torsdag 28. oktober 2010

Multiplikasjon av helt tall med brøk

Dersom man har innført likeverdige brøker slik som omtalt over, har man fått med seg multiplikasjon av brøk med helt tall gratis. Temaet er både konkretisert og avmystifisert på en gang. En gang i min tid som matematikklærer i ungdomsskolen ga jeg elevene i 10. klasse ei prøve med repetisjonsstoff. På slutten av prøva ba jeg elevene skrive ned noen tanker om hvilke oppgaver de syntes var lette og hvilke de syntes var vanskelige. Prøva inneholdt etter min vurdering en god del krevende oppgaver. Det var derfor svært overraskende at den desidert flinkeste eleven i klassa svarte at den eneste oppgaven han hadde hatt problemer med var å finne av 24! Dette var en elev som fikk beste karakter på samtlige matematikkprøver gjennom hele ungdomsskolen, noe som er meget uvanlig. Denne hendelsen har fulgt meg siden, for det var en skikkelig vekker med hensyn til den måten vi bedriver opplæring i brøkregning i skolen. Egentlig er det nesten utrolig at en så flink elev skulle ha problemer med et slikt filleproblem. Det viser imidlertid nødvendigheten av å være mer bevisst på hvordan vi håndterer dette stoffet.




            Hvis vi skal regne ut for eksempel av 24, og lage en formell oppstilling, hvordan skal vi føre det? Det riktigste logisk sett er å skrive . Dette er i tråd med den måten vi leser oppstillingen. Ordet av blir her oversatt til multiplikasjonstegn, akkurat som ordet og blir oversatt til addisjonstegn. Denne oversettelsen er fruktbar i forbindelse med multiplikasjon med brøk. Vi kan jo også bruke ordet av hvis vi skal forklare multiplikasjoner med hele tall, selv om det er et kunstgrep. Etter dagens norske standard står multiplikator foran multiplikand. Dette betyr at . Vi har tre forekomster av tallet 4. I brøkeksempelet vårt har vi fem seksdeler av tallet tjuefire. Slik sett tar vi med denne skrivemåten vare på den logikken som brukes ellers i multiplikasjon, selv om det virker litt kunstig.


            Hvilken logikk får vi så hvis vi bytter om rekkefølgen? Dersom vi følger tankegangen om at et produkt av to faktorer skrives i rekkefølge multiplikator ganget med multiplikand, får vi da den enkle sammenhengen at (24 ganger). Dette er jo greit, og kan godt brukes som utgangspunkt for å forklare hva som skjer når man ganger en brøk med et helt tall, men da vil man gå glipp av sammenhengen med momentet over, å finne en viss brøkdel av et tall.

Jeg synes uansett ikke det er noe i veien for å bytte rekkefølgen. Multiplikasjon med tall må uansett utvides til å gjelde situasjoner der begrepene multiplikator og multiplikand mister sin betydning. Hvis du skal finne hvor mye du må betale for strømforbruket ditt, må du for eksempel regne ut . Her er det ikke særlig hensiktsmessig å tenke i multiplikand og multiplikator. Dessuten er det viktig at elevene vender seg til at multiplikasjon er kommutativ (så lenge vi ikke jobber med mer avansert matematikk som vektorer eller grupper).




            I min skoletid het skolefaget regning, ikke matematikk. I praktiske oppgaver skrev vi av 24 som (med benevning). I tråd med logikken over, kunne vi i dag skrive .


Fordelen med dette er at det lett kan brukes til å angi en nyttig måte å tenke på, nemlig det vi kaller veien om én. Vi finner da først av 24 ved å dele 24 med 6. Deretter ganger vi med 5 og får 20. Denne tenkemåten har dessverre langt på vei blitt borte i skolen. Dette er dumt, for den har stor verdi i blant annet prosentregning. Samtidig viser den at det lønner seg å dele før du ganger, dersom divisjonen går opp.


            Altfor ofte, ja nesten uten unntak, kan vi se yngre mennesker regne slik: , eller enda verre:

. Når folk regner slik, får vi en overtydelig demonstrasjon av at brøkregningen har blitt et ritual, og at den er dårlig fundert i praktiske erfaringer. At det tredobbelte av en tredel er en hel, burde være en selvfølge som ikke krever noen som helst slags mellomregning. Hvis vi har tre tredels liter saft, så må jo dette være en hel liter! I det første tilfellet bør vi, slik som omtalt over, starte med å dele seks med tre, for så å ta det dobbelte. Her riktignok tallene så enkle at vi like gjerne kan gange først, men det kan i alle fall være greit å ha den første metoden for øye når tallene gjør utregningen enklere. Dette med å gjøre om hele tall til uekte brøk med nevner 1, kan nok være et praktisk knep når man jobber med algebra, men egentlig er det helt unødvendig.

    

Linjer videre

Når man kommer så langt at praktiske oppgaver blir innviklede, kan det være nyttig å ta i bruk ligning som løsningsmetode. Ofte ser vi elever og studenter ikke mestrer å sette opp enkle ligninger når det er brøk med i bildet. La meg ta et par eksempler:

Eksempel 1:
Ei flaske brus uten pant koster 12 kr. Panten utgjør 1/5 av pris med pant. Hvor mye koster flaska med pant?

Dersom vi bruker ligning, blir løsningen slik:
Flaska koster x kr.


Flaska koster 15 kr.


Å regne dette kan by på problemer. Først må du tenke ut at prisen uten pant utgjør 4/5 av prisen med pant. Så kan du si at 1/5 av prisen er lik 3 kroner, og da er prisen med pant lik 15 kr. Mange elever forsøker imidlertid å løse dette praktisk, med eller uten hell, selv om de vet at de med fordel kan bruke ligning. Hovedårsaken til at de ikke bruker ligning, er som oftest at de ikke klarer å sette opp første ledd i ligninga, dvs. at panten skal settes lik 1/5 av x, dvs. . De har en sterk tilbøyelighet til å sløyfe x-en. De har ikke tilstrekkelig innsikt i hva det vil si å gange et helt tall med en brøk.

Eksempel 2. Dette er lite grann mer innviklet og lyder slik:
På en fisk veier hodet 1/3 av fiskens vekt, halen veier 1/4, mens resten av kroppen veier 300 gram. Hvor mye veier fisken.


Jeg har sett løsninger på dette som er både forseggjorte og riktige, men hvor man har gått over bekken etter vann flere ganger. Også de løsningene har bunnet seg i at studentene ikke har maktet å sette opp ligningen. Typisk er det å skrive at . Dette klarer man ikke å oversette til ligning, slik som følger:

Fisken veier x gram.







Fisken veier 720 gram

Nok en gang er problemet å få med x-en i de første leddene. Og nok en gang må lærdommen være at man må arbeide med sammenhenger og forståelse.

     

Ingen kommentarer:

Legg inn en kommentar