fredag 15. oktober 2010

Læringsteori

Matematikkdidaktikere har interessert seg sterkt for sammenhengen mellom elevenes forhold til matematikk og de undervisningsmetodene som tradisjonelt har preget faget. Teoretisk representerer matematikkdidaktikken et oppgjør mot en tradisjon som er knyttet opp mot formaldanningsteori og behaviorisme. Det er etablert et sett prinsipper for hvordan forskerne innen fagfeltet mener matematikk bør undervises. Det synes å herske en stor grad av enighet omkring disse prinsippene. Forhåpentlig vis vil økt kjennskap til dem blant matematikklærere bidra til å endre den problematiske situasjonen vi finner i skolematematikken. Men vi må også hele tiden interessere oss for læreplanene og deres innhold, dersom vi skal lykkes med å skape en mer ekte interesse for faget. Min vurdering er at dette området er preget av langt mer uklarhet og synsing enn vi finner på det undervisnings- og læringsteoretiske området.
Når det gjelder å lære matematikk, går det en linje tilbake til de gamle grekerne, til Platon og Aristoteles. For dem var matematisk logikk den ypperste form for tenkning, og Platon mente at filosofene burde studere matematikk. Det var filosofene som etter hans mening burde være de politiske lederne. Det vi kaller formaldanningsteorien har sin bakgrunn i dette. Denne teorien gikk altså ut på at matematikken ga en mental trening som var nyttig i alle andre sammenhenger.
I det siste hundreåret har psykologer og pedagoger studert hvordan mennesker lærer og tenker. Disse studiene har ført til at formaldanningsteorien i stor grad er forlatt, selv om mange fortsatt mener at det nok er en viss overføringsverdi av kunnskaper fra ett fagområde til et annet. Det er dessverre ikke slik at de psykologiske studiene har gått i en enkel linje hvor kunnskap om læring har bygget seg gradvis opp. Forrige århundre var preget av teorier som var svært ulike. Matematikkundervisningen har i stor grad vært preget av den retningen som går under navnet behaviorisme.

Behaviorismen

Rundt forrige århundreskifte stilte E.L. Thorndike seg kritisk til formaldanningsteorien. Han mente at du ble flink til det du trente på, ikke på alt mulig annet, og at læring var avhengig av trening. Om du var flink i matematikk så behøvde ikke det å medføre at du tenkte mer logisk enn andre mennesker i en annen sammenheng. Skulle du bli flink til noe, måtte du imidlertid trene.
Hans teorier utviklet seg beklagelig vis til en lære preget av et prinsipp om drillmessig trening, til det vi kaller behaviorismen. Denne tankeretningen har som hovedtese at læring er et resultat av ytre påvirkninger, stimuli, ikke av tankeprosesser. Dersom et menneske fikk de riktige stimuli, ville det lære. I nyere tid har B.F. Skinner har ført denne tradisjonen videre.
Kort fortalt kan grunnteorien i behaviorismen forklares slik:


Stimulus   ®   Respons

Effektiviteten på programmet avhenger av hensiktsmessig oppdeling og rekkefølge (sekvensering) og av feedback. Figuren over kan derfor utvides til følgende:


                        stimulus



    feedback                            respons





Pugging av gangetabellen kan være et godt eksempel på slik læring.
            Gjennomgang fra læreren med påfølgende oppgaveregning er hva de fleste forbinder med matematikkundervisning. Man forsøker da å opprette bånd mellom gjennomgang og den treningen som ligger i oppgaveløsing. Lærere vet imidlertid at dette skjemaet slett ikke bestandig fører til læring. Et godt eksempel kan være addisjon av uensbenevnte brøker i barneskolen.
            Såkalt programmert læring er en del av den behavioristiske tradisjonen. Troen på slike læringsprogrammer sto sterkt i 60-åra. I Norge fikk vi det såkalte IMU (Individualisert matematikkundervisning), hvor elevene fikk gå fram i eget tempo gjennom læringshefter som var ment å skulle være selvinstruerende. Valgfriheten med hensyn på vanskegrad og progresjon var meget stor. Erfaringene var meget dårlige. I dag føyer troen på PC-en som en effektiv læringsmaskin som seg godt inn i denne tradisjonen.
I matematikk er det utviklet mange læringsprogrammer som kan sies å stå for programmert læring. Erfaringene synes å være blandede, men det ville være uriktig å avvise dem helt. Fordelene ved disse programmene kan oppsummeres slik:

*      læring er individualisert
*      elevene blir ansvarlige for sin egen læring
*      de arbeider i sitt eget tempo
*      interaksjonen mellom den som lærer og materialet er alltid den samme
*      elevene behøver ikke å stri med mer en stimulus av gangen
*      læringsmaterialet kommer i riktig rekkefølge
*      læringsmaterialet er godt oppdelt
*      hvert emne må beherskes før en kan gå videre
*      elevene får umiddelbar respons
*      elever er motivert for å lære
*      en rekke ferdigheter kan tas i bruk

På den andre siden kan man også påpeke en del klare ulemper, som f.eks:

*      motivasjon gjennom samarbeid med andre savnes
*      det gis ikke inspirasjon via idéer fra andre
*      elever kan velge å arbeide svært tregt
*      elevene kan velge uhensiktsmessige veier gjennom systemet
*      materialet behøver ikke være utfordrende nok
*      enkelte elever kan bli holdt unødvendig tilbake
*      det tar svært lang tid å lage programmer
*      enkelte typer læring kan ikke programmeres
*      overvurdering av hvor mye som kan overlates til den enkelte eleve
*      materialet kan være uinteressant
*      et visst press kan fremme læring
*      det kan være vanskelig å ta i bruk alle evner hos eleven

Programmert læring kan være et fint supplement til undervisningen, kanskje særlig for elever med spesielle behov, men kan ikke være den eneste eller den dominerende metoden.

Jean Piaget

Utover i 50-åra ble behaviorismen utsatt for angrep. De to mest kjente navnene i Europa var Piaget og Vygotsky, men mange andre bidro også, for eksempel de såkalte gestaltistene, som var interesserte i høyere ordens tenkning. Særlig Piaget har stått sterkt i norsk pedagogisk tenkning.
Piaget (1896-1980) kom fra Sveits. Han baserte sine teorier på nøyaktige og systematiske studier av barn. En av hans konklusjoner var at den intellektuelle utviklingen hos barn og unge foregår trinnvis. Han beskrev fire stadier[1] som han mente alle barn går gjennom. Hvert enkelt stadium har sine karakteristika og setter klare grenser for hva som kan læres. Stadiene kommer i en bestemt rekkefølge, men tidspunktet for overgang (modning) mellom stadiene kan variere med evner. Skjematisk kan det framstilles slik:


Alder   store evner                 middels evner             mindre evner  Alder


 
                1                                      Senso-motorisk                                         1                
                2                                                                                                        2
                3                                                                                                        3
                4                                      Pre-operasjonell                                        4
                5                                                                                                        5
                6                                                                                                        6
                7                                                                                                        7
                8                                                                                                        8
                9                                                                                                        9
               10                                  Konkret-operasjonell                                    10
               11                                                                                                      11
               12                                                                                                      12
               13                                                                                                      13
               14                                                                                                      14
               15                                                                                                      15
               16                                                                                                      16
               17                                  Formal-operasjonell                                    17
               18                                                                                                      18
               19                                                                                                      19                           



Ordet operasjonell henspeiler på mentale operasjoner. Piaget har beskrevet en hel rekke slike operasjoner som det går for langt å gå inn på her. Et par viktige poenger kan vi likevel trekke ut av figuren. Det første poenget er at barn i den pre-operasjonelle fasen lærer gjennom lek og at mer formell læring ikke er mulig før på det konkret-operasjonelle stadiet. Det andre er at de ikke kan lære formell matematikk før de er kommet til siste stadium. Overgangen mellom stadiene skjer imidlertid ikke brått, men som en mer gradvis prosess.
I løpet av de siste tiårene er det imidlertid oppstått stor tvil om deler av Piagets konklusjoner, eller det er avvist som direkte feil. Dessverre ser det ut til at det er nettopp de delene av hans forskning som ikke er blitt stående som gyldig, som har vært retningsgivende for matematikkundervisningen i skolen, mens de delene som fortsatt står sterkt, ikke har fått samme gjennomslag.
Begynneropplæringen i matematikk bygger i særlig grad på Piagets påstand om barns svake evne til konservasjon og desentrering, og på hans oppfatning at læring oppsto som et resultat av arbeid med konkreter. Arbeid med konkreter er ifølge Piaget det primære, språket kommer som et resultat av dette. Flere forskere har nå vist at Piagets konklusjoner er tvilsomme på enkelte områder. Mary Donaldson viste at barn er langt flinkere til desentrering enn Piaget hadde erkjent. Senere forsøk har også vist at barn kan konservere på et langt tidligere tidspunkt enn det Piaget trodde.
Piagets slutninger på disse punktene synes å ha sammenheng med de forsøksbetingelsene han brukte. Piaget var opprinnelig biolog og brukte en eksperimentell metode som passet til dette faget. Han satte barna foran seg ved et bord og utførte ulike forsøk. Han startet for eksempel med en rekke brikker som lå forholdsvis tett innpå hverandre.


 (Se en tidligere blogg)

 
Deretter la han dem ut med større avstand og spurte barna om det var like mange som før.


(Se tidligere blogg)

 
Barn svarte at det var "flere" inntil de var bortimot seks år gamle, og Piaget trakk den (naturlige) slutningen at de ikke klarte å konservere, det vil si at de ikke klarte å se at antallet var like stort i begge tilfellene.
I           dag tror vi det er andre årsaker til at barna svarte som de gjorde. Noen helt enkel forklaring kan det være vanskelig å gi, men det er nokså sikkert at barna lot seg påvirke av selve forsøkssituasjonen. Barn er veldig vare for sosiale situasjoner, og deres tanker kan ha vært noe slik som dette: "Når en voksen person spør etter det samme en gang til, må det være noe galt et sted. Jeg svarer derfor at det er annerledes nå enn før". Barnet ønsker å tilfredsstille den voksne og lar seg styre av de forventninger det har til den voksne personen. Dessuten har ikke barn det samme forholdet til telling som voksne har. For dem er ofte det å telle en lek med ord, mer enn å finne et antall eller størrelsen av en mengde. Det er først når det kommer i skolen at denne forståelsen festner seg. Dersom et barn blir presentert for to mengder gjenstander som er spredt utover et område, er det naturlige for barnet å gjøre et overslag, ikke å telle objektene i mengdene. Da er det ikke så rart at en større spredning mellom gjenstandene kan føre til feilslutninger. En tredje ting er at barn ikke er så flinke til å skille mellom mer – mindre, flere – færre og større - mindre, som vi voksne er. Brian Butterworth mener at barn i fire- til femårsalderen befinner seg i en konflikt mellom å subitisere (gjøre raske overslag) og det å telle. I mange situasjoner vil de subitisere, men da blir resultatet gjerne unøyaktig når antallet er større enn 3.
Andre sider ved Piagets forskning står imidlertid fortsatt sterkt. Det gjelder hans ideer om assimilasjon og akkommodasjon, hans bruk av begrepet skjema, og hans skille mellom figurativ og operasjonell forståelse. For at forståelsen skal være operasjonell
§  må den være internalisert,
§  den må være reversibel, det vil si å kunnes både framlengs og baklengs,
§  og den må kunne settes inn i en sammenheng
Operasjonell forståelse er et innfløkt begrep, men jeg skal forsøke å forklare min tolkning av det, slik jeg mener det passer inn i en matematikkdidaktisk sammenheng.

Lev Semenovich Vygotsky

Vygotsky (1896-1934) kom fra det nåværende Kviterussland. Sammen med Luria og Leont’ev grunnla han det som har fått navnet virksomhetsteori. Vygotsky mente at mennesket selv har mål og motiver for sin tilværelse. Han hevdet også at mennesket står i en vekselvirkning til sine omgivelser, til samfunnet rundt seg[1] og at tankeredskapen har to funksjoner i denne vekselvirkningen. Den ene er å hjelpe mennesket til å tilpasse seg de krav som samfunnet stiller, den andre er at det samme mennesket skal kunne virke tilbake på samfunnet, påvirke det og bidra til å utvikle det. Mennesket lever altså ikke bare i kulturen men påvirker den også. (Det er den aktiviteten som framkommer i dette vekselspillet som er den virksomheten det snakkes om i teorien.) En opplagt pedagogisk konsekvens av et slikt syn er at elever i skolen må hjelpes til å bli kjent med den kulturen de lever i og få hjelp til å lære hvordan de kan påvirke denne kulturen. Virksomhetsteorien blir således en begrunnelse for den kritiske matematikken, hvor det sentrale virkemiddelet for å lære matematikk er å knytte opplæringen opp mot det å drive aktiv samfunnskritikk.
Støttestillaset.
            Hos Vygotsky oppfattes kunnskaper som tankeredskaper for virksomhet, og ifølge hans syn på mennesket er dette målrettet virksomhet. Virksomhetsteorien har altså innebygd i seg en optimistisk tro på at mennesket har evnen til  å styre seg selv på en konstruktiv måte. Et sentralt pedagogisk prinsipp blir da å støtte barnet i dets bestrebelser på å nå sine mål. Dette må gjøres på en slik måte at barnet til slutt blir uavhengig av sin pedagog, og dette skal skje innenfor dets egne virksomheter. Barnet skal altså selv være med å bestemme undervisningens innhold. Det er imidlertid ikke her snakk om absolutter. Barnet er under læring og trenger veiledning og støtte. Pedagogens oppgave kan sammenlignes med et byggestillas som rives ned etter bruk. Bygningen skal da kunne stå på egne bein. Stillaset skal være tilgjengelig for barnet når det har behov for det.

