tirsdag 23. november 2010

Kan vi legge sammen prosenter? Generelt om regning med blandinger

Et ektepar klaget en gang på skatteleggingen i Norge. Han betalte 35 % skatt og hun 32 %. De syntes det var altfor drøyt av skattemyndighetene at de skulle betale 67 % skatt i alt! Et annet eksempel på misbruk av prosentregning, er den klassiske vitsen om de som helte sammen to flasker 60 % sprit og fikk ei flaske med 120 %. Men la oss sammenligne de to tilfellene med addisjon av forholdstall som vi gjorde under brøkkapittelet. Vi tar det siste eksempelet først:

Vi antar at de to spritflaskene er like store. Vi kan da sette opp følgende beregning:

Alkoholinnholdet i blandingen =

Men dette ble jo korrekt! Det ser tilsynelatende ut til at vi kan addere prosenter, bare vi skriver prosenttallene som brøk og adderer brøkene slik vi gjorde med forholdstall i kapittelet om brøk. Vi kommer i samme situasjon som vi gjorde med elevtallene der.
Det er imidlertid en hake her. Forutsetningen for at dette skal bli riktig, er at de to prosenttallene er like, eller at de to spritflaskene er like store. Dersom vi hadde blandet sammen ei helflaske med 60 % alkohol og ei halvflaske med 40 %, ville det blitt slik:

Alkoholinnholdet i blandingen =

Nå blir det ikke riktig lenger. Heller ikke kan vi bare se bort fra mengdene og regne som vi gjorde først. Dersom de to flaskene hadde vært like store, kunne vi imidlertid gjort følgende:

Alkoholinnholdet i blandingen = . Dette stemmer!

La oss se nøyere på hva som skjer når både alkoholinnhold og mengde er ulike. For enkelhets skyld, kan vi si at den store flaska inneholder 1 liter sprit, mens den minste inneholder ½ liter.



I den største flaska er det ren alkohol. I den minste flaska er det . Alt i alt har vi 0,8 l ren alkohol.

Det totale volumet av blandingen er 1,5 l. Vi får:

Alkoholinnholdet i blandingen =

Vi må ta hensyn til størrelsen på de mengdene vi regner prosentene av og det prosentvise innholdet av de ingrediensene vi se ser på.


Blandinger

Av eksempelet over har vi lært følgende: når vi skal beregne det prosentvise innholdet av en ingrediens i en blanding, må vi

1)    Finne hvor store de absolutte mengder av ingrediensene er (volum eller masse).
2)    Finne summen av disse mengdene.
3)    Finne det totale volumet av blandingen.
4)    Finne hvor mange prosent mengden i 2) utgjør av mengden i 3)

Dette betyr at vi ikke kan beregne det samlede skattetrykket for ekteparet som omtales i starten på foregående avsnitt, for vi vet ikke hvor stor inntekt hver enkelt av dem har. Da kan vi jo ikke beregne hvor mange kroner de har betalt i skatt, og vi vet heller ikke hvor mye de har tjent (skattbar inntekt). Det vi kan gjøre er å se på det generelle tilfellet:

La oss anta at mannen har tjent a kr, kona b kr. Da har han betalt 35 % av a kr i skatt og hun 32 % av b kr.
Totalbeskatningen til ekteparet =

Total inntekt =
Skattetrykk i prosent:


(Her har jeg vist to typer oppstillinger, slik som omtalt lenger framme i kapittelet. I det følgende bruker jeg bare den siste.)

Vi kan generalisere dette videre, ved å si at har p % av den ingrediensen vi er interessert av i mengde a, og at det q % av den samme ingrediensen i mengde b. Det generelle uttrykket for prosentinnholdet av vedkommende ingrediens i når a og b blandes sammen, bli da:


La meg avslutte med et konkret eksempel. I helmelk er det 3,9 % fett, mens det er 0,1 % i skummet melk. Hvis vi blander sammen 3 dl helmelk og 2 dl skummet melk, vil fettinnholdet i blandinga bli:

Man kan godt sammenligne dette med det punktvise oppsettet over og se at vi har gjort nettopp det disse punktene sier vi skal gjøre. Tankemåten er selvfølgelig også gyldig om vi blander sammen flere mengder enn to.

La oss til slutt se en gang til på spritblandingene fra avsnittet over. Når vi blander sammen to flasker sprit med et alkoholinnhold på 60 %, får vi nå:

Alkoholinnhold i blandinga: , slik som ønsket.

Hva så dersom flaskene ikke er like store? Da får vi:

Alkoholinnhold i blandinga:

Vi ser at det går bra å følge intuisjonen også nå. Det samme ville vært tilfelle med en hvilken som helst annen prosentandel, så lenge den er lik i de to mengdene. Vi kan trygt si at når vi blander sammen to mengder med samme prosentinnhold, så får blandingen også samme prosentinnhold, uansett hvor mye vi blander sammen.

Hva hvis prosentinnholdet er ulikt? La oss se på blandingen mellom mengder med henholdsvis 60 % og 40 % alkoholinnhold:

Alkoholinnhold i blandinga:

Nå er ikke alkoholprosenten i blandinga uavhengig av mengden lenger. Dersom a og b er like, vil vi få 50 %, men ikke ellers.

Ingen kommentarer:

Legg inn en kommentar