Forstavelsen desi er en forkortelse av det latinske ordet decimus, som betyr den tiende (nummer ti I rekken). Ordet desimaltall er derfor egentlig en betegnelse for titallssystemet, og slik brukes det også på engelsk. Det vi kaller desimaltall, kalles der for decimal fractions, desimalbrøker, som kan oversettes til tidelsbrøker. Før var det vanlig å bruke denne betegnelsen (desimalbrøk) også på norsk, men dette synes å ha blitt helt borte. På en måte er det synd, for denne betegnelsen forteller mer om hva desimaltall er enn hva ordet desimaltall gjør.
Titallssystemet har en lang historie, sannsynligvis fra oldtidens Kina, via India og til middelalderens arabere. Den kjente matematikeren (Abu Ja'far Muhammad ibn Musa) Al-Khwarizmi[1], ca. 780 – 840 e.Kr., arbeidet i Kunnskapens hus i Bagdad. Han introduserte de indiske tallene, dvs. titallssystemet og tallet 0. Leonardo de Pisa, senere kalt Fibonacci (sønn av Nacci) førte tallene til Europa gjennom sin kjente bok Liber Abacci, Kunsten å regne, utgitt i 1202 e.Kr.
Den første som utvidet tallsystemet til å gjelde tidelsbrøker (
Stevin skrev desimaltall på følgende måte: 6i4j2k5l6m (= 6,4256). Han kalte desimalbrøkene for henholdsvis ”de første”, ”de andre” osv. Verdiene forklarer han slik: De nevnte tallene er 6 hele, 4/10, 2/100, 5/1000 og 6/10000, til sammen 64256/10000. Han legger til at ”unntatt for i, overskrider aldri et siffer verdien 9; for eksempel ikke 7j12k, men 8j2k”.
Sammenhenger i tallsystemet
Selv om man demper ned vektleggingen av posisjonenes betydning i den første innlæringen av tallsystemet, er det viktig at barna får tak i de grunnleggende sammenhengene i systemet. Ikke minst er dette sentralt for forståelsen av desimaltallene. Om man legger vekt på mengder eller på den mer formelle strukturen, er det viktig å få fram at det er ti enere i ti, ti tiere i hundre, ti hundrer i tusen og så videre oppover. I desimalene er det ti tideler i en ener, ti hundredeler i en tidel, ti tusendeler i en hundredel osv. Vi kan altså skrive at 0,1 = 0,10 = 0,100, eller at 
tideler, 5 hundredeler og 3 tusendeler”, men også som ”sju hele og 453 tusendeler”, eller for den saks skyld ”sju hele, 45 hundredeler og 3 tusendeler. Skrevet med brøk blir det slik: 
.
. Slike sammenhenger er av avgjørende betydning for å forstå ulike måleenheter. I vår tid er de fleste måleenhetene som er i bruk, bygd opp omkring titallsystemet. Elever i grunnskolen bør vite at 1 km = 1000 m , at 1 kg = 10 hg = 1000 g , og gjerne at 1 dekar = 10 ar = 1000 m2 . De bør også forstå at 1 m = 10 dm = 100 cm = 1000 mm , og derfor er 1 dm = 10 cm = 100 mm , og 1 cm = 10 mm .
En enkel metode for å synliggjøre slike sammenhenger, kan være å bruke følgende tabell:
Her er det er en faktor på 10 mellom hver linje i tabellen. Tallet 0,6 er ti ganger større enn tallet 0,06, som igjen er ti ganger større enn 0,006. Hvis man legger sammen alle tallene i en kolonne, vil alle nuller skyves ut, og man får for eksempel 6666,666, der den siste sekseren er tallet i nederste rad. Dersom man hopper litt mellom kolonnene, kan man for eksempel konstruere tallet 6381,367, eller man kan klare seg med færre rader, og lage tall som 55,55 eller 45,36. Hele tiden går man én kolonne ned for hvert siffer, og da bruker man sifre som er tidelen av sifrene i raden over.
Felles for alle rader, er at ingen tall inneholder flere enn ett siffer, bortsett fra plassholderen 0. Når man er ferdig med en rad, må man hoppe til begynnelsen på neste rad. Man har at ”ti niere = 90, ti tiere = 100, ti hundrer = 1000” , eller at ”ti tusendeler = en hundredel = 0,01, ti hundredeler = en tidel = 0,1 og at ti tideler = 1” .
Et alternativ kan være å skrive tallene slik:
Eller kanskje slik:
Poenget er å få fram størrelsesrelasjonene mellom radene i tabellen.
Misforståelser
Stevin forklarte desimalbrøksystemet på en utmerket måte. Dessverre er det altfor mange skoleelever som ikke forstår systemet like godt. Vi vet at det vrimler med misforståelser i skolen når det gjelder desimaltall. En medvirkende årsak er sannsynligvis at det blir arbeidet for lite med å se sammenhengen mellom desimalene, slik som forklart over.
Den vanligste misforståelsen, eller uklarheten, er at elevene ser desimalene (sifrene bak kommaet) som et selvstendig tall, uavhengig av heltallsverdien. Derfor tror mange at for eksempel 7,45 er mer enn 7,5, fordi 45 > 5. Man kan finne et utall eksempler på dette, også blant lærerstudenter. Det finnes imidlertid også elever som tror at tallet blir mindre jo flere desimaler det har, noe som sannsynligvis skyldes en slags overgeneralisering av det man har fått høre om at desimalene blir stadig mindre jo flere det blir av dem. Slike misforståelser kan enkelt testes ved hjelp av enkle oppgaver, som å sortere tall etter størrelse, eller ved direkte sammenligning mellom to tall.
En annen måte å avsløre usikkerhet om desimaltallene på, er å spørre om hvilket siffer som står for eksempel hundredelsplassen i et tall med minst tre desimaler. Mange elever vil si at det er 3-eren som står på hundredelsplassen i 7,362, fordi man leser tallet ”sju komma tre hundre og sekstito.
Hvordan kan man så forebygge eller avskaffe slike misforståelser? Et viktig tiltak må være å arbeide grundig med sammenhengene som er omtalt over under innføringen av desimaltallene. En bra måte å støtte opp under forståelsen er å arbeide med måltall. Det har lenge vært vanligere å bruke penger (kroner og øre). Dette ser ut til å ha hatt en uheldig virkning. For det første blir det lite variasjon i antall sifre, slik at øvelsen i å bruke systemet blir dårlig, og for det andre kan det ha bidratt til å skape misforståelsen der sifrene før og etter kommaet sees uavhengig av hverandre.
Måleenheter gir mye større mulighet for fleksible oppgaver enn valuta. Oppgaver av typen
I dette tilfellet bør man bruke vertikal oppstilling og fylle ut med nuller slik at alle tallene får like mange desimaler:
6 hg = 0,6 kg
Sum: 2,3 kg
23 dm = 2,30 m
Sum: 4,44 m
6,23 hg = 6,270 kg
Sum: 10,515 kg
5 cl = 0,050 l
8 ml = 0,008 l
Sum: 2,658 l
Det er viktig at slike oppgaver inneholder både tieroverganger og øvelser i å plassere sifrene på riktig plass. Øvelsene kan godt kombineres med ulike former for praktisk trening med måleinstrumenter, men man må huske på at slike øvelser kun gir et erfaringsgrunnlag, og at matematikken kommer etterpå.
Desimaltall i multiplikasjon og divisjon
Under innføring av multiplikasjon som regneart, defineres multiplikasjon som gjentatt addisjon. Når vi multipliserer to tall, kan vi tolke det ene som multiplikand og det andre som multiplikator. Strengt tatt spiller det ingen rolle i hvilken rekkefølge vi skriver dette, men i norsk skole har det lenge vært vanlig å skrive multiplikator først. (I min skoletid gjorde man det motsatt.) Da får vi at
5 × 3 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3
Hvis multiplikanden er et desimaltall, er det fortsatt enkelt å bruke denne definisjonen:
5 × 3,4 = 3,4 + 3,4 + 3,4 + 3,4 + 3,4
Men hva hvis den første faktoren er et desimaltall? Da bryter definisjonen sammen.
5,2 × 3 = ? Hvordan skal vi ta 3 fem komma to ganger?
Og enda verre, hva hvis begge faktorene er desimaltall?
5,2 × 3,4 =
Her bryter definisjonen av multiplikasjon som gjentatt addisjon.
De praktiske situasjonene der man få bruk for å multiplisere to desimaltall med hverandre, er når man har med måltall å gjøre. Ett eksempel er beregning av arealer. Vi skal for eksempel finne arealet av et rektangel med lengde 5,2 m og bredde 3,4 m . Andre eksempler er situasjoner med sammensatte enheter, slik som tid, fart og vei, eller energiforbruk:
Tilbakelagt strekning = 5,2 m/s × 3,4 s = 17,28 m
Strømforbruket = 5,2 kWh × 3,4 h = 17,28 kW
Å forstå slike oppsett krever god innsikt både i praktiske situasjoner og i regningsartene, og i sammenhengen mellom dem. Et hovedpoeng er at man på et gitt tidspunkt må utvide definisjonen av multiplikasjon. Det samme gjelder divisjon, som vi i utgangspunktet kan definere som gjentatt subtraksjon (8 : 2 = antall ganger du må trekke 2 fra 8 for å få 0, dvs. 4 ganger.)