Utviklingssonen. Barnets mål

For å forklare hvor læringsprosessene foregår, opererer Vygotsky med noe han kaller en utviklingssone. Denne sonen er området mellom to nivåer, hva individet kan godt og hva det nesten kan, altså er i ferd med å lære seg. Han forutsetter altså at individet kan ha en bevissthet om at det er ting det ikke kan, men som det kan lære og som det vil ha nytte av å lære. Han forklarte hva han mente med utviklingssonen på denne måten:

It is the distance between the actual developmental level as determined by independent problem solving and the level of potential development as determined through problem solving under adult guidance or in collaboration with more capable peers.

De voksne skal altså opptre som støtte. Jamnaldringer kan også ha denne funksjonen. Denne beskrivelsen av læring og støtte fører unektelig tankene mot naturlige læringssituasjoner, slik som når barn lærer nye leker eller spill.
Det er en nærliggende tanke å spørre om hvilke ulikheter det er mellom barn med hensyn på å utvikle og å ha mål for ny læring. Læreforutsetningene vil variere. Teorien sier så vidt jeg vet, ikke noe om dette, men den gir svar på et viktig spørsmål som er knyttet opp mot dette, nemlig hva man skal bygge på når barnets læring skal videreutvikles. Det sentrale blir å bygge videre på det barnet kan få til hvis det får nødvendig støtte. Hva barnet kan fra før, er altså ikke det eneste og viktigste kriteriet for videre læring, men troen på hva det er mulig å få til med hjelp fra andre. Læringspotensialet er følgelig noe mer enn det som gis av hvilke kunnskaper barnet har fra før. Etter en slik tankegang kan ikke skolen nøye seg med bare å måle hvilket kunnskapsnivå eleven har. Hele den pedagogiske situasjonen må vurderes.
Ifølge Vygotsky lærer altså barnet når det står i en virksomhet som er målrettet. Barnet må ha et eierforhold til målsettingen. Det er når dette eierforholdet mangler at instrumentalisme oppstår. Dersom dette skal unngås, må støttestillaset bygges opp rundt et kunnskapsmål som barnet selv kontrollerer. Ut fra en slik tankegang må didaktikerne legge hovedvekten på hvordan lærestoffet skal formidles, ikke mot målet. Dette betyr ikke at målene skal være fraværende, bare at eleven selv skal definere det, eller i det minste være med å definere det. Det skal altså likevel være en sammenheng mellom mål og de metoder eller midler som anvendes for å nærme seg disse målene. Vygotsky ber pedagogen undersøke hvilke mål barna kan ha, se om de er realistiske og i tilfelle støtte barna i å nå dem. Elevene må ikke frarøves sine egne mål.

Språket. Evnen til å lytte

En forutsetning for at elev og pedagog skal kunne kommunisere om mål og midler, er at det finnes et språk som fungerer som formidler mellom dem. På denne måten blir språket et viktig grunnlag for kunnskapstilegnelse. For å vite hva barna kan og vil, må pedagogen lytte til barnas språkbruk. De må møtes med en språkbruk som passer for det språket som de selv bruker. Barnet må etter hvert bli stødig i sitt eget språk. Deretter kan det bygges en felles plattform mellom pedagog og elev, og språket kan utvikles. Hvis dette ikke skjer, oppstår muligheten for at barna opplever nye kunnskaper som et fremmedspråk. Jeg skal komme nærmere tilbake til dette senere, under gjennomgangen av begrepet kritisk matematikk. Her vil jeg bare bemerke at mangel på felles språkforståelse er en viktig årsak til at elever fra visse sosiale lag ikke finner seg til rette i skolen.
Men språket betyr mer for Vygotsky. Han mener det er språket som er selve tankeredskapet. Her kommer nok en gang den gjensidige vekselvirkningen (dialektikken) mellom ulike faktorer inn. Språket utvikles først gjennom sosiale samhandlinger og deretter gjennom indre bearbeiding, dvs. internalisering. Intelligensen er uløselig knyttet opp mot språket og språkutviklingen. Vygotsky sier at det viktigste øyeblikket i intellektuell utvikling skjer når tale og praktisk aktivitet smelter sammen. Tale og handling er en del av den samme psykologiske funksjonen.

Konstruktivismen

I de seneste tiårene har den såkalte konstruktivismen vært den dominerende læringsteorien innen matematikkdidaktikken. Konstruktivismen som psykologisk teori tilhører de kognitive teoriene, og er således å betrakte som en av motreaksjonene på behaviorismen. Selv om teorien er forholdsvis ny, kan man finne røtter til den langt bakover i tiden. I dag er det vesentlig Jean Piaget og Lev Vygostsky som knyttes til teorien, men allerede på 1500-tallet snakket Michel de Montaigne om å "å lytte til elevenes egne tanker", og tidlig i det tjuende århundre snakket Georg Herbert Mead om en indre konversasjon mellom Jeg og Meg (Mellin-Olsen, 1989). Montaigne viser for øvrig til Sokrates, og det er vel liten tvil om at Sokrates sin filosofi kan sies å ha et konstruktivistisk tilsnitt.

Ulike varianter

Det finnes i dag ulike varianter av konstruktivismen, eller rettere sagt ulike læringsprinsipper som påberoper seg å være konstruktivistiske. Ofte brukes følgende klassifisering:

§  Triviell eller enkel konstruktivisme.
§  Radikal konstruktivisme.
§  Sosial og kulturell konstruktivisme. Under denne retningen plasserer vi to underkategorier:
o   Læring i kontekst.
o   Kritisk matematikk.

Den trivielle eller enkle konstruktivismen sier at den lærende selv konstruerer sin egen oppfatning av lærestoffet, dvs. at stoffet eller kunnskapen ikke kan overføres fra en person til en annen, upåvirket av mottakeren. I den radikale varianten sies det at det ikke finnes noen objektiv virkelighet utover menneskets kognisjon og erfaring. Paul Ernest (1996) har laget mer formelle definisjoner:

§  Kunnskap blir ikke mottatt passivt, men bygges opp aktivt av det tenkende subjektet (the cognizing subject).

§  Kognisjonens funksjon er adaptiv og tjener organiseringen av den erfarte verden, ikke oppdagelsen av en ontologisk virkelighet.

Den trivielle, ikke-radikale konstruktivismen er definert etter det første kriteriet, den radikale etter begge to. I sosial konstruktivisme tillegges hverdagserfaringene stor vekt. Ernest sier det slik:

§  De personlige teoriene som er resultatet av organiseringen av den erfarte verden, må passe inn i de begrensninger som gis av den fysiske og sosiale virkelighet.

De to retningene som er nevnt over, forsøker å oppnå dette på to ulike måter. Innen den første retningen legger man stor vekt på å bringe den lærende inn i naturlige læringssituasjoner, knyttet opp mot praktisk virkelighet. Sentrale navn innen denne retningen er Jean Lave og Etienne Wenger. De har utviklet en teori som de kaller ”Situated learning,  Legitimate peripheral participation”, ofte kalt situert læring på norsk. Denne metoden har svært mye til felles med den måten lærlinger læres opp på. Metoden preges av at den lærende følger med en rollemodell, en mester, og plukker opp lærdom av denne mesteren, uten av det nødvendigvis foregår så mye direkte instruksjon. Observasjon av de kyndige, fulgt av utprøving og øving, beskriver gangen i denne læringsmetoden. Dette er en gammel og velprøvd læringsmetode; brukt gjennom årtusener, spesielt innen håndverksyrkene. Det var jo på denne måten lærlinger og svenner dyktiggjorde seg innen sine spesialområder.
          Det kan diskuteres om denne metodikken kan anvendes på matematikk. Hvilket svar man kommer fram til, vil avhenge av hvilket syn man har på matematikk som fag og hvilke kriterier man mener er sentrale for å kunne matematikk. For dem som betrakter matematikk først og fremst som et redskap for å løse praktiske problemer, små eller store, er opplagt dette både en relevant og effektiv måte å lære faget på. Et stort antall mennesker, sannsynligvis et klart flertall av oss, har nettopp dette synet på matematikk. Særlig gjelder nok dette barn og ungdom med ikke-akademisk bakgrunn. De ser ikke vitsen med å lære matematikk dersom de ikke skal ha praktisk nytte av den. Hvorfor slite med å lære seg noe så vanskelig som matematikk uten at det man lærer skal brukes til noe nyttig? På den annen side; dersom man er i en situasjon der det er tydelig at man må anvende matematikk for å løse et problem, ja så er man motivert for å lære den matematikken som trengs. Det norske skoleverket er etter min vurdering innrettet slik at man tar altfor lite hensyn til dette samspillet av motivasjon og anvendelighet av faget. Jeg er ikke i tvil om at man innen svært mange yrker burde knytte undervisningen av matematikk utover grunnskolens nivå direkte til praktisk opplæring i yrket.
          Den kritiske matematikken bygger på tanken om det aktive, samfunnsengasjerte mennesket, og bygger på den såkalte virksomhetsteorien. Denne teorien bygger på Vygotskys og Leont’evs tanker om at mennesket er sosiale individer som står i stadig samspill med sitt sosiale miljø. Den praktiske, produktive interaksjonen individet har med sin omverden spiller en avgjørende rolle i utviklingen av individets psykologi.
          Sentrale navn innen den kritiske matematikken er Ole Skovsmose i Danmark og den avdøde Stieg Mellin-Olsen her i Norge. Mellin-Olsen hadde et optimistisk syn på mennesket, og mente at selv barn i skolealder ønsket å påvirke samfunnet rundt seg, og at dette er grunnleggende drivkraft i mennesket. Den naturligste måten å motivere for matematikk er derfor å integrere kunnskapstilegnelsen i prosjekter knyttet opp til aktuelle spørsmål i elevenes nærmiljø. Den kritiske matematikken foreskriver derfor en praktisk tilnærming til innlæring av matematikk.


