Overføring av kunnskap om regningsartene til algebra

La oss se nærmere på følgende utsagn:

3 + 2 er eksempel på en sum.

3 – 2 er en differanse.

3 × 2 er et produkt.

3 : 2 er en kvotient.

Jeg har testet lignende oppsett som dette på elever og lærerstudenter mange, mange ganger gjennom årene. Nesten ingen er villige til å akseptere at utsagnene over er fullstendige – dessverre! Nesten alle vil ha følgende:

3 + 2 = 5                     5 er summen av 2 og 3.

3 – 2 = 1                     1 er differansen mellom 3 og 2.

3 × 2 = 6                    6 er produkt av 3 og 2.

3 : 2 = 1,5                   1,5 er kvotienten mellom 3 og 2.

De mener altså at det er resultatet av beregningene som kalles henholdsvis sum, differanse, produkt og kvotient. De klarer ikke å oppfatte at selve oppstillingen som gjenstander for slik navnsetting.

            Denne måten å tenke på er imidlertid høyst uheldig. Her har vi en logisk felle som fører til store problemer for mange elever, når de kommer over i ungdomsskole og videregående skole og skal arbeide med algebra. Se bare på uttrykket

                                     

                                                                             

Hvor mange elever er det ikke gjennom tiden som har lurt på hva i all verden blir for noe? De er vant til at når du legger sammen to tall, ja så skal du få et eller annet resultat, og det er dette resultatet de tenker på som summen av tallene. Når det ikke finnes noe resultat av addisjonen blir det hele totalt ubegripelig. De ser ikke strukturen, de venter på resultatet. Mange elever gir opp algebraen for godt der og da, nettopp fordi de aldri får svar på det brennende spørsmålet: ”hva blir det egentlig?”. Kanskje det blir c? Eller d, eller …? Men i matematikken er ikke det interessante hva blir for noe, man er interessert i om en slik sum kan omformes til noe annet, eller uttrykkes på en annen måte. Det kan den jo, for , noe som kalles for ”den kommutative lov”. (Man kan bytte om rekkefølgen på addendene uten at verdien forandres.) Den samme loven gjelder for multiplikasjon, men ikke for subtraksjon og divisjon. Dermed har man funnet noe om strukturen i regningsartene, og det er, som sagt i innledningen, slike strukturer matematikk handler om. 

            Vi må nok erkjenne at starten på algebra alltid vil være vanskelig for mange elever, uansett hva vi gjør. Men det vil opplagt være til hjelp, dersom vi tidligst mulig venner elevene til å se på de fire regningsartene slik vi startet i teksten over. Da blir de langt lettere å akseptere de mer generelle uttrykkene:

En sum av to tall kan rent generelt skrives som .

En differanse kan skrives som .

Produkt:

Kvotient:

Det som er omtalt her, har stor overføringsverdi til videre skolegang. Vi bør alltid tenke på overføringsverdien av det vi driver med, dersom vi ønsker å forberede elever på videre skolegang. Noe av lærerens ekspertise må ligge nettopp i det å ha en viss oversikt over hva som er linjer framover.