Multiplikasjon og divisjon anvendes på svært mange områder innen matematikken. Vi kan for eksempel multiplisere vektorer, matriser eller tensorer. Addisjon og subtraksjon kan bare brukes på et nokså begrenset antall situasjoner, mens multiplikasjon og divisjon kan brukes på et ubegrenset antall situasjoner, også på et vell av praktiske problemer. På tross
Oppsettet over er ikke entydig. Enkelte situasjoner kan oppfattes på ulike måter og derfor innpasses på mer enn ett sted i skjemaet. Mange av disse situasjonene er intellektuelt krevende å forstå. Situasjoner med avledede størrelser er vanskeligst, dvs. størrelser med mål som kilometer per time, meter per sekund eller gram per kubikkcentimeter (tetthet). Én forutsetning for å forstå dette er evnen til å reversere, slik at man kan turnere uttrykk som S = v × t, M = V × d fram og tilbake. Den beste forberedelsen for dette er på et tidlig tidspunkt å jobbe med slike sammenhenger som at når 9 × 7 = 63, så er 63 : 9 = 7 og 63 : 7 = 9.
Misforståelser i multiplikasjon og divisjon
En av de aller vanligste misforståelsene i grunnskolematematikken er å tro at man alltid får mer hvis man ganger og mindre når man deler. En av grunnene til at det blir slik, er at det blir arbeidet for lite med praktiske situasjoner der desimaltall inngår. Skal man arbeide med slike situasjoner, må man imidlertid utvide multiplikasjonsbegrepet, slik som omtalt i matrisen over. Det nytter ikke lenger å bare se på multiplikasjon som gjentatt addisjon.
Det vrimler av eksempler på hvordan elever gjør feil med desimaltall. Et godt eksempel kan være dette:
- Epler koster 19,80 kr per kg. Hvor mye må du betale for
3,5 kg ? - Epler koster 19,80 kr per kg. Hvor mye må du betale for
0,65 kg ?
Et stort antall elever multipliserer i det første tilfellet, men dividerer i det andre.
1,2 kg fisk koster 43,20 kr. Hva er prisen per kg?0,8 kg fisker 28,80 kr. Hva er prisen per kg?
Her er det motsatt. Elevene dividerer i det første tilfellet, men multipliserer i det andre.
En annen måte å teste elevenes innsikt i oppgaver med desimaltall, er å be dem lage tekster som passer til ferdige oppstillinger. Lag en tekst som passer til oppstillingen:
- 4 × 7 = 28
- 28 : 7 = 4
- 0,4 × 0,7 = 0,28
- 0,28 : 0,4 = 0,7
Elever kan enkelt lage tekster til de to første variantene, men møter uoverstigelige problemer når de skal lage tekster som passer til de to siste.
Mer om multiplikasjon
Dersom den ene faktoren i et produkt ligger mellom 0 og 1, vil resultatet bli mindre enn den største faktoren:
Dersom begge faktorene ligger mellom 0 og 1, vil resultatet være mindre enn hver av de to faktorene:
For å få elever i grunnskolen til å forstå dette, bør man bruke praktiske situasjoner som grunnlag for læringen:
- Vi har 2 plankestykker som hver av dem er
0,4 m lange. Hvor lange er de til sammen? - Hvor mange liter saft kan du helle i 2 glass som hver av dem tar
0,4 liter ? - Du går i 2 timer med en fart på 0,4 mil per time. Hvor langt går du?
- Et rektangel er
2 m langt og0,4 m bredt. Finn arealet. - Tettheten for et svært lett type treverk er 0,4. Hvor mye veier 2 dm3 av treverket?
Alle disse oppgavene fører til oppstillingen . De fleste elever vil intuitivt forstå at resultatene her vil bli mindre enn 2, i hvert fall i de tre første eksemplene. De to siste er mer krevende, men hvis elevene har forstått arealbegrepet og måleenhetene for areal, og fått tak i tetthetsbegrepet, vil svarene føles naturlige.
- Et rektangel er
0,2 m bredt og0,4 m langt. Finn arealet. - Du har et tøystykke som er
0,2 meter langt og klipper vekk 40 % av lengden. Hvor lang er biten som du klipper vekk? - 2/10 av elevene ved en skole går i 7. klasse. 4/10 av disse igjen er gutter. Hvor stor andel av elevene ved skolen er 7.-klassegutter?