Konstruktivismen som ledesnor for undervisning

Konstruktivismen blir svært ofte oppfattet som en ledesnor for bestemte typer undervisning, eller som et sett av metoder, annerledes enn de såkalt ”tradisjonelle” metodene, som gjerne sies å være behavioristiske. Det tenkes da på den vanlige undervisningssekvensen som starter med tavlegjennomgang for så å fortsette med øvinger, supplert med hjemmearbeid og tester. Lærerens hovedoppgave er å forklare, teste og kontrollere. De som påberoper seg å være konstruktivister vil heller finne undervisningsmetoder der elevene selv kan få konstruere sin kunnskap, dvs. ikke få ferdiglaget kunnskap overført fra andre. Undersøkelse, utforskning, oppdagelser og problemløsning blir sentrale begreper.
         

Misforståelse av konstruktivismen

Mange lærere synes å tro at når elever konstruerer sin egen oppfatning av matematikken, så trenger ikke lenger læreren å forklare stoffet. Læreren behøver bare å være tilrettelegger og veileder. Dette betinger imidlertid at de forestillingene som den lærende har bygd opp også er matematisk korrekte. Men dette har man jo ingen garanti for – snarere tvert imot! Sjansen er meget stor for at eleven sitter igjen med ufullstendige forestillinger, feiloppfatninger og misforståelser. Egentlig er dette nærmest uunngåelig. Vi kan jo sammenligne med opplæring innen et praktisk yrkesfag. Selv om en tømrerlærling får utdelt materialer og verktøy nok til å kunne bygge et hus, er det tvilsomt om lærlingen klarer å konstruere en bra hus uten mye veiledning og korrigering underveis. Å bygge et fullgodt hus krever god materialkunnskap, godt håndlag med verktøyet og massevis av detaljkunnskap om ulike deler av byggverket. Slik er det selvfølgelig også med matematikkfaget. Det er ikke nok å bare pusle med noe matematisk for seg selv. Konstruktivistisk teori sier ikke at undervisning er overflødig, bare at den tradisjonelle formidlingsteknikken er utilstrekkelig. Undervisningen må gjøres bedre; den kan ikke sløyfes. En annen ting er at matematikk er vanskelig, vanskeligere enn mange andre fag. Derfor er sannsynligheten for ”feilkonstruksjoner” høy når elever skal lære seg matematikk på egenhånd.
          Verden er dessverre ikke så enkel at man kan overføre kunnskap direkte til eleven bare ved å fortelle hvordan ting fungerer. Eleven lager sin egen variant av det som formidles, og denne varianten kan ha store mangler. Det har også ofte de forestillingene eleven danner seg ut fra egen utforskning og problemløsing. Elevenes arbeid må derfor suppleres med debatter, avklaring av misforståelser, systematisering av stoffet og synliggjøring av sammenhenger mellom ulike aspekter ved stoffet. Det er dette som er konsekvensen av ideene i den radikale konstruktivismen. På den annen side er det ofte begrenset hvilke misforståelser, feiloppfatninger eller ufullstendige innsikter elevene gjør seg skyldige i. Hvis en elev gjør feil når han adderer to uensnevnte brøker, er sjansen stor for at han adderer tellere og nevnere. Etter hvert som en lærer bygger opp rutine, vet han hvilke feilslutninger elevene stort sett gjør seg skyldige i.
          Vi kan ofte høre utsagnet at ”matematikken finnes over alt”. Innen enkelte læringsmiljøer synes dette å ha blitt tolket dit hen at dersom bare elevene bringes inn i en situasjon der det ”er mye matematikk”, så vil eleven absorbere den matematiske kunnskapen uten mer om og men. Vi ser til stadighet avisartikler der det slås opp at elevgrupper ”får lære matematikk på en mer meningsfull måte”, ved at de er med på elgjakt eller lignende. Hva slags matematikk de må ha lært, sies det aldri noe om, og mest trolig har elvene heller ikke lært noe matematikk heller. De kan nok ha lært en del om elgjakt, og de kan ha fått med seg noen erfaringer som det går an å lage matematikk av, men da må man i tilfelle følge opp erfaringene på en systematisk måte, ikke bare la det bli med erfaringen. Det hele minner meg litt om da jeg en sommer i studietiden var i kontakt med bearbeiding og tørking av såkalt råkrutt. Råkruttet er mettet med nitroglyserin, og dette stoffet trenger direkte gjennom huden og inn i blodet hvis du tar på råkruttet, eller hvis du er i et rom der det er mye damp fra nitroglyserinen. Du trenger ikke gjøre noe som helst aktivt for å absorbere stoffet (og få vondt i hodet!). Det ser ut til at mange lærere har fått det for seg at matematikken absorberes på samme måten. Særlig sterk er troen på at bare man bruker nok konkreter, så vil den matematiske forståelsen komme.
          Et annet fenomen som har bidratt sterkt til en utvikling vekk fra tradisjonell undervisning er begrepet ”ansvar for egen læring”. Kombinert med et syn på konstruktivisme som omtalt over, har dette i mange tilfelle ført til at læreren har abdisert fra sitt ansvar som fagperson. Ansvar for egen læring kom inn i skolen i midten av 1980-åra. Det var nok delvis teoretisk begrunnet, men kom egentlig fram som et svar på et praktisk problem. På den tiden var samfunnsutviklingen kommet dit at flertallet skolebarn var så opptatt med ulike organiserte fritidsaktiviteter at det var vanskelig for dem å gjøre lekser hver dag, eller når det passet læreren. Resultatet ble oppblomstring av arbeidsplaner der elevene ikke lenger fikk lekse fra dag til dag, men fikk en oversikt over hva som måtte, burde eller kunne gjøres i løpet v en lengre periode, ei uke eller to. Da kunne elevene gjøre ting når det passet dem best, dvs. ”ta ansvar for egen læring”. Slik jeg husker det, kom altså det praktiske aspektet først og den teoretiske begrunnelsen senere. Det er imidlertid god grunn til å spørre om ikke også dette begrepet har blitt overutnyttet av lærere med blind tro på at elever kan lære seg ting selv, bare med veiledning av lærer etter behov. Kollektivet som et sentralt element i skolen ble skadelidende. Nok en gang dukker åpne skoleløsninger opp som paddehatter. Tanken er nettopp dette at elevene skal sitte alene eller i smågrupper og arbeide med stoffet på egenhånd, riktignok med mulighet til å få veiledning av lærer (hvis læreren har tid!). Et av de aller viktigste elementene i innlæring av et fag som matematikk, dvs. diskusjoner i et plenum der læreren er den kyndige meddebattant, forsvinner fra skolen.
          Det konstruktivistiske læringssynet kombineres også ofte med ideen om at den kjente matematikken ikke nødvendigvis utgjør en evig sannhet, men at matematikk som konstrueres av det enkelte lærende subjekt kan være like gyldig. Denne forestillingen begrunnes med Kurt Gödels kjente teorem om at deduktive systemer, slik som matematikk, aldri kan bli fullstendige. Det vil alltid være mulig å konstruere påstander som det er umulig å vise om er sanne eller ikke. Dette har så blitt tolket i den retningen som er nevnt over. Jeg var selv i en periode fanget av denne tenkningen, men har etter hvert kommet på andre tanker. At en teori er ufullstendig betyr ikke at dens teoremer er vilkårlige. Man kan ikke bytte ut den møysommelig oppbygde matematikken med en annen, selvkonstruert variant. Vi må bygge på den forestillingen av matematikken er ”riktig” i en eller annen forstand. Keith Devlin har diskutert dette. Han sier at det er umulig å godtgjøre teoretisk at matematikken beskriver den fysiske virkeligheten, men det er likevel et faktum matematikken gang etter gang viser seg å kunne beskrive forhold i den fysiske verden på en svært presis måte. Det er endog slik at matematisk teori som aldri har vært ment som noe annet enn teoretisk tankespinn, har vist seg å kunne anvendes på å beskrive den fysiske verden. Teorier om flerdimensjonale mangfoldigheter kan være et godt eksempel.
          Ut fra denne tolkningen av matematisk teori, kan man ikke hevde at ulike varianter av selvkonstruert matematikk er like gode. Det er nærliggende å tro at en slik tanke har oppstått i kjølvannet av postmodernismen, der grunntanken er at enhver forståelse av virkeligheten vil være avhengig av sosial, historisk og kulturell kontekst, og at menneskelig forståelse bare en mulig gjennom språket[2]. Mange tolker dette dit hen at alle meninger eller tolkninger er like gode. Postmodernismen en teori innen samfunnsvitenskap, humaniora og kunst. Den kan ikke uten videre anvendes på realvitenskap.

