mandag 8. november 2010

Blandet tall

Mange elever og studenter vet utmerket godt at , mens de ikke har anelse om hvordan de skal gjøre omtil en uekte brøk. Dette er nok et eksempel på manglende forståelse av hva som foregår når man regner med brøk. Årsaken er, som sagt flere ganger allerede, at brøkregningen er et ritual, samtidig som mange aldri har fått helt med seg atfaktisk betyr. Sannsynligvis vet man dette på en måte, men likevel mangler full forståelse for sammenhengen. Et analogt tilfelle ser vi når elever sier at 0,3 er lik ”tre tideler”, men ikke for sitt bare liv klarer å skrive at. Disse eksemplene viser nok en gang hvor viktig det er at lærerne jobber bevisst med å synliggjøre og klargjøre enkle sammenhenger i matematikken.

            Blandet tall er det eneste eksempelet i matematikken på at man sløyfer plusstegnet. I algebra er det jo gangetegnet som sløyfes. Dette kan skape forvirring. I våre dager kommer jo det store flertallet elever i kontakt med algebra. Det er derfor mye som taler for at vi bør bryte den gamle tradisjonen og begynne å bruke plusstegnet. Det er jo ingen ting i veien for å si at er et blandet tall, selv om plusstegnet står der. Å beholde tegnet vil gi en mer helhetlig preg på matematikken. Når vi kommer ut over grunnskolen, ser vi at de fleste lærebokforfattere unngår blandede tall helt og heller opererer med uekte brøker. Dersom vi lar være å sløyfe plusstegnet, vil dilemmaet forsvinne, selv om sikkert fortsatt vil være praktisk å bruke uekte brøk. Ved å gjøre det, sparer man jo en del nokså likegyldige omregninger.

Regning med blandet tall

Hvordan ville regning med blandet tall se ut, dersom vi innfører en konvensjon om at plusstegnet skal være med. La oss se på noen eksempler.
            En enkel addisjon vil bli seende slik ut: (Parentesene er tatt med for å markere de blandede tallene, men her er de egentlig overflødige.)


Her er det sløyfet en del mellomregninger. De tre brøkene er utvidet uten at selve utvidelsen er synliggjort, og den siste sammentrekningen er foretatt i hodet. Jeg mener det bør være et mål å bringe et flertall av elevene i grunnskolen så langt at en slik sammentrekning er så selvfølgelig at mellomregninger er overflødige.
            Under en eksamen på en av landets lærerhøgskoler, ble følgende oppgave gitt:

Det ble avgitt en rekke feilaktige svar, alle helt urimelige ut fra størrelsen på tallene. Ved å ha plusstegnet på plass, kan løsningen se omtrent slik ut:

Også her er de samme typene mellomregning som over sløyfet. For ordens skyld, i den siste del av oppgaven kan vi ta med følgende mellomregning:


Med den tradisjonelle måten å skrive blandet tall, ville de to plusstegnene vært sløyfet. Vi kunne selvfølgeig også gjort om de to hele til .
Legg ellers merke til at jeg ikke har gjort om de hele i den opprinnelige oppgaven til brøk. Mange vil foretrekke å gjøre det. Da blir løsningen seende slik ut:


I denne oppgaven er dette vel så enkelt som den første løsningen. Men når vi adderer er en slik operasjon helt overflødig. Derfor kan det være en god vane å bruke den første metoden, og særlig vil det være tilfelle hvis vi har mange brøker. På den annen side, i formelregning og annen algebra vil det ofte være greit å sette alt på samme brøkstrek. Målet bør derfor være å lære elevene til å beherske begge deler.
            Det skal også innrømmes at den tradisjonelle algoritmen er mest effektiv. Da blir det slik:



(Selv pleide jeg å bruke den siste varianten, da jeg gikk på skolen.) Det er imidlertid så altfor tydelig at et stort antall elever ikke forstår hva som egentlig foregår, og så mange fordeler med å beholde plusstegnet, at jeg likevel vil anbefale at vi går over til det.
            En annen oppgave som var gitt til den samme eksamen, var denne:

Da jeg sensurerte, fant jeg ti forskjellige feilsvar på denne oppgaven, de fleste av dem helt urimelige. La oss se hvordan dette ville bli med vår nye skrivemåte.


Vi kunne selvsagt også gjort slik:

Nok en gang kan vi si det er en fordel om elever behersker begge metodene. Men legg merke til hvor rask den første metoden er, og ikke minst at vi følger nøyaktig samme prosedyre som når vi skal gange ut parenteser i algebraen (distributiv lov). Dessuten er denne utregningsmåten den naturlige rent logisk. Den anbefales derfor som den mest foretrukne.
            Hva så med divisjon? La oss prøve.


Her er opplagt de gamle metodene mer effektive. Men regnemetoden over har langt større overføringsverdi til algebra. Dessuten er praktisk regning med slike brøker lite aktuelt, så det er forståelse og oversikt og medfølgende overføringsverdi til annen matematikk som må veie tyngst i våre dager. De svakere elevene, de som ikke kommer i kontakt med algebra, bør også spares for å dele blandede tall med hverandre.

Ingen kommentarer:

Legg inn en kommentar