- En dame spaserer med en fart på
0,2 km/h . Hun går i 0,4 timer (24 minutter). Hvor langt går hun?
I alle eksemplene over kan man lage oppstillingen . I det første og det siste eksempelet er dette opplagt. I eksempel 2 kan man, hvis man ønsker, gjøre om 40 % til 0,4. I eksempel 3 vil det være et kunstgrep å bruke desimaltall, men det er fullt mulig, om man så ønsker. Sammenhenger i matematikken er som sagt viktig, og man kan jo også vise noen slike sammenhenger ved hjelp av dette eksempelet. Jeg skal for øvrig vise flere slike sammenhenger lengre ned.
Mer om divisjon
Når finnes i prinsippet to typer divisjon: delingsdivisjon og målingsdivisjon. Den første varianten er den naturlige delingen i mindre mengder, der vi skal finne hvor mye det er i hver mengde. Hvis tre barn skal dele tolv drops likt mellom seg, vil de få fire hver. Dette er en enkel situasjon som de fleste barn forstår intuitivt. Verre er det med målingsdivisjon, der man skal finne antall delmengder, ikke størrelsen av hver enkelt. Man dividerer da i de fleste situasjoner med et måltall (benevnt tall). Rent formelt kan man definere delings- og målingsdivisjon slik:
Produkt: multiplikator · multiplikand = produkt
Delingsdivisjon: Produkt : multiplikator = multiplikand
Målingsdivisjon: Produkt : multiplikand = multiplikator
Det er tvilsomt om denne definisjonen er særlig klargjørende, og når man opererer med sammensatte enheter, eller når man regner arealer, blir skillet mellom delings- og målingsdivisjonen opphevet, men det kan jo være greit for lærere å kjenne den.
Et eksempel på delingsdivisjon:
Fem personer skal dele en gevinst på 100 000 kr likt mellom seg.
Hver person får:
Hver person får:
Tilsvarende målingsdivisjon:
Noen personer skal dele en gevinst på 100 000 kr likt mellom seg.
Et annet eksempel på delingsdivisjon og tilsvarende målingsdivisjon:
En 4 m lang planke deles 8 biter, hver av dem på 0,5 m (= ½ m)
Delingsdivisjon:
Lengden av hver bit = 4 m : 8 = 0,5 m
Målingsdivisjon:
Antall biter: 4 m : 0,5 m = 8 (4 m : ½ m = 8)
Poenget her er at divisjon med desimaltall nesten alltid er målingsdivisjon[1]. Men hvis man innser dette, vil også her resultatene stemme med intuisjonen. Problemstillingene som fører til divisjon med desimaltall er for øvrig nøyaktig de samme som fører til divisjon med brøk. Desimaltall er jo egentlig brøker (såkalt desimalbrøk), så dette er egentlig en selvfølge.
Har man først innsett at divisjon med desimaltall er målingsdivisjon, er det enkelt å masseprodusere oppgaver:
- Du har
1,5 liter brus som du heller i glass som tar0,3 dl . Hvor mange glass kan du fylle? - Blyanter koster 0,50 kr hver. Hvor mange blyanter får du for 10 kr?
- Arealet av et rektangel er
0,08 m2 . Bredden er 0,2 m . Finn lengden. - Et trestykke veier
7,2 kg . Tresorten har tetthet 0,9 (kg/dm3). Finn volumet av trestykket. - Prisen for elektrisitet er å et tidspunkt 0,75 kr/kWh. Hvor mange kilowattimer kan du bruke for 3000 kr?
Med litt trening bør det være overkommelig å innse at i alle tilfellene over, må man dele med et desimaltall (hvis man ikke unngår problemet ved å gjøre om måleenhetene). Vi ser imidlertid at mange skoleelever gjør feil på dette, selv om de har tekstene foran seg. Flertallet av disse innser sannsynligvis intuitivt at svarene er større en dividenden, men når de samtidig tror at du må gange for å få mer, så multipliserer de i stedet for å dividere. Når de så kommer ut med et urimelig svar, fikser de på resultatet ved å sette kommaet på feil sted, slik at svaret ser noenlunde rimelig ut.
