Multiplikasjon og divisjon med brøk som motsatte regningsarter

Hvis vi skal finne halvparten av et tall, kan vi nå gjøre det på to måter. Vi kan multiplisere tallet med  eller vi kan dele det med 2. Å gange med en halv og å dele med to er altså det samme. Dette eksempelet kan generaliseres. Å gange meder det samme som å dele med n, og motsatt. For personer med god tallfølelse er dette opplagt, men det ikke opplagt for alle elever i grunnskolen. Derfor er det viktig at lærerne tar med dette i sitt repertoar. Dessuten er det jo praktisk nyttig, spesielt hvis man regner i hodet eller gjør overslag.

            Hva så hvis vi ganger med noe annet enn en stambrøk (brøk med 1 i teller)? Også nå går det fint å dele med den inverse, … eller motsatt! Det er jo denne sammenhengen vi bruker når vi omgjør divisjon med brøk til multiplikasjon med den inverse brøken. Jeg skal ikke gi meg inn på noen slags formell bevisføring på dette her, men la meg ta et lite eksempel.

  

Vi ser at etter regelen om å dele teller med teller og nevner med nevner.

Vi kunne selvsagt også utvidet divisor og dividert tellerne med hverandre, slik at vi fikk.

I det siste tilfellet, ser vi for øvrig tydelig demonstrert at den første regnemåten automatisk tar seg av den forkortingen vi må gjøre i den andre.

La oss så multiplisere med den inverse: (mellomregningen er

resultatet av forkorting), altså det samme som over. Vi kan da fastslå at

Vi kan trygt generalisere dette, og har da kommet fram til den tradisjonelle regnemåten for divisjon med brøk.

For elever i barneskolen vil jeg likevel holde en knapp på metoden med å finne fellesnevner, supplert med det å dele teller med teller og nevner med nevner, der det går an. Det viktigste er imidlertid at elevene får en mest mulig helhetlig innsikt i problematikken. Forutsetningen for at det skal skje, er at undervisningen legger opp til variasjon og diskusjon, og med stor vekt på å synliggjøre sammenhenger. Legg da merke til at utledningen av den tradisjonelle algoritmen bygger på et helt annet prinsipp enn utledningen av de foregående regnemetodene, nemlig bruk av den inverse og det at multiplikasjon og divisjon er motsatte regningsarter.