. Instrumentell forståelse.
§ Skemp beskrev den første som "både å vite hva som skal gjøres, og hvorfor".
§ Om den andre sa han: "Instrumentell forståelse ville jeg inntil nylig ikke kalt forståelse i det hele tatt. Det er hva jeg tidligere har beskrevet som regler uten tanke, uten å være klar over at for mange elever og lærere er det det å kjenne en slik regel og å bruke dem, som betyr å forstå.
§ Ifølge Skemp består instrumentell kunnskap av et sett "fikserte opplegg" for å utføre matematiske oppgaver. Forutgitte steg for steg-prosedyrer følges. Læringen består i å lære stadig flere slike opplegg.
§ Relasjonell kunnskap karakteriseres derimot av begrepsstrukturer som setter den som eier dem i stand til å konstruere flere måter å løse en oppgave på. Midlene blir uavhengige av den bestemte oppgaven og den som lærer tilegner seg kunnskaper om prinsipper som kan anvendes på en mengde ulike oppgaver eller problemer.
§ Skemp sier at ut fra dette er det i virkeligheten to helt ulike fag som undervises under navnet matematikk. Han sier at det er eksistensen av disse ulike synene som gjør det så vanskelig å diskutere hva som er god matematikkundervisning.
Hovedpoenget i alt dette er at lærerens oppfatning av faget betyr svært mye for hvordan undervisningen skal bli. Forskning tyder på at dette faktisk betyr mer enn hva læreren ellers mener hva som er god undervisning, eller hva han/hun mener om hvordan elever best tilegner seg kunnskaper. Dette kan virke som en overraskende konklusjon, og den poengterer hvor viktig det er for lærerstudenter både å få positive opplevelser i faget og å reflektere over sitt syn på det.
Anbefalinger
Alba G. Thompson er en av flere didaktikere som har trukket fra at en forutsetning for å bedre undervisningen er å høyne evnen til refleksjon. Hun sier følgende:
§ Konsistens i undervisningen avhenger i stor grad av refleksjon. På denne måten kan læreren bli oppmerksom på underliggende forutsetninger, tro og synspunkter og hvordan disse relaterer seg til praksis, selv om ikke alle inkonsistenser ryddes av veien.
§ Det er gjennom refleksjon at læreren utvikler et sammenhengende rasjonale for sin virksomhet og blir oppmerksom på ulike alternativer.
§ Det er også gjennom refleksjon at læreren utvikler en sans for kontekst og kan tilpasse sin undervisning til sitt eget syn.
Stephan Lerman
En annen person som framhever nødvendigheten av refleksiv evne hos lærerne, er Stephan Lerman. Han sier:
§ Undervisning er en reflekterende praksis.
§ Kunnskap i aksjon består av handlingsstrategier, å forstå fenomener og hvordan takle vanskelige situasjoner i hverdagen.
§ Når noe uventet som fører til usikkerhet eller verdikonflikt oppstår, trer refleksjonen inn. Dette er en spørre- og kritikkfunksjon og som fører til en handling som i det minste er bevisst i en viss grad.
§ Læreren er mer enn en praktiker. Når begrepet reflekterende praktiker brukes, beskriver vi metakognitive prosesser som f.eks. registrerer de spesielle tilfellene og lagrer dem for videre vurdering og selvkritikk. Dette oppøver evnen til observasjon og selvkritikk, studier av litteratur osv.
§ Læreren som forsker er en forlengelse av dette.
§ Matematikkdidaktikkens litteratur er først og fremst en samling av arbeider som læreren kan bruke.
Med disse ordene skal jeg nå gå over til noen kapitler med ren matematikk. Kapitlene behandler stoff som er hentet fra mellomtrinnets matematikk, men utvalget er ikke utfyllende. Jeg har konsentrert meg om noen utvalgte områder som jeg synes er spesielt relevante. I kapitlet om brøkregning presenterer jeg en del nye ideer, som jeg håper leseren vil finne interessante.
Ingen kommentarer:
Legg inn en kommentar