Språket i matematikken

Fagmatematikere oppfatter matematikk som kunsten å beskrive mønstre og sammenhenger på en presis måte. For dem blir matematikk derfor et slags språk – et presisjonsspråk. Selv om det ikke er vanlig å tenke slik på skolematematikken, kan det være et nyttig perspektiv å ha med seg som matematikklærer.

            Det sentrale punktet i skolen er at man i matematikk må være presis i sin språkbruk. Dette kan være vanskelig i grunnskolen, da kravet om presisjon må balanseres mot behovet for å la elevene få uttrykke seg i sin eget språkdrakt. Å finne den rette balansen er meget viktig dersom man skal lykkes med å skape høyest mulig matematisk kompetanse hos elevene. Sannsynligvis kan man ikke unngå å presse elevene en del for å få dem til å uttrykke seg mest mulig presist. Særlig viktig er det at lærerne selv opptrer som gode rollemodeller og alltid uttrykker seg presist.

            Dagligspråket vårt er lite presist, noe som i mange sammenhenger sikkert er en fordel, selv om det ofte fører til at vi snakker forbi hverandre. (Ikke minst i politikken er dette et vanligere fenomen enn man kunne ønske). I matematikk må ordene ha en presis og utvetydig mening. Ofte bryter den vedtatte betydningen ganske sterkt med dagligtalen, noe som skaper problemer, dersom forskjellen ikke blir forklart. Vi må imidlertid ikke bli forledet til å si at det språket elevene har med hjemmefra, er feil. Å si noe slik fører bare til at elevene føler seg nedvurdert. Poenget er å formidle at ordene brukes på ulike måter i matematikken og i dagliglivet, fordi at de må være helt entydige i matematikken. I dagliglivet kan ord ha mange nyanser, slik at de kan brukes i ulike situasjoner. Dette går ikke i matematikk, noe som kan være frustrerende for en del elever. Det finnes mennesker som misliker matematikk, nettopp fordi de opplever den som stivbent og unyansert.

Eksempler

Ordet forskjell er et godt eksempel på forskjellen mellom dagligtale og den matematiske ordbruken. Hvis de spør en første- eller andreklassing om forskjellen mellom 1 og 3, kan du få til svar at 1-tallet er rett, mens 3-tallet er krøllete, eller lignende uttalelser. Den matematiske betydningen er imidlertid differansen mellom dem, dvs. at forskjellen mellom 1 og 3 er lik 2. Dette er jo nokså ulikt dagligspråket og intuitiv tankegang. I matematikk er ordet forskjell synonymt med ordet differanse. Slike ting må selvsagt klargjøres for elevene.

Innen geometri finnes det flere ord som illustrerer vårt poeng. Særlig ordet firkant brukes annerledes ute i samfunnet enn i matematikken. I matematikk omfatter ordet firkant alle slags figurer med fire sider, uansett hvor uregelmessige de måtte være. Figurene under kan være gode eksempler.

I dagligspråket er det imidlertid slik at det kun er kvadrater som omtales som firkanter. Oppover i skoletida skaper dette problemer for en del elever. De sier gjerne firkant om kvadrater, mens de bruker spesialnavn på for eksempel rektangler og parallellogrammer. Lærere bør alltid være presise og bruke ordet kvadrat, når det er den type firkant man arbeider med. Man må også legge vekt på å få fram at ordet firkant er en samlebetegnelse som omfatter både alle spesielle firkanter og alle andre. Et annet problem er at elever rent intuitivt tror at alle geometriske figurer med rette sider, må ha en ”grunnlinje” som ligger horisontalt. Også denne oppfatningen bør korrigeres.

            Ordet sirkel tilhører en litt annen kategori. Dette er et fremmedord som sjelden eller aldri brukes i elevenes hjemmemiljø. Det naturlige for elevene er som oftest å bruke ordet runding. Vi skal ikke nekte barna å bruke dette ordet nede i småskolen, men vi bør venne dem til å bruke ordet sirkel etter hvert. Læreren bør alltid bruke ordet sirkel, selv i førskolen. At lærerne selv bruker det matematisk korrekte, gjør at elevene raskere tilegner seg det samme ordforrådet. Ordene sylinder, pyramide og kjegle tilhører samme kategori, men her vil man oppleve at elevene ikke har noe eget ord, og derfor lettere adopterer faguttrykkene.

De fire regningsartene

Et sett ord som det er særlig viktig at elevene lærer, er de som er knyttet til de fire regningsartene. Når en elev ikke lærer disse, fører det til alvorlige problemer oppover i skolen, ikke minst i ungdomsskolen. Foruten problemet med at altfor mange elever ikke kan disse ordene, er det et stort problem at mange lærere ikke bruker dem på en matematisk konsistent måte.

3 + 2 er eksempel på en sum.

3 – 2 er en differanse.

3 × 2 er et produkt.

3 : 2 er en kvotient.

Altfor mange elever blander sammen disse ordene. Det vanligste er at alt mulig kalles en sum. ”Når du ganger 7 med 8 blir summen 56”, og lignende utsagn er svært vanlige blant ungdomsskolelever.

Her har vi et utmerket eksempel på skillet mellom dagligtale og det matematiske behovet for å være presis. Ordet produkt er hyppig brukt i dagligtale, men ytterst sjelden om det å gange sammen tall. Å bruke dette ordet i matematikk oppleves derfor som kunstig for elevene, og derfor bruker de gjerne et ord som de enkelt kjenner igjen både i dagligtale og i matematikktimene. Av den grunn blir ordet sum brukt i alle slags sammenhenger.

I matematikk har disse ordene som sagt en entydig mening. Ordet sum brukes kun når vi adderer, differanse kun når vi subtraherer, produkt kun når vi multipliserer og kvotient kun når vi dividerer. Ordet kvotient virker for øvrig å være totalt ukjent for mange elever og studenter.

De navnene på regningsartene som ble brukt i teksten over er fremmedord og må læres. Vi har imidlertid mulighet til å bruke norske uttrykk for det samme, og det må man gjøre for de yngre elevene. Men man bør være oppmerksom på at det er mange måter å uttrykke ting på, og ulike situasjoner kan føre til bruk av samme regningsart. Så lenge det dreier seg om addisjon og subtraksjon er det hele overkommelig, for det er faktisk et begrenset antall situasjoner som før til addisjon eller subtraksjon. En oversikt er gitt i tabellen under.

Et viktig poeng i denne sammenheng er at man bør variere på språkbruken. Over tid bør elevene få møte alle de variantene det er gjort rede for i tabellen under. Dette synet bryter sannsynligvis med mange læreres oppfatning av hva som er klokt å gjøre. Svært ofte hører vi lærere, og andre, si at man må holde seg til én bestemt uttrykksmåte overfor elevene. Det samme hører man ofte når det gjelder valg av måter å løse oppgaver på. Ganske solid forskning viser imidlertid at dette er feilaktig. Dersom man skal utvikle god forståelse hos elever, er variasjon viktig. Dessuten er det et særdeles sentralt didaktisk prinsipp at elevene får lov til å finne fram til sine egne løsningsmetoder. Samtidig skal de få se andre elevers, og læreres, måter å gjøre det på. Jo flere metoder de får se, og få grundig analysert og gjennomgått, desto bedre er det. Dette skaper nemlig refleksjon, sammenhenger synliggjøres, og elevene tvinges til å tenke. Nettopp det å få til dette, er det viktigste en matematikklærer foretar seg. Her finner vi også den beste forklaringen på hvorfor individualisert undervisning så ofte mislykkes.