tirsdag 30. november 2010

Areal og volum

Dersom man ber lærerstudenter forklare hva areal er, får man som oftest til svar en enkel formel, ”lengde gange bredde”. Noen dypere forklaring er det ikke lett å lokke fram. Studentene har et rent instrumentet forhold til arealbegrepet.
            Det er ingen opplagt sak å forklare arealbegrepet. Man må gå en omvei, ved å si hvordan man måler arealer, og det er dette man også bør gjøre i skolen. I tråd med det som ellers hevdes i denne boken, mener jeg at man fortrinnsvis skal gjøre dette i form av et problem, enten ved å be elevene finne størrelsen av et ukjent areal, eller ved å be dem sammenligne to arealer. Mulige innfallsvinkler kan være følgende

Hvor stor er denne figuren?



Dersom man spør elever om dette før de har de har lært noe formelt om areal, vil man sette i gang en utforsknings- og tankeprosess som de både vil huske og ha stor nytte av senere.
            Å finne størrelsen av en slik figur er ingen enkel sak, og et nøyaktig svar er det nesten umulig å finne. Men å arbeide med spørsmålet kan være svært lærerikt, ikke minst dersom læreren er flink til å lede elevene litt på vei, uten å gjøre alt for dem.
           

 (Figuren under skulle vært dekket av eet rutenett, men jeg får det ikke til i dette programmet.



































































































































































































Sannsynligvis vil det første forslaget som kommer opp, være å måle lengde og bredde på figuren. Elevene må da ledes fram mot å finne noe man kan dekke figuren med og telle opp, dersom ingen kommer på tanken selv.
På figuren til venstre er det lagt inn et rutenett som viser omtrent hva man bør komme fram til. Kunsten blir nå å telle opp rutene. Det vanskelige blir å anslå omtrent hvor mange hele ruter de delte rutene utgjør til sammen. Forhåpentlig kan man også komme fram til at nøyaktigheten øker når rutene blir mindre.



Hvilken av disse firkantene er størst?

Et godt alternativ til oppgaven over kan være å sammenligne to arealer av omtrent samme størrelse, men med ulik form.





                                                                      




Her kan det være greit å bruke noe konkret. Man kan godt nøye seg med å klippe ut de to figurene, men hva som helst annet kan selvfølgelig gjøre nytten.
            Figurene over er laget slik at det ikke nytter å legge dem oppå hverandre, slik som på figuren under, klippe vekk det som stikker ut og sammenligne de to restene. Da må man bare fortsette med de to bitene og gjøre det samme, og slik må man fortsette. Det hele blir fort håpløst.
Også her må man finne en måleenhet og telle opp, slik som i forrige oppgave. En fordel med denne siste oppgaven, er at man nå kan bruke det man har lært til å utlede formelen for areal av et rektangel, , lenge ganget med bredde.




 Også her skulle det vært en figur med rutenett


























































































































































Vi ser at lengden av rektangelet er lik antall ruter langs langsida, mens bredden er lik antall ruter langs kortsida. Å finne antall ruter i alt er da en gjentatt addisjon, akkurat slik som man opprinnelig lærer hva multiplikasjon er.

 

 

 

 

Volum

Jeg går ikke nærmere inn på rombegrepet her, bare nøye meg med å konstatere at problemene med å forstå volum er helt analogt med problematikken vedrørende areal. Man kan lage lignende problemer som beskrevet over, bare i en ekstra dimensjon.
Jeg vil likevel nevne ett spesielt forhold. Hvis man skal sammenligne volumet av to romfigurer, er det mest naturlige å bruke noe annet enn analogien til kvadratiske ruter, nemlig terninger (eller andre selvkonstruerte måleenheter). Det letteste er jo å bruke vann. Dersom figurene er hule, kan man fylle vann i dem, for så å helle vannet over i et målebeger. Hvis gjenstandene er kompakte, kan man senke dem ned i vann og se hvor mye vannet stiger i hvert tilfelle.
Det er kanskje ikke så underlig at kubikkmål er vanskelige for elever i skolen. Å tenke seg et volum delt opp i terninger, er en kunstig måte å måle volum på. Det intuitivt enkleste er å bruke væske som mål, noe som fører fram til litermål. Det målesystemet er nok enklere å forstå enn kubikkmålene. Man bør nok ta seg god tid med volumbegrepet, dersom man skal få med seg flertallet av elever til å forstå systemet med kubikkmål. Man bør dessuten bruke tid til å få fram både forskjellen og sammenhengen mellom litermål og kubikkmål.

Utvendig areal

Et begrep som viser seg å være svært vanskelig å svelge for elever i grunnskolen, er begrepet overflate. Det kan være nærliggende å tro at årsaken til problemet er rent faglig, i den forstand at det er mye å holde styr på og mange flater å beregne arealet av, når man skal finne overflaten av slike figurer som under, dvs. parallellepipeder eller sylindere, eller andre figurer for den saks skyld.








Jeg tror imidlertid at språket også representerer et problem her. Den vanligste feilen elever gjør, er nemlig å beregne arealet av toppflaten, ikke hele overflate. Det er nærliggende å tro at ordene over, oppå og toppen på, tolkes som synonymer av elevene. Selv om de får forklart mange ganger at ordet overflate betyr noe mer enn toppflate, vil de mindre motiverte elevene la seg overstyre av underbevisste språklige oppfatninger. Av denne grunn vil jeg anbefale at man går over til å bruke uttrykket utvendig areal til erstatning for ordet overflate.


Ingen kommentarer:

Legg inn en kommentar