Brøk ganget med brøk

Hva betyr det å gange to brøker med hverandre? Hva er det man gjør når man tar ?

Det er alltid spennende å spørre skoleelever, studenter eller andre om dette, for det råder mye forvirring om svaret. Blir det en kvart eller blir det en hel? Når det er så mye usikkerhet om dette, skyldes det selvfølgelig at folk ikke har noen klar formening om hva som egentlig foregår. Dette ser man tydelig hvis man ber elevene lage en tekst som passer til oppgaven. Man kan få de underligste svar[1], mens fornuftige svar gjerne glimrer med sitt fravær. Poenget er at vi må tolke denne oppstillingen på samme måte som over. Vi skal finne halvparten av en halv, slik at . For ordens skyld: hvis vi skal finne halvparten av en tredel, bør vi etter vår logikk skrive det som .

Legg for øvrig merke til at svarene blir ganske opplagte når man først klarer å finne logikken bak multiplikasjonen. Det er også veldig enkelt å finne praktiske situasjoner på multiplikasjon av brøk med brøk.

            Når man først har satt seg inn i tankegangen, er det også enkelt å utvide perspektivet til å lage oppstillinger som omfatter mer enn én opplysning. La meg ta et par eksempler.

Din gamle tante dør og du skal være med å dele arven på 1 200 000 kr. Arven skal deles likt mellom hennes tre søsken. Men den ene søsteren, din mor, er allerede borte, så du og dine tre søsken skal dele din mors andel.

Du får:

Du skal beregne rente av 15 000 kr i 120 dager til rentefot 3 % p.a.

Renter:

I den siste eksempelet har brukt den tradisjonelle oppstillingen. Dersom vi skulle vært konsekvente, burde vi skrevet

. Dette er imidlertid et såpass stort brudd på det som vanligvis brukes, at jeg ikke uten videre vil anbefale å gjøre det. Det er viktigere å vise at begge oppstillingsmåtene kan brukes, og så la elevene velge selv. En slik holdning vil være i tråd med den generelle metodikken jeg forsøker å formidle.

En annen sak er at mange elever har vansker med å forstå at man kan skrive inn flere tanketrinn i én felles oppstilling. De skiller ikke mellom antall regneoperasjoner og oppstillingene. Dette problemet henger sammen med den ulykksalige metodikken med først å gjøre utregninger, for så å avslutte med en såkalt svarsetning, i stedet for å bruke tekster, oppstillinger og resultat overalt. Å kunne skrive inn flere tanketrinn i en felles oppstilling, slik som over, har stor overføringsverdi til mange former for prosentregning, slik som rentesrente eller beregning av flere års prosentvise endringer (f.eks. konsumprisindeks), og mye annet.

 

Regneteknikk

Hovedregelen for å regne ut produktet av to brøker er å gange to brøker med hverandre er å gange teller med teller og nevner med nevner. Hvis vi følger denne, får vi raskt og automatisk at . Ofte er det imidlertid lurest  å forkorte først. Hvis vi for eksempel skal finne ut hvor mye to tredeler av ni fjortendeler er, vil vi få oppsettet. Her lønner det seg å forkorte før man utfører noen multiplikasjon:

Her er 2 og 14 delt med 2, mens 9 og 3 er delt med 3. Legg merke til at det ikke er noe i veien for å forkorte tall i ulike brøker mot hverandre. Dette kommer av at ifølge hovedregelen for å gange brøker.

            Å kunne forkorte er alltid nyttig. La meg ta noen eksempler.

           

Den siste brøken er oppsettet du får om du skal regne ut hvor mange ulike rekker man kan lage i Lotto. Her kan man få problemer hvis man bruker kalkulator og prøver å regne rett ut, for en vanlig kalkulator har ikke kapasitet til å regne ut telleren nøyaktig, og hvis man vekselvis deler og ganger, vil man få unødvendige og unøyaktige desimaltall.

Mange elever har for øvrig problemer med å slå inn brøker korrekt på kalkulator. Hvis man skal regne ut , slår de gjerne inn 30 000 - delt på 365 - ganget med 12, i

stedet for å dele også med 12. De har problemer med å forstå at tallet i telleren skal deles med hvert av tallene i nevneren, eller med produktet av dem selvfølgelig, men da må man sette parentes rundt faktorene i nevneren, hvis dette er mulig på den kalkulatoren som er i bruk. Hvis ikke må man finne mellomsvaret (trykke på likhetstegnet) og dele på nytt.

---

[1] Én variant var følgende: ”En gutt skulle dele en halv sjokolade med halvbroren sin”