En sunnere innfallsvinkel

Hva så med konstruktivismen; må den avvises? Nei, på ingen måte. Vi må bare tolke konstruktivismen som en læringsteori, ikke som en undervisningsforskrift. Dette betyr at konstruktivismen må tolkes som en beskrivelse av hva et menneske alltid gjør når kunnskap skal erverves. Vi skaper alltid vår egen oppfatning av ting. Dette betyr imidlertid ikke at disse oppfatningene alltid er gyldige i vitenskapelig forstand. Tvert imot er det slik at mistolkninger, misforståelser, mangel på innsikt og ufordøyd kunnskap vil florere. Poenget med konstruktivismen blir ikke å godta enhver tolkning av virkeligheten som like god som enhver annen, men å innse at den lærendes egen tolkning må bearbeides og utdypes for å bli funksjonell. Et fruktbart uttrykk for dette kan være det nederlandske begrepet ledet gjenoppdagelse. Den lærende må settes i en slik situasjon at han kan prøve sine tolkninger mot andres og mot den etablerte kunnskapen. Det denne tolkningen imidlertid utesluttet, er at kunnskap kan overføres fra det ene subjektet til det andre, slik behaviorismen kan tolkes til å stå for. Den engelske teoretikeren Paul Ernest sier følgende:

·                De personlige teoriene skapes gjennom en sirkel bestående av teori - forutsigelse - testing - mislykkethet - tilpassing - ny teori.
·                Denne sirkelen skaper sosialt aksepterte teorier om verden og sosiale mønstre og regler for språkbruk.
·                Matematikk er den teorien om form og struktur som dannes gjennom språket.

Når konstruktivismen tolkes slik, blir diskusjoner og avklaring av mening, helt sentrale deler av undervisningen. Den viktigste konsekvensen av en konstruktivistisk tankemodell er at elevene må bringes til å delta aktivt i undervisningen og læringen. De kan ikke bare være passive mottakere, slik som de har blitt i den tradisjonelle undervisningsformen i matematikk, men deres personlige oppfatninger må likevel utdypes og fylles ut, og misforståelser må synliggjøres, diskuteres og forhåpentligvis utryddes.
          Det er likevel viktig å gi elevene anledning til selv å etablere en best mulig innsikt i stoffet før slike debatter iverksettes og gjennomføres. Derfor er problemløsing og utforskning likevel viktige ledd i opplæringen. Generelt sett kan vi si at jo mer energi den studerende legger i å skaffe seg innsikt i stoffet, jo bedre vil det sitte. Der er aktiviteten begrenset til å utføre øvelser etter at læreren har gått gjennom og forklart stoffet. På den måten blir elevene passive i selve oppbyggingsfasen av kunnskapen, de danner ikke sin egen forståelse. Etter en konstruktivistisk tankegang må dette endres.





[1]Så vidt jeg kan se, har ikke Vygotsky operert med ulike nivåer i kontakten mellom mennesket og samfunnet etter den type prinsipper som Uri Bronfenbrenner utviklet. Der er den sosiale verden delt inn i fire nivåer etter nærhet.
[2] Dette kan for øvrig være en medvirkende årsak til den sterke vektleggingen de senere årene av at matematikk er en type språk.


[1]  Piaget brukte av og til en finere inndeling. Andre forskere har også brukt ulike antall underkategorier. Andre igjen har brukt bare 3.

1 kommentar:

  1. Jeg deltok selv i IMU-forsøket, og jeg husker det som vellykket. Hvor har du det fra at erfaringene var meget dårlige??

    SvarSlett