Nødvendigheten av å analysere tekster
Erfaringer og forskning viser at elever ofte leser tekstene i oppgavene svært overfladisk, eller nærmest hopper helt bukk over dem. De bruker i stedet selvlagede strategier som stemmer overens med deres egne erfaringer og, svært ofte ufullstendige, oppfatninger. Én slik strategi er å se på tallene, ut fra den formening at tallene i seg selv forteller hvilken regneoperasjon man skal bruke. Er tallene 25 og 30, eller 25 og 0,5, er sjansen stor for at man skal gange. Er tallene 3000 og 25, er det mest sannsynlig at man skal dele. Denne strategien kombineres md å vurdere om svaret er noenlunde rimelig. Hvis ikke prøver man en annen regningsart, eller man fikser på svaret ved å manipulere med kommaet.
En annen hyppig brukt strategi er å se etter nøkkelord i teksten. Ofte kan dette være en vellykket strategi, men ikke alltid. Midt på 1990-tallet ble det gitt en eksamensoppgave i ungdomsskolen som lød omtrent som følger:
Blyanter koster 0,20 kr per stykk. Hvor mange blyanter kan du få for 100 kr?
Svært mange elever multipliserte 0,20 med 100 kr og fikk 20 blyanter til svar. Her er det en kombinasjon av rekkefølgen av opplysningene og verdien av tallene som forleder elevene som ikke tenker seg om, til å velge feil algoritme. Man kunne ikke forvente annet enn at mange elever skulle bomme på denne oppgaven, og det er for så vidt greit nok. Mye verre var det at mange sensorer protesterte på oppgaven og mente at opplysningene i oppgaven burde vært gitt i motsatt rekkefølge. Disse sensorene mente tydeligvis at oppgaver i matematikk bør lages slik at elever kan få bruke slike overflatiske strategier som omtalt over, i stedet for å måtte tenke gjennom oppgaveteksten. Men dette er jo stikk i strid med vår kunnskap om effektiv læring. Det er nettopp selvstendig tenkning som utvikler de matematiske ferdighetene.
Skolen må påta seg deler av skylden for at elevene tar i bruk uholdbare snarveier når de skal løse tekstoppgaver. Det er viktigere å bruke tid på å analysere og diskutere tekstene enn det er å masseprodusere svar.
Noen matematiske sammenhenger
Som nevnt mange andre steder, er det alltid nyttig og interessant å se på sammenhenger i matematikken. Dersom vi beregner arealer, kan vi for eksempel studere sammenhengen mellom måleenhetene, og sammenhengen mellom disse og desimaltallene.
Vi får her benevnelsen mm2. Etter vi har utført beregningen, kan vi godt gjøre om svaret til cm2, ved å sette komma slik at vi får to desimaler.
Dette kan jo være én måte å illustrere at det er en faktor på hundre mellom cm2 og mm2, samtidig som man ser sammenhengen mellom desimaltall og brøk, og hvordan man multipliserer brøker.
I ungdomsskolen eller sent på barneskolen, kan det være aktuelt å vise en annen type sammenheng:
Dette har stor relevans for videre arbeid med algebra. Det er også mulig å se sammenhengen mellom den siste oppstillingen og nye algoritmer for multiplikasjon.
Det kan være at det er å gå vel langt å vise elever alle disse sammenhengene, men lærere bør kjenne dem, og noen av de flinkeste elevene vil sikkert ha utbytte av det.
[1] Unntaket er slike tilfelle som dette: 3/4 av bøkene i et bibliotek er skjønnlitteratur. 1/5 av disse bøkene er skrevet av norske forfattere. Dvs. at 3/4 × 1/5 = 3/20 av bøkene er norsk skjønnlitteratur.
Omvendt: Hvis vi vet at 3/20 av bøkene er norsk skjønnlitteratur og at 3/4 av alle bøkene er skjønnlitteratur, kan vi finne andelen av skjønnlitteraturen som er norsk ved å ta 3/20 : 3/4 = 0,15 : 0,75. Det er vanskelig, eller i det minste svært kunstig, å bruke 3/4-delene som et måltall.
[1] Geer, B. (1992). Multiplication and division as models of situations. In Grouves. D.(Ed.), Handbook of research in mathematics teaching and learning, 276 – 295. Macmillan , New York
[1] Al-Khwarizmi har vært opphav til flere ting. Ordet algebra er en forvrengning av hans navn, og ordet algebra en forvrengning av en del av tittelen i hans mest kjente bok, Al-Kitāb al-mukhtaṣar fī hīsāb wa’l-muqāba, en bok om ligninger. Ordet al-ğabr handler om å legge til like mye på begge sider av en ligning, slik at man flytter negative ledd over på motsatt side av likhetstegnet.
[2] Clavius er mest kjent som personen bak Den gregorianske kalenderen.
[3] Napier er kjent for å ha funnet opp logaritmene.
Ingen kommentarer:
Legg inn en kommentar