søndag 7. november 2010

Brøk delt på helt tall og helt tall delt på brøk

La oss tenke oss at vi har en plankebit som er meter lang og deler den i to. Vi ser at hver del blirmeter lang.



                                               1 meter

La oss se litt på den regneteknikken. Ut fra det vi har sagt over, kan vi nå sette opp følgende:


(eller ). Vi deler ganske enkelt telleren med 2.


Men hva hvis vi starter med 1/5 meter og skal dele den i to? Da ser det slik ut:


 (Hver rute skal deles i to, men det var vanskelig å få det fram på bildet)

Vi ser at hver del blirm, dvs. at .

Alt dette betyr at når vi skal dele en brøk med et tall, kan vi enten dele telleren med tallet, eller vi kan gange nevneren med tallet. Vi ganske enkelt velger det som passer best. Det kan være nyttig å kunne gjøre slike valg raskt og automatisk. I det enkle eksempelet over kan det hele virke opplagt, men det er ikke sikkert det er så opplagt når tallene er større, slik som for eksempel at
, mens

Dette er ingen stor sak, men det hører med til de småtingene vi må ha som mål å gjøre til en selvfølge for flertallet elever.

            Hva hvis skal delei fire biter?

Vi ganger nevneren med det hele tallet, men før vi ganger ut, forkorter vi. Med så enkle tall som her, kunne vi ganget først og forkortet etterpå, men med litt styggere tall ville det vært dumt. Det er en god vane å alltid forkorte før man multipliserer!

            Tenk deg nå at du har brukt oppav et malingsspann og at du da har brukt 2 liter. Hvor stort var spannet (delingsdivisjon)? Eller at du har 2 liter saft som skal fordeles i flasker som tarliter hver, og du vil finne ut hvor mange flasker du kan fylle (målingsdivisjon). Da må du dele 2 med.


eller

Nå kan vi velge om vil gange med den inverse, eller om vi gjøre om 2 hele til seks tredeler. (Det er ikke nødvendig å skrive 2 som en brøk med nevner 1. Bygg heller opp mentale bilder av én hel som tre tredeler og at to hele derfor må være seks tredeler.)
Regneteknikken er den samme som når vi deler brøk med brøk. Når det gjelder illustrasjoner, gjelder også det samme som ellers. Man kan tegne det man omtaler eller man kan bruke mer stiliserte tegninger. Ytterpunktene er at man regner med rent abstrakte tall, eller at man finner fram de konkrete tingene som omtales i teksten. Det første forutsetter at abstraksjonsprosessen er gjennomført; at det er etablert indre bilder som man drar veksler på, eller at det er etablert et automatisk, og ofte underbevisst, samspill mellom indre bilder og hukommelseslageret (det deklarative langtidsminnet).
 Min mening er fortsatt at bruk av konkreter ikke bør overdrives, og forbeholdes tre situasjoner:
1)    Nå eleven ikke har praktiske erfaringer å bygge på.
2)    Når eleven ikke har klart å etablere indre bilder og må gå tilbake til det konkrete (se Olof Magnes prototyplæring).
3)    Når man skal presentere et problem der konkretene inngår i problemet (slik som japanerne gjør).

Disse prinsippene gjelder forøvrig for all brøkregning, og for annen matematikk.

1 kommentar: