Å finne hvor mange prosent en mengde utgjør av en annen

At  og  og motsatt, er noe som "alle mennesker" vet, også ganske unge elever i skolen. Disse sammenhengene synes å være selvfølgelige, men dersom vi gjør bare den minste vri, blir det plutselig vanskelig. De fleste av oss kan uten videre si at hvis det er 13 gutter og 13 jenter i skoleklasse, så er det 50 % av hver. Men hvordan er prosentfordelingen dersom det er 14 gutter og 12 jenter? Da er det plutselig vanskelig å svare. Forskere sier vi er utstyrt med noe de kaller primitive strukturer[1] eller prototyper[2], det vil si kunnskaper som er genetisk preget i hjernen vår. Halvparter og firedeler er eksempler på dette. Når vi beveger oss vekk fra slike primitive strukturer, blir imidlertid ting vanskelig. La oss derfor se litt nærmere på eksempelet med 14 gutter og 12 jenter i en klasse.

            Hvis vi bruker den tradisjonelle metoden med å gå veien om 1, må vi først finne ut hvor mange prosent én elev utgjør av hele klassa. Vi setter da hele klassa lik 100 %. Det er 26 elever i alt, og vi får:

            1 elev utgjør:

            Guttene utgjør:

            Jentene utgjør:       

       

(Summen av de to svarene er 100,1 %, noe som skyldes avrunding i første beregning, til 3,85 %, noe som er litt for mye.)

En raskere metode er å slå sammen trinnene i beregningene over, slik:

            Guttene utgjør:

Jentene utgjør:

Legg merke til at det her er ukorrekt å finne den ene andelen ved å trekke den andre fra 100 %. Da ville vi fått at jentenes andel av klassa utgjør 46,1 %, noe som er en større feil enn at summen av de to prosenttallene er 100,1 %.

Egentlig er det nøyaktig samme tankegang som brukes i de to ovenstående metodene, men det hele er mer skjult i den siste. Mange elever i skolen har nok blitt bedt om å pugge den siste typen oppstilling, uten at de fullt ut har forstått hvorfor det må være slik. Dette har selvsagt bidratt til at mange synes denne formen for prosentregning er vanskelig.

            Mange elever i ungdomsskolen har liten til overs for ligninger. Men akkurat når det gjelder det vi driver med her, å finne hvor mange prosent en mengde utgjør av en annen, så er det påfallende mange elever som gjerne vil bruke ligning, også etter at de har blitt voksne. Det er i hvert fall et av funnene jeg gjorde i en spørreundersøkelse for en del år siden (ikke publisert). Årsaken er nok at da kan de følge samme oppskrift som når de skal finne et visst antall prosent av et tall. Beregningene kan se slik ut:

            Guttenes andel av klasse = x %. Jentenes andel = y %.

Guttenes andel av klassa = 53,9 %. Jentenes andel = 46,2 %.

Etter hvert har lærebøkene for grunnskolen beveget seg vekk fra metoden med å gå veien om én. De bygger heller på sammenhengen mellom prosent, brøk og desimaltall. Det er jo slik at

Vi vet at en hvilken som helst brøk kan skrives som desimaltall, og ut fra sammenhengene over også som prosent.           

           

Her tenker vi på den ene mengden som en brøkdel av den andre. For å føle seg fortrolig med dette, er det nødvendig å være trygg på brøkbegrepet (se kapittelet om brøk). Erfaring viser imidlertid at det faller vanskelig for grunnskolelever å få tak i tankegangen i denne oppstillingen, selv om den tilsynelatende ser svært enkel ut. I virkeligheten kreves det dyp innsikt å både brøk, desimaltall og sammenhengen mellom dem, og videre over til prosent, dersom man skal føle seg fortrolig med denne tenkemåten.

Omgjøringen fra desimaltall til prosenttall gjøres ganske enkelt ved å flytte kommaet to plasser til høyre. Dette er det samme som å multiplisere med 100, så alt i alt har vi gjort nøyaktig det samme som i oppstillingsform nummer to i teksten over. Men den grunnleggende tankegangen er annerledes.

Den siste metoden gir en enkel oppstilling, og den er grei å regne med, i hvert fall hvis man bruker kalkulator eller regneark. Men det krever mye å forstå tankegangen i den. For at elever skal føle seg fortrolige med denne tankegangen, må de ha god forståelse for sammenhengen mellom brøk, desimaltall og prosenter, og det er på ingen måte enkelt. Mangel på slik innsikt, er etter all sannsynlighet en av de viktigste sperrene for forståelse av prosentregning. Slik sett er de tradisjonelle lettere å forstå. På den annen side bør det å skape innsikt i disse sammenhengene være et av de mest sentrale målene for matematikkundervisningen på mellom- og ungdomstrinnet i grunnskolen. Dette betinger at lærerne er bevisst på denne utfordringen, både når det gjelder å vektlegge den og når det gjelder å forstå at dette er krevende for elevene.

            Et område som gir god anledning til å øve på å finne prosenter, er å finne relative frekvenser, som i dette eksempelet:

 

---

[1] Fishbein

[2] Legg merke til at dette er noe annet enn Olof Magnes prototyper.